備戰(zhàn)高考數(shù)學熱點題型和提分秘籍專題12函數(shù)模型及其應(yīng)用理含解析

1、專題十二 函數(shù)模型及其應(yīng)用【高頻考點解讀】 1了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用【熱點題型】題型一 幾類常見函數(shù)模型例1據(jù)調(diào)查，蘋果園地鐵的自行車存車處在某星期日的存車量為4 000輛次，其中變速車存車費是每輛一次0.3元，普通車存車費是每輛一次0.2元，若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系是()Ay0.1x800(0x4 000)By0.1x1 200(0x4 000)Cy0.1x800(0x4 000

2、)Dy0.1x1 200(0x4 000) 解析：y0.2x(4 000x)×0.30.1x1 200. 答案：D【提分秘籍】應(yīng)用函數(shù)模型解應(yīng)用題要注意 (1)正確理解題意，選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型(2)要特別關(guān)注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域(3)在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學解對實際問題的合理性【舉一反三】在某種新型材料和研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是()A.y2xBylog2xCy(x21) Dy2.61cos x解析：通過檢驗可知，ylog2x較為接近 答案：B【熱點題型】題型二

3、三種增長型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)例2、f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當x(4，)時，對三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列選項中正確的是() Af(x)>g(x)>h(x)Bg(x)>f(x)>h(x)Cg(x)>h(x)>f(x) Df(x)>h(x)>g(x) 【提分秘籍】三種模型的增長差異 在區(qū)間(0，)上，盡管函數(shù)yax(a>1)，ylogax(a>1)和yxn(n>0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上隨著x的增大，yax(a>1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于yxn(n

4、>0)的增長速度，而ylogax(a>1)的增長速度則會越來越慢因此，總會存在一個x0，使得當x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax.【舉一反三】物價上漲是當前的主要話題，特別是菜價，我國某部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定菜價，提出四種綠色運輸方案據(jù)預(yù)測，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內(nèi)完成預(yù)測的運輸任務(wù)Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是() 解析：由運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高得曲線上的點的切線斜率應(yīng)逐漸增大，故選B. 答案：B 【熱點題型】題型三 二次函數(shù)模型例3、(2013年高考陜西卷)在如圖

5、所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是()A15,20 B12,25C10,30 0,30 【提分秘籍】 解決二次函數(shù)型實際應(yīng)用問題時，除利用條件建立目標函數(shù)外，還要注意自變量的取值范圍，如果涉及最值問題，要注意對稱軸與定義區(qū)間的關(guān)系【舉一反三】某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L15.06x0.15x2和L22x，其中x為銷售量(單位：輛)若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為()A45.606萬元 B45.6萬元C45.56萬元 D45.51萬元【熱點題型】題型四 分段函數(shù)模

6、型例4、某旅游景點預(yù)計2014年1月份起前x個月的旅游人數(shù)的和p(x)(單位；萬人)與x的關(guān)系近似地滿足p(x)x(x1)(392x)(xN*，且x12)已知第x個月的人均消費額q(x)(單位：元)與x的近似關(guān)系是q(x)(1)寫出2014年第x個月的旅游人數(shù)f(x)(單位：人)與x的函數(shù)關(guān)系式：(2)試問2014年第幾個月旅游消費總額最大，最大月旅游消費總額為多少元？ 【提分秘籍】 分段函數(shù)模型的應(yīng)用技巧(1)很多實際問題中，變量間的關(guān)系不能用一個關(guān)系式給出，這時就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型，如出租車的票價與路程的函數(shù)就是分段函數(shù)(2)構(gòu)建分段函數(shù)時，要做到分段合理，不重不漏，并要注意實際問題中各

7、段自變量的取值范圍，特別是端點值(3)在求分段函數(shù)的最值時，應(yīng)先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值【舉一反三】如圖，在平面直角坐標系中，AC平行于x軸，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，記四邊形位于直線xt(t>0)左側(cè)圖形的面積為f(t)，則f(t)的大致圖象是()【熱點題型】題型五 指數(shù)函數(shù)模型例5、將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線yaen t假設(shè)過5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m分鐘甲桶中的水只有升，則m_.【提分秘籍】指數(shù)函數(shù)型多涉及增長率、減少率、銀行利率細胞分裂等一系列問題，通常可以表示為ya·(1p)x的形式

8、，利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)去求解【舉一反三】某電腦公司2012年的各項經(jīng)營收入中經(jīng)營電腦配件的收入為400萬元，占全年經(jīng)營總收入的40%，該公司預(yù)計2014年經(jīng)營總收入要達到1 690萬元，且計劃從2012年到2014年每年經(jīng)營總收入的年增長率相同，則2013年預(yù)計經(jīng)營總收入為_萬元【熱點題型】題型六 函數(shù)的實際應(yīng)用問題例6、小王大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本為W(x)萬元在年產(chǎn)量不足8萬件時，W(x)x2x(萬元)；在年產(chǎn)量不小于8萬件時，W(x)6x38(萬元)每件產(chǎn)品售價為5元通過市場

9、分析，小王生產(chǎn)的商品能當年全部售完(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤年銷售收入固定成本流動成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？ 【提分秘籍】函數(shù)模型的應(yīng)用有兩個方面：一方面是利用已知函數(shù)模型解決問題；另一方面是建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解決實際問題建立函數(shù)模型解應(yīng)用問題的步驟如下：(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應(yīng)的數(shù)學模型；(3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；(4)還原：將利用數(shù)學知識和方法得出

10、的結(jié)論，還原到實際問題中 【高考風向標】1（2014·湖南卷）某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A. B.C. D.1【答案】D【解析】設(shè)年平均增長率為x，則有(1p)(1q)(1x)2，解得x1.2（2014·陜西卷）如圖1­2，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點A的水平距離10千米處開始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖像的一部分，則該函數(shù)的解析式為 ()圖1­2Ayx3x Byx3xCyx3x Dyx3x3（2013·陜西卷） 設(shè)x表示不大于x的最大整數(shù)，

11、則對任意實數(shù)x，y，有 ()Axx B2x2xCxyxy Dxyxy4（2013·重慶卷）若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi) B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi) D(，a)和(c，)內(nèi)【隨堂鞏固】1.汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數(shù)，其圖象可能是()2國家規(guī)定某行業(yè)收入稅如下：年收入在280萬元及其以下的稅率為p%，超過280萬元的部分按(p2)%征稅，有一公司的實際繳稅比例為(p0.25)%，則該公司的年收入是()

12、A560萬元B420萬元C350萬元 D320萬元3某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10立方米的，按每立方米m元的水費收費；用水超過10立方米的，超過部分加倍收費某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水為()A13立方米B14立方米C18立方米D26立方米4某城市對一種售價為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量為萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是()A4,8 B6,10C4%,8%D6%,100%5某商店計劃投入資金20萬元經(jīng)銷甲、乙兩種商品，已知經(jīng)銷甲商品與乙商品所獲得的利潤分別為P(萬元)和

13、Q(萬元)，且它們與投入資金x(萬元)的關(guān)系是：P，Q(a0)若不管資金如何投放，經(jīng)銷這兩種商品或其中一種商品所獲得的純利潤總和不少于5萬元，則a的最小值應(yīng)為()A. B5C±D6為了在“十一”黃金周期間降價搞促銷，某超市對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額：如果不超過200元，則不予優(yōu)惠；如果超過200元，但不超過500元，則按標價給予9折優(yōu)惠；如果超過500元，其中500元按第條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予7折優(yōu)惠辛云和她母親兩次去購物，分別付款168元和423元，假設(shè)她們一次性購買上述同樣的商品，則應(yīng)付款額為_7.為了預(yù)防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為yta(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：(1)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t (小時)之間的函數(shù)關(guān)系為_；(2)據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至