數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)歸納

1、必修5數(shù)列礎(chǔ)知識(shí)歸納一、數(shù)列的有關(guān)概念：1 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.(1) 數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).記作an,在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第 1項(xiàng)(或首項(xiàng))，在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，序號(hào)為n的項(xiàng)叫第n項(xiàng)(也叫通項(xiàng))，記作an. 數(shù)列的一般形式：ai，a2，a3，an，簡(jiǎn)記作an.2. 通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這 個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.說明：an表示數(shù)列，an表示數(shù)列中的第n項(xiàng)，an = f(n)表示數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一.例如，an = ( 1)n = 1n 2k 1(k Z)

2、；1,n 2k(3) 不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.例如，1, 1.4, 1.41, 1.414,. 從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集)的函數(shù)f(n),當(dāng)自變量n從1開始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值 f(1),f(2), f(3),，f(n),通 常用an來(lái)代替f(n)，其圖象是一群孤立的點(diǎn).3. 數(shù)列的分類：(1) 按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限分：有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列；(2) 按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列 (遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動(dòng) 數(shù)列.4. 遞推公式的定義：如果數(shù)列an的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an 1 (或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以

3、用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞 推公式.n5. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和的定義：Si = a1 + a2 + a3 +an = ak稱為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.要k 1理解Sn與an之間的關(guān)系.6. 等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第.2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù).，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.即：an為等比數(shù)列an + i an = d 2an + i = an + an + 2 an = kn + b Sn = An2 + Bn.7. 等比數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第.2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同

4、一個(gè)常數(shù).，那么 這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比.公比通常用字母q表示(q0),即：an為等比數(shù)列an + i : an = q (q 0)注意條件 從第2項(xiàng)起 常數(shù).由定義可知：等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零.、等差、等比數(shù)列的性質(zhì):等差數(shù)列(AP)等比數(shù)列(GP)通項(xiàng)公式an = ai + (n 1)dan = aiqn 1 (ai0，q 0)前n項(xiàng)和詢 an)n(n 1).Snnad2 2n ai,q 1,Sn印(1 qn)彳,q 1.i q性質(zhì) an = am + (n m)d an = amqm + n = s + t，貝U am + an = as +at m +

5、n = s + t，貝U am an = as atSm， S2m Sm， S3m S2m，成APSm， S2mSm， S3m 9m，成 GP(q1或m不為偶數(shù))ak，ak + m，ak + 2m，成 AP，d = mdak，ak + m，ak +2m，成 GP, q=mq注：1.等差(等比)數(shù)列an的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差(等比)數(shù)列.2.三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a d，a，a + d;四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a 3d，a d，a + d，a + 3d;3. 三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：a/q，a，aq；四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3，a/q，aq，aq3 (為 什么？)4. an為等差數(shù)列，那

6、么c3" (c > 0)是等比數(shù)列.5. bn (bn> 0)是等比數(shù)列，貝U logcbn (c > 0且c 1)是等差數(shù)列.6. 公差為d的等差數(shù)列an中，假設(shè)d > 0，那么an是遞增數(shù)列；假設(shè)d = 0，那么an是常數(shù)列； 假設(shè)d < 0，那么an是遞減數(shù)列.7. 等比數(shù)列an中，假設(shè)公比為q,那么(1) 當(dāng) ai > 0，q > 1 或 ai < 0，0 < q < 1 時(shí)為遞增數(shù)列；(2)當(dāng) ai < 0，q > 1 或 ai > 0,0 < q < 1時(shí)為遞減數(shù)列；(3) 當(dāng)q &

7、lt; 0時(shí)為擺動(dòng)數(shù)列；(4)當(dāng)q = 1時(shí)為常數(shù)列.8. 等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法：(1) ai > 0，d < 0時(shí)，Sn有最大值；ai < 0，d > 0時(shí)，Sn有最小值.Sn最值的求法： 假設(shè)S,可用二次函數(shù)最值的求法(n N*)；a 0 假設(shè)an，那么Sn取最值時(shí)n的值(n N*)可如下確定：Sn最大值n(或Sn最小9ni 0值 an 0 ).an i 0三、常見數(shù)列通項(xiàng)的求法：1 .定義法(利用AP，GP的定義).2.累加法(an + ian = cn型)：an = ai +(a2ai)+(a3a2)+ +(anani) = ai+ ci+ c2+ + c

8、n i(n2).4.累乘法(an 1 g型):an = a1a2 a3 l:3n31 a2an 1=a1C1C2Cn 1(n2).5.待疋系數(shù)法：an + 1 = qan + b (q0，q1, b0)型，轉(zhuǎn)化為an + 1 + x =q(an +x).可以將其改寫變形成如下形式：3 公式法：anS (n 1)SnSn 1( n 2)an + 1 +角=q(an+角)，于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項(xiàng)公式.6.間接法(例如：an + 1 an = 4an + ian1 1 4 )an 1 an四、數(shù)列的求和方法：除化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和外，還有以下一些常用方法:1 .拆項(xiàng)求和法(an

9、= bn cn)：將一個(gè)數(shù)列拆成假設(shè)干個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列、 常數(shù)數(shù)列等等)，然后分別求和.如an = 2n + 3n.2. 并項(xiàng)求和法：將數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)(或假設(shè)干項(xiàng))并成一項(xiàng)(或一組)先求和，然后再求Sn. 女口“Sn122232425262L (2n 1)2(2n)2 的求和.如:an1(An B)(An C)1 ( 1 1 ) C (An B An C)an = f(n + 1) f(n)，使得正需要掌握一些常見的裂項(xiàng)，1 _ 1 1n(n 1) n n 13. 裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的每一項(xiàng)拆(裂開)成兩項(xiàng)之差，即 負(fù)項(xiàng)能互相抵消，剩下首尾假設(shè)干項(xiàng).用裂項(xiàng)相消法求和,4. 錯(cuò)位

10、相減法：將一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都作相同的變換，然后將得到的新數(shù)列錯(cuò)動(dòng)一個(gè)位置與原數(shù)列的各項(xiàng)相減，這是仿照推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法.對(duì)一個(gè)由 等差數(shù)列及等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和，常用錯(cuò)位相減法.即錯(cuò)位相減法一般只要求解決下述數(shù)列的求和：假設(shè) an = bncn，其中bn是等差數(shù)列， Cn 是等比數(shù)列，那么數(shù)列an的求和運(yùn)用錯(cuò)位相減法.記 Sn = b1C1 + b2C2 + b3C3 + + bnCn，貝qSn = bC + b2C3 + + bn 1Cn + bnCn + 1， 如 an = (2n1)2n.5. 倒序相加法：將一個(gè)數(shù)列的倒數(shù)第 k項(xiàng)(k = 1, 2, 3,，n)變?yōu)轫様?shù)第k項(xiàng)，然后 將得到的新數(shù)列與原數(shù)列相加，這是仿照推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法.注意：(1) “數(shù)列求和是數(shù)列中的重要內(nèi)容，在中學(xué)高考范圍內(nèi)，學(xué)習(xí)數(shù)列求和不需 要學(xué)習(xí)任何理論，上面所述求和方法只是將一些常用的數(shù)式變換技巧運(yùn)用于數(shù)列求和 之中.(2) “錯(cuò)位與“倒序求和的方法是比擬特殊的方法.(3) 數(shù)列求通項(xiàng)及和的方法多種多樣，要視具體情形選用適宜的方法.(4) 重要公式： 1 + 2 + + n = n(n + 1); 12 + 22 + + n2 =丄 n(n + 1)(2n