巧用三角形的外角以及三角形內(nèi)角和公式的變形答案

1、巧用三角形的外角以及三角形內(nèi)角和公式的變形來(lái)解決三角形中角的有關(guān)求解與證明例 1： ABC 中，若/ A 2/ B+/C=0，則/ B 的度數(shù)是（ ）A.30 B.45C.60D.75提示：在厶ABC中，有/A+/B+/C=180，可適當(dāng)變形為/A+/C=180Z B,而條件/A 2/B+Z C=0,也可變形為/A+ / C=2Z B，所 以可知180Z B=2Z B，解此方程即可得到Z B=60o例 2:如圖， ABC 中，點(diǎn) D 為邊 AC上的一點(diǎn)，ZABD=ZADB，提示：在厶ABC中，有Z A+Z ABC+ Z C=180 ，在ABD中，有Z A+ Z ABD+ Z ADB=180 ，

2、由已知Z ABD= ZADB，可將 式變形為Z A+2 Z ADB=180 ，又因?yàn)閆 ADB是厶BCD的一個(gè)外角，所以Z ADB = Z C+ Z DBC，代入式，式最終變形為Z A+ 2 （Z C+Z DBC）=180-，用可得2 （ZC+Z DBC )Z ABC-Z C=0 ,即卩2 (Z C+Z DBC) =Z AB C+Z C,整理后即得DBCABCC2例 3:已知，如圖，在 ABC 中，AD、AE 分別是 ABC 的高和角 平分線， （1）若ZB=30，ZC=50，求ZDAE 的度數(shù)。（2）若ZCZB，試寫(xiě)出ZDAE 與（ZC-ZB）的數(shù)量關(guān)系。（不需要證明）提示：有三角形內(nèi)角和1

3、80,可知ABC中/BAC=100，已知AE是/BAC的角平分線，所以/EAC=50。，在ADC中，/C=50,/ADC=90,有三角形內(nèi)角和知/DAC=180-Z C-Z ADC=40 ,/DAE=/EAC-ZDAC=5040 =10由（1）的求解過(guò)程可知，要求得Z DAE的度數(shù)，需知道Z EAC與Z DAC的 度數(shù)，而我們知道Z DAC=180Z C-Z ADC=90 Z C，Z EAC的度數(shù)為1EAC BAC，2而 BAC 180 B C，則 EAC (180B C)，2所以 DAE= EAC- DAC例 4: ABC，如圖 a，若 P 點(diǎn)是ZABC 和ZACB 的角平分線的交點(diǎn)，貝 S

4、P 901A2如圖 b，若 P 點(diǎn)是ZABC 和外角ZACE 的角平分如圖 c,若 P 點(diǎn)是外角ZCBF 和ZBCE 的角平分線= -(1802BC) - (90 - C)的交點(diǎn)則P 90- A2上述說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3提示：在BPC中，/P=180/PBC-Z PCB（三角形內(nèi)角和），而PBC丄ABC,PCB - ACB,2 2所以P 180（11 ABC+-ACE），22而在&ABC中，有A+ABC+ACB=180，1適當(dāng)變形為-A1ABC1ACB 90，222得到1ABC1ACB 90-A，222所以P 180（1ABC1ACB）22=180-（90-A

5、）2=90 + - A2在ABPC構(gòu)成的“8字型”中，存在這樣的關(guān)系：/A+/ABP=/P+Z PCA I （“8字型”在我的與三角形有關(guān)的角的 幾個(gè)特殊類型一文里有詳細(xì)介紹，這里不做贅述），1ABP - ABC（ BP 為角平分線）II，2PCA=! ACE（ PC 為角平分線），2而 ACE= A+ ABC（ ACE 為夕卜角），1所以 PCA=（ A+ ABC 川，2將I和川代入I即得11A+ ABC P -（ A+ ABC 22整理得 P=- A2在BPC中,由三角形內(nèi)角和知：/ P+Z PBC+Z PCB=180 I,由的解題過(guò)程知CBF A ACB（ CBF 為夕卜角），BCE 二 A+ ABC（ BCE外角），PBC=1 CBF（ BP 為角平分線）21=-（AACB）n ,2PCB=1 BCE（CP 為角平分線）21=-（A+ ABC 川,2將n和川代入I即得1iP+-（ AACB）+-（ A+ ABC =180 ,22去括號(hào)得1111P+ A ACB+ A+ ABC=180IV ,2222而在 ABC 中，有 A+ ABC+ ACB=180,111所以1A1ACB +1ABC=90,222將其代入V式得1P+ A 90180 ,21整理得 P 90- A2因此答案