近世代數(shù)課件(全)-2-7陪集、指數(shù)和Lagrange定理課件

1、第二章第二章 群論群論 7陪集、指數(shù)和陪集、指數(shù)和Lagrange定理定理 1/19/2022GBA,|BbAaabABgB |AaagABAg|AagaBAgA設(shè)設(shè) 為群為群, ,是群是群 子集子集, , 定義定義若若，則，則 G的兩個非空的兩個非空 1/19/2022( , )z 40 , 1 , 2 , 3Z 引例引例 整數(shù)加群整數(shù)加群，模，模4 4的剩余類：的剩余類：構(gòu)成構(gòu)成的一個分類：的一個分類：現(xiàn)利用群的觀點，分析此分類的特點：現(xiàn)利用群的觀點，分析此分類的特點：0,1,2,3( , )z 分類中存在一個特殊的類分類中存在一個特殊的類00是子群是子群, , 而其余的類都不是子群而其余

2、的類都不是子群. . 每個類正好是這個子群乘上這個類中每個類正好是這個子群乘上這個類中任取定的一個元素任取定的一個元素.i=i+0.i=i+0. 1/19/2022GH GaG|HhahaH|HhhaHaHG定義定義1 1 設(shè)設(shè), ,. . 稱群稱群的子集的子集和和分別為分別為在在中的左陪集與右陪集中的左陪集與右陪集. .GH GaaHHa GaHHa 思考題思考題1 1 若若, , 又設(shè)又設(shè), ,那么那么“”成立嗎成立嗎? ?為什么為什么? ?不一定是交換群不一定是交換群, ,所以所以未必成立未必成立. .答：由于答：由于 1/19/20223GS (1),(12)H HG HG(1),(1

3、2)(13)H (23)H 在在中的全部不同的左陪集有中的全部不同的左陪集有: :(1), (12),(13),(23),(123),(132)(1)H (13),(123)(23),(132)(12)H (123)H (132)H 1/19/20223GS (1),(12)H HG(1),(12)(13)H (23)H 在在中的全部不同的右陪集有中的全部不同的右陪集有: :(1), (12),(13),(23),(123),(132)(1)H (13),(132)(23),(123)(13)(13)HH (1)(13)(23)GHHH (1)(13)(23)HHH (12)H (132)H

4、(123)H 1/19/2022aHaHaHaH bHaHaHbHba1bHaH bHaH 左陪集的性質(zhì)及左陪集分解左陪集的性質(zhì)及左陪集分解 2 2） 3 3） 4 4）1 1）GH群群中每個元素屬于且只屬于一個左陪集，中每個元素屬于且只屬于一個左陪集，可以按照其子群可以按照其子群的左陪集分類的左陪集分類. .的按照其子群的按照其子群的左陪集分類中除去的左陪集分類中除去外，再無子群外，再無子群因此群因此群G群群GH存在存在. .H 1/19/2022,cHbHaHHGcHbHaHG GH,cba設(shè)設(shè)是子群是子群在群在群中的所有不同的左陪集，稱等式中的所有不同的左陪集，稱等式為群為群關(guān)于子群關(guān)于

5、子群的左陪集分解，而稱的左陪集分解，而稱為群為群的一個左陪集代表系的一個左陪集代表系. .GH關(guān)于子群關(guān)于子群 1/19/2022Haa HaHHa HbHaHabHba1HbHa HbHa 1 1） 2 2） 3 3） 4 4） 1/19/2022GH GaG :ahah HaH:ahha |lSaH aG |rSHa aG1:aHHa lSrS定理定理 1 1 設(shè)設(shè)，則群，則群陪集含有相同個數(shù)的元素；且陪集含有相同個數(shù)的元素；且在在中中 是是到到的一一映射的一一映射; ; 是是, , 則則 是是到到映射映射. .的任何兩個的任何兩個G證明證明 集的個數(shù)與右陪集的個數(shù)相同集的個數(shù)與右陪集的個

6、數(shù)相同. .左陪左陪HHa到到H的一一的一一 映射映射; ; , ,的一一的一一 1/19/2022GaHbHcH , , ,a b c GH111,abc 由定理由定理1 1知，知，即，即是群是群關(guān)于子群關(guān)于子群的一的一是群是群的一個右陪集代表系的一個右陪集代表系. .111GHaHbHc 個左陪集代表系，則個左陪集代表系，則GH關(guān)于子群關(guān)于子群 1/19/20223(1)(13)(23)SHHH 3(13)(132)SHHH 3(13)(123)SHHH 3(1)(13)(23)SHHH ？ （）（）？ 1/19/2022GH(:)GH定義定義 3 3 稱群稱群的的子群子群的不同左的不同左

7、( (右右) )在在中的中的指數(shù)指數(shù). . .陪集的個數(shù)陪集的個數(shù)( (有限或無限有限或無限) )為為HG記作記作3GS (1),(12)H (:)3G H GHG ( ,)GHG H 定理定理 2 2 ( (LagrangeLagrange定理定理) ) 有限群有限群，則，則. .例例1 1中中 1/19/2022HG H(:)G Hr 12rGa Ha Ha H ija Ha H | |ija Ha HH12| |(:)rGa Ha Ha Hr HH G H 證明證明 因為因為, , 所以所以也是有限群，也是有限群，且，且由定理由定理1, 1, 且且所以所以, , HG在在中左陪集的個數(shù)也有限中左陪集的個數(shù)也有限. . 設(shè)設(shè)從而從而 1/19/2022GaG nae 推論推論1 1 有限群子群的階整除群的階有限