函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題解題技巧

1、 范文范例參考臨沂市高三二輪會材料 函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題解題技巧函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題解題技巧新課標下的高考越來越重視考查知識的綜合應(yīng)用，恒成立問題涉及方程、不等式、函數(shù)性質(zhì)與圖象及它們之間的綜合應(yīng)用，同時滲透換元、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，考查綜合解題能力，尤其是在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)中體現(xiàn)的更為明顯，也是歷年高考的熱點問題,根據(jù)本人的體會，恒成立問題主要有以下幾種.一、利用函數(shù)的性質(zhì)解決恒成立問題例1 已知函數(shù) (1)若函數(shù)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是，求的值； (2)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍解：(1)由題意得 又 ，解得，或 (2)函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，等價于 導(dǎo)

2、函數(shù)在既能取到大于0的實數(shù)，又能取到小于0的實數(shù) 即函數(shù)在上存在零點，根據(jù)零點存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得 所以的取值范圍是.【方法點評】利用函數(shù)的性質(zhì)解決恒成立問題，主要是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)在給定的區(qū)間上不單調(diào)意味著導(dǎo)函數(shù)在給定的區(qū)間上有零點，利用函數(shù)零點的存在性定理即可解決問題.二、利用數(shù)形結(jié)合思想解決恒成立問題例2 已知是函數(shù)的一個極值點（1）求；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若直線與函數(shù)的圖象有個交點，求的取值范圍【方法指導(dǎo)】（1）在極值點處導(dǎo)數(shù)為零，可以求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間借助可以求出單調(diào)遞增區(qū)間，可以求出單調(diào)遞減區(qū)間；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可以求出其極大值和

3、極小值，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合可以求出的取值范圍.解：（1）因為，所以，因此（2）由（1）知，當時，；當時，所以的單調(diào)增區(qū)間是，的單調(diào)減區(qū)間是（3）由（2）知，在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少，在上單調(diào)增加，且當或時，所以的極大值為，極小值為因此 所以在的三個單調(diào)區(qū)間直線有的圖象各有一個交點，當且僅當因此，的取值范圍為【方法點評】數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中?？嫉乃枷敕椒ㄖ唬谟嘘P(guān)取值范圍問題、單調(diào)性問題、最值問題中體現(xiàn)較明顯，同時方程的根及函數(shù)零點也可轉(zhuǎn)化為交點問題解決.三、分離參數(shù)解決恒成立問題例3 已知函數(shù)，(1)當時，判斷在定義域上的單調(diào)性；(2)若在上恒成立，求的取值范圍【方法指導(dǎo)】（1）通過判斷導(dǎo)

4、數(shù)的符號解決；（2）由于參數(shù)是“孤立”的，可以分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的單調(diào)性或最值等解決解：(1)由題意：的定義域為，且，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)(2) 令，在上是減函數(shù)，即，在上也是減函數(shù)， 令得，當在恒成立時，的取值范圍是【方法點評】分離參數(shù)是恒成立問題中的一種重要解題方法，分離參數(shù)后，構(gòu)造新函數(shù)，求新函數(shù)的最值即可解決恒成立問題中的參數(shù)取值范圍.四、利用兩個函數(shù)的最值解決恒成立問題 例4 2014新課標全國卷 設(shè)函數(shù)f(x)aexln x，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為ye(x1)2.(1)求a，b；(2)證明：f(x)1.解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)

5、aexln xexex1ex1.由題意可得f(1)2，f(1)e，故a1，b2.(2)證明：由(1)知，f(x)exln xex1，從而f(x)1等價于xln xxex.設(shè)函數(shù)g(x)xln x，則g(x)1ln x，所以當x時，g(x)0.故g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，)上的最小值為.設(shè)函數(shù)h(x)xex，則h(x)ex(1x)所以當x(0，1)時，h(x)0；當x(1，)時，h(x)0時，g(x)h(x)，即f(x)1.五、不等式中的恒成立問題 例5 (2016山東)已知.(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，證明對于任意的恒成立解：(1)的定義域為，當時，若，則單調(diào)

6、遞增，若，則單調(diào)遞減當時，.(i)當時，.當或時，單調(diào)遞增當時，單調(diào)遞減(ii)當時，在區(qū)間內(nèi)，單調(diào)遞增(iii)當時，.當或時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在（0，）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增(2)證明：由(1)知，當時，設(shè)，則由，可得，當且僅當時取得等號又.設(shè)，則在上單調(diào)遞減因為，所以，使得當時，時，.所以h(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減由，可得，當且僅當時取得等號所以，即對于任意的成立六、利用恒成立問題求參數(shù)的取值范圍例6 (2015北京)已知函

7、數(shù) 。(1)求曲線 在點 處的切線方程；(2)求證：當 時， ；(3)設(shè)實數(shù)k使得 對 恒成立，求k的最大值。解：(1) ，所以切線方程為(2)原命題造價于任意 ，設(shè)函數(shù) ， 。當 時， ，函數(shù) 在 上是單調(diào)遞增函數(shù)。 ，因此任意。(3)由(2)知，當時，f(x)k對x(0，1)恒成立當k2時，令h(x)f(x)k，則h(x)f(x)k(1x2).所以當0x時，h(x)0，因此h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減故當0x時，h(x)h(0)0，即f(x)2時，f(x)k并非對x(0，1)恒成立綜上可知，k的最大值為2.【方法總結(jié)】研究不等式在區(qū)間上恒成立，求其中參數(shù)的取值范圍問題，一般有兩種方法：直接轉(zhuǎn)化

8、為研究帶參數(shù)的動態(tài)函數(shù)在區(qū)間上的最小值由于函數(shù)帶有參數(shù)，它在區(qū)間上的單調(diào)性會由于參數(shù)的不同而變化，因此需要分類討論由于函數(shù)的單調(diào)性和其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)有關(guān)，問題最后都歸結(jié)為就函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)進行分類討論問題(2)中的方法一就是遵循這一思路；是將不等式作變形，將參數(shù)和變量進行分離，將不等式轉(zhuǎn)化為(或)，利用極值原理，將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)在區(qū)間上的最大值（或最小值）的問題七、變形構(gòu)造函數(shù)解答恒成立問題 例7 已知函數(shù)(1)求證在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減；(2)若不等式是自然對數(shù)的底數(shù)）對任意的都成立，求實數(shù)的最大值【方法指導(dǎo)】(1)這是一個函數(shù)的單調(diào)性問題，所以用導(dǎo)數(shù)法，即證明函數(shù)在區(qū)間(0，1)上的導(dǎo)函數(shù)恒小于零；(2)先將不等式兩邊取自然對數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立，再用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)在上的最小值即可解：(1)， 設(shè)函數(shù)，當時，