某大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試題3詳細(xì)解答

1、1/ 111.設(shè)事件A,B僅發(fā)生一個(gè)的概率為 0.3，且P(A) P(B) 0.5，則A, B至少有一個(gè)不發(fā)生的概率為解：P(AB AB) 0.3即0.3 P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.5 2P(AB)所以P(AB) 0.1 P(A B) P(AB) 1P(AB) 0.9.2、已知一批產(chǎn)品中 90 淀合格品，檢查時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.05， 一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為 0.02， 求(1)一個(gè)產(chǎn)品經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的概率；(2)一個(gè)經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率.(20分)解：設(shè)A任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為是合格品

2、B任取一產(chǎn)品確是合格品則(1)P(A) P(B)P(A| B) P(B)P(A|B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.(2)P(B|A)P(AB)9950.9977.P(A)0.8573、已 知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)ABarcta nx,x(,)，求(1 )常數(shù)A和B, ( 2 )P( 1X1)，( 3)概率密度f(wàn)(x)o( 20 分)4、已知隨機(jī)變量(x，Y)的分布律為(20 分)1 23X 11/321/61/91/18問(wèn)：(1)當(dāng)，為何值時(shí)，X和丫相互獨(dú)立。(2)求PX2 Y 15、設(shè)隨機(jī)變量x服從NP，1)分布，求隨機(jī)變量Y eX的概率密度2/ 11函數(shù)。（

3、10 分）6向一目標(biāo)射擊，目標(biāo)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知命中點(diǎn)的橫坐標(biāo)X和縱坐標(biāo)Y相互獨(dú)立，且均服從N（0,22）分布.求（1）命中環(huán)形X2y22匸e8rdrd18dxdy區(qū)域D ( x, y) |1 x2y22的概率；（2）命中點(diǎn)到目標(biāo)中心距離Z X2Y2的數(shù)學(xué)期望.(20 分)解:(1)PX,Y) Df (x, y)dxdyD3/ 1122L1e8d(281 re rdrd40112 21得e8dxdy8e8r2dr1、r2re8edr三021?re8dr（10 分）將 3 粒黃豆隨機(jī)地放入 4 個(gè)杯子，求杯子中盛黃豆最多為一粒的概率八分之三（20 分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為ax 1, 0 x

4、 2, f（x）卄宀0 ,其它.（2）X的分布函數(shù)F（x）；求（1）常數(shù)a；3、（ 10 分）設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間（0,2）上服從均勻分布，（3）P（1 X 3）.求隨機(jī)變量丫X2在區(qū)間（0,4）內(nèi)的概率密度為fY（y）r2e8(2)EZ EC* Y2)4/ 112.設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布，且P(X1)4P(X 2)，則P(X 3).答案：11e6解答：P(X 1)P(X0)P(X 1)ee ,P(X22)e2由P(X 1)4P(X2)知ee22e即2210解得1，故P(X3)e163.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間（0,2）上服從均勻分布，則隨機(jī)變量丫X2在區(qū)間（0,4）內(nèi)的概率密度為fY（y）.答案：

5、解答：設(shè)丫的分布函數(shù)為FY(y), X的分布函數(shù)為Fx(x)，密度 為fx(x)則FY(V) P(Y y) P(X2y) P( . y Xy) Fx(“) Fx( ,y)因?yàn)閄 U (0, 2)，所以FX( ,y) 0，即FY(y) FXGy)故10 4fY(y)FY(y)ifxC.y)4；y2卜0，其它.另解在（0, 2）上函數(shù)y x2嚴(yán)格單調(diào)，反函數(shù)為h（y） “所以1fY(y)fxG.y) - - v,0 y 4,20 ,其它.fY(y) FY(y)1 _2乙，0 y0 ,其它.4,5/ 114.設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，6/ 11P(X 1) e2，貝y,Pm

6、in( X,Y) 1.答案：2,Pmin(X,Y) 11 e-4解答：P(X 1) 1 P(X 1) e e2，故2Pmin( X,Y) 11 Pmin(X,Y) 11 P(X 1)P(Y1)5.設(shè)總體X的概率密度為X1,X2, ,Xn是來(lái)自X的樣本，則未知參數(shù) 的極大似然估計(jì)量為答案：$111nlln xni 1解答：似然函數(shù)為nL(X1,L ,Xn； )(1)Xi(1)n(X1,L ,Xn)i 1f(x)(1)x ,0 x 1,0,其它In Lnln(1)nIn xii 1解似然方程得d I n Ld的極大似然估計(jì)為$ln x 0i 11.1n.In xi7/ 11二、單項(xiàng)選擇題(每小題

7、3 分，共 15 分)1.設(shè)代B,C為三個(gè)事件，且A,B相互獨(dú)立，則以下結(jié)論中不正確 的是(A)若P(C) 1,貝UAC與BC也獨(dú)立.8/ 11(B)若P(c)1,則AUC與B也獨(dú)立.(C)若P(C) 0，則AUC與B也獨(dú)立.D ) 若C B,貝UA與C也獨(dú)立()答案：(D).解答：因?yàn)楦怕蕿?1 的事件和概率為 0 的事件與任何事件獨(dú)2.設(shè)隨機(jī)變量X N(0,1), X的分布函數(shù)為(x),則P(|X |2)的值為(A)21(2).(B)2 (2) 1.(C)2 (2).(D)1 2 (2).()答案： (A)解答：X N(0,1)所以P(|X |2) 1P(| X | 2)1 P( 2X 2

8、)1(2) ( 2) 1 2 (2) 121應(yīng)選(A).D).可見(jiàn) A 與 C 不3 .設(shè)隨機(jī)變量X和丫不相關(guān)，(A)X與丫獨(dú)立.則下列結(jié)論中正確的是(B)D(X Y) DXDY.(C)D(X Y) DX DY.(D)D(XY) DXDY.立，所以(A)，(B)，(C)都是正確的，只能選(9/ 11答案：(B)解答：由不相關(guān)的等價(jià)條件知，xy0 cov(x,y)0D(X Y) DX DY+2cov(x,y)應(yīng)選(B).4 .設(shè)離散型隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布為Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1)(2,2)(2,3)(X,若X,Y獨(dú)立，(A)(C)16則911918,的值為(A

9、)(D)19,518,29118.10/ 11答案：（A）解答：若X,Y獨(dú)立則有5.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望為,Xi,X2,L ,Xn為來(lái)自X的樣本，則下列 結(jié)論中正確的是（AXi是的無(wú)偏估計(jì)量. 然估計(jì)量.（c）Xi是的相合（一致）估計(jì)量 量.（）答案：（A解答：EXi，所以Xi是的無(wú)偏估計(jì)，應(yīng)選（A三、（7 分）已知一批產(chǎn)品中 90 淀合格品，檢查時(shí)，一個(gè)合格 品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.05，一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為 0.02，求（i） 一個(gè)產(chǎn)品經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的概率；（2） 一個(gè)經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的 概率.解：設(shè)A任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為是合格品B任取一產(chǎn)品確

10、是合格品（B） Xi是的極大似（D） Xi不是的估計(jì)11/ 11則(1)P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.(2)P(B|A)迴095 0.9977.P(A) 0.857四、(12 分)從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有 3 個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗 遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是2/5.設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列、分布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望和方差解：X的概率分布為k2k33 kP(X k) C3()()k 0,123.55即-X的分布函數(shù)為X01P275412512523368125125F(x)EX 30271258

11、1125117125x 0,0 x1,1 x 2,2x3,3 18525五、(10 分)(X,Y)在區(qū)域12/ 11D (x,y)|x 0, y 0, x y 1上服從均勻分布.求(1)(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度；(2)Z X Y的分布函數(shù)與概率密 度.(1)(X,Y)的概率密度為13/ 112 2x,0 x 1fx(x)WE0,其它(2)利用公式fZ(z) f (x, z x)dxZ的分布函數(shù)為zfz(z)fz(y)dy或利用分布函數(shù)法當(dāng)z 0或z 1時(shí)fz(z)00 z 12z, 0 z 1,0,其它.0 , z 0, z2, 0 z 1, 1 , z1.0, z 0,Fz(z) P(

12、Z z) P(X Yz)2dxdy,0 z 1D11 ,z 1.0 ,z 0,2z ,0 z1,1 ,z 1.2z,0 z 1fzFz(z)0 ,其它.f(x,y)2, (x,y) D0,其它.其中f(x,z x)2, 0 x 1,0 z x 1 x0,其它2, 0 x 1, x z 1.0,其它.故Z的概率密度為fz(z)0,z0z02ydy, 0 z 11,z1A14/ 11六、（10 分）向一目標(biāo)射擊，目標(biāo)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知命中點(diǎn)的橫坐標(biāo)X和縱坐標(biāo)丫相互獨(dú)立，且均服從N（0,22）分布. 求（1 ）命中環(huán)形區(qū)域D （ x, y）|1 x2y22的概率；（2）命 中點(diǎn)到目標(biāo)中心距離Z X

13、2Y2的數(shù)學(xué)期望.七、（11 分）設(shè)某機(jī)器生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度（單位：）XN（ ,2），今 抽取容量為 16 的樣本，測(cè)得樣本均值x 10，樣本方差s20.16.（1 ）求 的置信度為0.95 的置信區(qū)間；（2）檢驗(yàn)假設(shè)H。：20.1（顯著性水平為 0.05）.（附注）t.5（16） 1.746, t.5（15） 1.753, t.25（15） 2.132,為5(15) 24.996,爲(wèi)5(15) 27.488.解：（1） 的置信度為1下的置信區(qū)間為X 10, s 0.4, n 16,0.05, t0.025(15)2.1321)(1)PX,Y) Dr22e8d(x2y28dxdyf (x, y)dxdyDr2e8