復(fù)合函數(shù)的概念及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

1、復(fù)合函數(shù)的概念及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一、知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容和要求：理解復(fù)合函數(shù)的概念，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間二、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性 引例：函數(shù)y=f（x）在上單調(diào)遞減，則函數(shù)（a0，且a1）增減性如何？（二）新課1、復(fù)合函數(shù)的概念如果y是a的函數(shù)，a又是x的函數(shù)，即y=f（a），a=g（x），那么y關(guān)于x的函數(shù)y=fg（x）叫做函數(shù)y=f（x）和a=g（x）的復(fù)合函數(shù)，其中a是中間變量，自變量為x，函數(shù)值y。例如：函數(shù)是由復(fù)合而成立。 函數(shù)是由復(fù)合而成立，a是中間變量。2、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性由引例：對(duì)任意a，都有意義（a0且a1）且。對(duì)任意，當(dāng)a1時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)0a1時(shí)，單調(diào)遞減。當(dāng)a1時(shí)，

2、y=f（u）是上的遞減函數(shù) 是單調(diào)遞減函數(shù)類似地，當(dāng)0a1時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)一般地，定理：設(shè)函數(shù)u=g（x）在區(qū)間M上有意義，函數(shù)y=f（u）在區(qū)間N上有意義，且當(dāng)XM時(shí)，uN。有以下四種情況：（1）若u=g（x）在M上是增函數(shù)，y=f（u）在N上是增函數(shù)，則y=fg（x）在M上也是增函數(shù)；（2）若u=g（x）在M上是增函數(shù)，y=f（u）在N上是減函數(shù)，則y=fg（x）在M上也是減函數(shù)；（3）若u=g（x）在M上是減函數(shù)，y=f（u）在N上是增函數(shù)，則y=fg（x）在M上也是減函數(shù)；（4）若u=g（x）在M上是減函數(shù)，y=f（u）在N上是減函數(shù)，則y=fg（x）在M上也是增函數(shù)。即：同增異減。

3、注意：內(nèi)層函數(shù)u=g（x）的值域是外層函數(shù)y=f（u）的定義域的子集。  例1、討論函數(shù)的單調(diào)性（1）（2）解：又是減函數(shù)函數(shù)的增區(qū)間是（-，2，減區(qū)間是2，+）。x（-1，3）令x（-1，1上，u是遞增的，x1，3）上，u是遞減的。是增函數(shù)函數(shù)在（-1，1上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減。注意：要求定義域 練習(xí)：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。1、（1）減區(qū)間，增區(qū)間；（2）增區(qū)間（-，-3），減區(qū)間（1，+）；（3）減區(qū)間，增區(qū)間；（4）減區(qū)間，增函數(shù)。2、已知求g（x）的單調(diào)區(qū)間。提示：設(shè)，則g（x）=f（u）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性解決：g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間分別為（-，-1，0

4、，1，單調(diào)遞減區(qū)間分別為-1，0，1，+）。例2、y=f（x），且lglgy=lg3x+lg（3-x）（1）y=f（x）的表達(dá)式及定義域；（2）求y=f（x）的值域；（3）討論y=f（x）的單調(diào)性，并求其在單調(diào)區(qū)間上相應(yīng)的反函數(shù)。答案：（1）x（0，3）（2）（0，（3）y=f（x）在上單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)當(dāng)x時(shí)，；當(dāng)x時(shí)，。例3、確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。提示，先求定義域：（-，0），（0，+），再由奇函數(shù)，先考慮（0，+）上單調(diào)性，并分情況討論。函數(shù)的遞增區(qū)間分別為（-，-1， 0，+）函數(shù)的遞減區(qū)間分別為-1，0），（0，1。作業(yè)：1、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（1）（2）（3）2、求函數(shù)的遞減區(qū)間。3、求函數(shù)的遞增區(qū)間。4、討論下列函數(shù)的單調(diào)性。（1）（2）答案：1（1）遞減區(qū)間（2）遞增區(qū)間（0，+）（3）遞減區(qū)間（-，0遞增區(qū)間