高考題_圓錐曲線_中弦張直角時的_必然_一組優(yōu)美的結(jié)論

1、高考題 (圓錐曲線 中弦張直角時的 “ 必然 ” 一組優(yōu)美的結(jié)論437000 湖北省咸寧高中 郭建斌 汪 瓊 圓錐曲線這一章節(jié)是高考內(nèi)容的一個重點和熱點 , 是學生學習中的一個難點 , 高考考題?？汲Ｐ?,是高考中的壓軸大戲 , 命題者可謂是費盡心機 , 但出 題之中偶然也有必然 . 筆者在做 07年高考解析幾何 題時 , 解決山東卷理科 21題 (文科 22題 和天津卷 理科 21題后 , 受拋物線有關(guān)知識的啟發(fā) , 進而大膽 猜想兩類知識 :一類是圓錐曲線中弦張直角 (直角頂 點為曲線頂點時的直線過定點問題 : 二類是圓錐曲 線中弦張直角 (直角頂點為坐標原點 時的 , 弦上高 的垂足的軌

2、跡是圓的問題 .山東卷原題 已知橢圓 C 的中心在坐標原點 , 焦點在 x 軸上 , 橢圓 C為 3, 最小值為 1.(1 求橢圓 C(2 l kx A 、 B 兩點 (A, B , 且以 AB 為直徑的圓過橢 圓 C 的右頂點 , 求證 :直線 l 過定點 , 并求出該定點 的坐標 .答案 (124+ 23 =1;(2 直線 l 過定點7, .猜想 1 (直角頂點為 曲線頂點 時的直線過定點 ;定理 1. 1 直線與拋物線 y 2=2px (p >0 交于 A 、 B 兩點 , 當 OA OB (O 為坐標原點 時 , 直線 AB 過 一定點 (2p, 0 ;簡證 直線 斜率不 可能為

3、 0, 但有可能不存在 ,可 設(shè) 直 線 為 :x =ty+m , 它與拋物線交點為 A (x 1,y 1, B (x 2, y 2 , 聯(lián)立方程組得x =ty +m ,y 2=2pyy 2-2pty -2p m =0y 1y 2=-2p m.又 OA OB x 1 x2+y 1y 2=0,即 y122py222p+y 1y 2=0. y 1 y2=-4p 2, 從而 -4p 2=-2p m. m =2p . 直線方程為 x =ty +2p 即直線 AB 過一定 點 (2p, 0 , 命題獲證 .定理 1. 2 直線 l y =kx +m 與橢圓2a 2+ 2b 2 =1(a >b &g

4、t;0 交于 A, B 兩點 , M 是其右頂點 , 當 MA MB 時 , 直線 過定點(22 a 2+b 2 , .簡證 設(shè)直線 AB相交于 A (x1, y , B (x 2, y 2 兩點 ,y =kx +m ,2a 2+2b 2=1,消去 y 得(b 2+22 x 2+2km a 2a 2(2-b 2=0. , m 2b 2k 2 2-2b 2+a 2k 2,x1x2=2(22b 2+a 2k 2,消去 x 得(b 2+a 2k 2 y 2-2m b 2y +b 2(m 2-a 2k 2 =0, y 1y 2=2(222b 2+a 2k 2.又 M ( , MB , =0, (x1-

5、a (x2-a +y1y 2=0,x1x2-a (x1+x2+a 2+y1y2=02(22b 2+a 2k 22(222b 2+a 2k 23b 2+a 2k 2+a 2=0 (a 2+b 2 m 2+2a 3m k +a 2(a 2-b 2 k 2=0 (m +ak (a 2+b 2 m +a (a 2-b 2 =0. m =-ak 或 m =-(22a 2+b 2k, 直線 l y =k (x -a ,或 y =x -22a 2b 2,即直線 過定點22a 2+b 2, , 另一解舍去 . 定理 1. 3 直線 l y =kx +m 與雙曲線2a 2 -2 b 2 =1(a >0,

6、b >0 交于 A, B , M , 當 MA MB 時 , 直線 過定點22a 2-b 2, (此時應(yīng) 有 a b, 否則不可能有 MA MB 仿上 , A (x1, y 1 , B (x 2, y 2y =kx +m ,2a 2-2b 2=1,y 得(b 2-a 2k 2 x 2-2km a 2x -a 2(m 2+b 2 =024 (2008年第 4期 高中版 初數(shù)研究 b 2-a 2k 2 0, >0, k 22a 2, a 2k 2<1+m 2,時x 1+x 2=2b 2-a 2k2,x 1x 2=2(22b 2-a 2k2, 消去 x 得 (b 2-a 2k 2

7、y 2-2m b 2y +b 2(m 2-a 2k 2=0.y 1y 2=2222b 2-a 2k2, 又 M (a, 0 , MA MB =0, (x 1-a (x 2-a +y 1y 2=0,x 1x 2-a (x 1+x 2 +a 2+y 1y 2=0222b 2 -a 2k 22222b 2-a 2k 2-3b 2-a 2k 2+a 2=0(b 2-a 2 m 2-2a 3m k -a 2(a 2+b 2 k 2=0(m +ak (b 2-a 2 m -a (a 2+b 2=0. m =-ak 或 m =22b 2-a2k, 直線 l:y =k (x y x 2b2即直線 (a 2-b

8、2, , 另一解舍去 . 天津卷原題 設(shè)橢圓 2a 2+2b2=1(a >b >0 的左 、 右焦點分別為 F 1, F 2, A 是橢圓上的一點 , AF 2F 1F 2, 原點 O 到直線 AF 1的距離為 3O F 1.(1 證明 a =b;(2 設(shè) Q 1, Q 2為橢圓上的兩個動點 , OQ 1 OQ 2, 過原點 O 作直線 Q 1Q 2的垂線 OD, 垂足為 D, 求點 D 的軌跡方程 .答案 (1 略 ; (2 點 D 的軌跡方程為 x 2+y 2=3b 2. 猜想 2 當圓錐曲線中弦 張直角 (直 角 頂 點 為 坐 標 原 點 時 , 弦上高的垂足的軌跡 是圓

9、;定理 2. 1 直線與拋物線 y 2=2px (p >0 交于 A, B 兩點 , 當 OA OB (O 為坐標 原點 時 , 作 OH AB , 則點 H 的軌跡是一個圓 (去掉原點 O , 軌跡方程為 :(x -p 2+y2=p 2(x 0 :簡證 設(shè) A (x 1, y 1 , B (x 2, y 2 , 直線方程為 x =ty +m由 1. 1知 , m =2p, 直線方程為 x =ty +2p .x =ty +2p,x =-ty,消去 t 得 (x -p 2+y 2=p 2(x 0 , 即為點 H的軌跡方程 . 定理 2. 2 直線 l y =kx+m 與橢圓 2a 2+2b

10、2=1(a >b>0 交于 A, B 兩點 , 若 OA OB (O 為坐標圓點 , 作 OH AB , 則點 H 的軌跡是一個以 O為圓點 , 以222+b2為半徑的一個圓 , 軌跡方程為 :x 2+y 2=22a 2+b2.簡證 (1 當 l x 軸時 , 易證 . (2 仿 1. 2 OA OB , x 1x 2+y 1y 2=0.2222+a 2k 2+222222=0, a 2+2( 22kx +m , 直線 OH y =-ky =kx +m ,y =-kxx =-k +k=-1+k2, y =1+k2.y=-k, m =2y+y,代入 得 x 2+y 2=22a 2+b

11、2,即為點 H 的軌跡方程 .定理 2. 3:直線 l:y =kx +m 與雙曲線 2a 2-2b2=1交于 A, B 兩點 , 若 OA OB (O 為坐標原點 , 作 OH AB , 則點 H 的軌跡是一個以 O 為圓心 , 以222-a2為半徑的一個圓 , 軌跡方程為 :x 2+y 2=22b 2-a2(此時應(yīng)有 b >a >0, 否則不可能有 OA OB 簡證 仿 2. 2不難證得 :點 H 的軌跡方程為 :x2+y 2=22b 2-a2.由上面的知識可知 , 高考題實際上是將必然有 的一些結(jié)論特殊化 , 化一般為特殊 , 讓學生用所學知 識來解決必然成立的問題 , 只有學生把