基本不等式非常全面

1、28基本不等式專題輔導(dǎo)222、基本不等式一般形式（均值不等式） 若a,b R,則a b2ab3、基本不等式的兩個重要變形（1）若a,b R*，則2總結(jié)：當兩個正數(shù)的積為定植時，它們的和有最小值；當兩個正數(shù)的和為定植時，它們的積有最小值；特別說明：以上不等式中，當且僅當 a b 時取“=”a b特別說明：以上不等式中，當且僅當a b時取“=”6、柯西不等式（1）若a, b,c, d R，則（a2b2）（c2d2） （ac bd）2(2)若a1, a2, a3, bi, b2, b3R，則有：22 2 2 2 22一、知識點總結(jié)1、基本不等式原始形式二、題型分析題型一：利用基本不等式證明不等式(1

2、)若a,b R，則a2b22ab1、設(shè)a,b均為正數(shù)，證明不等式：、.ab二(2)右a, bR，則 aba,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，(2)若a, b R,則abb2abbcca4、求最值的條件：“一正，二定，三相等”5、常用結(jié)論1(1)若x 0，則x 2（當且僅當x1時取“=”)x12（當且僅當x1時取X(3)若ab 0,則-2 （當且僅當ab時取b a22(4)若a, b R，則 ab（b)2ab2 2(5)若a, b R，貝 U1. a abba2b2v-1122(1已知aa,b,ca )(11,求證:b)(1 c) 8abca, b, c R28(a1a2a3)(柑b?b3)(aQa?

3、b2asbs)(3)設(shè)a1,a2, ,an與 db, ,b是兩組實數(shù)，則有222p222佝a2a.)(0 b2bn)(日山 a2b2anbn)42x 46、（2013年新課 標H卷數(shù)學(xué)（理）選修 4 5 :不等式選 講設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a b c 1,證明：(i) ab bc ca13；（2 , 2 2a b c ,n)1.b c a7、（2013年江蘇卷（數(shù)學(xué)）選修 4 5 :不等式選u講已知a b 0,求證：2a3b32ab2a2b題型二：利用不等式求函數(shù)值域1、求下列函數(shù)的值域(1)y 3x22x(2)yx(4 x)1(3)y x(x 0)x(4)y1x (x 0)x題型三：利用不

4、等式求最值（一）（湊項）1、已知x 2，求函數(shù)y2x42x 4的最小值;變式 1 :已知x 2，求函數(shù)y2x42x 4的最小值;變式 2：已知x 2，求函數(shù)y 2x的最大值;42x 45，求函數(shù) y 4x 2- 的最大值;44x 5題型四：利用不等式求最值(二)(湊系數(shù))1、當LI，一時，求y x(82x)的最大值；3、求函數(shù)y 2x 15 2x(- x -)的最大值;2 2(提示：平方，利用基本不等式)變式 1：當I.二時，求y 4x(82x)的最大值;變式：求函數(shù) y . 4x 311 4x(3 x W)的最大值;44練習(xí)：1、已知x5,求函數(shù) y 4x 2_的最小值;44x 52、若0

5、x 2，求y . x(63x)的最大值;2、已知X變式：若0 x 4，求y . x(8 2x)的最大值;3變式 2：設(shè)0 x，求函數(shù)y 4x(32x)的最大值。x y題型五：巧用“1”的代換求最值問題1 11、已知a,b 0,a 2b 1，求t丄-的最小值;a b法一：xy變式 5：（1 ）若x, y 0且2x y1. 1 11，求一x y的最小值；（2）若a,b,x, y R且axb，求xyy的最小值;19變式 4：已知x, yO,且4，求x y的最小值;a b變式 2：已知x, y 0, 一x y1，求xy的最小值;變式 1：已知a,b 0,a 2b 2，求t -1的最小值;、1 1變式3

6、:已知x, y 0，且9，求x y的最小值。變式 6：已知正項等比數(shù)列an滿足：a7a62a5，若-14存在兩項am, an，使得am3n4厲，求的最小值；m nx y題型六：分離換元法求最值（了解）x27x 101、求函數(shù)y（x1）的值域;x 1題型七：基本不等式的綜合應(yīng)用ab1、已知log2a log2b 1，求39的最小值2、（ 2009 天津）已知a, b 0,求2、ab 的最小值; a b21 1式a的最小值;ab a(a b)變式 2：（2012 湖北武漢診斷） 已知，當a 0, a 1時，函數(shù)y loga（x 1） 1的圖像恒過定點A，若點A在直變式：求函數(shù)y1）的值域;2、求函

7、數(shù)y（提示：換元法）變式 1： （2010 四川）如果a b 0，求關(guān)于a,b的表達變式：求函數(shù)y航的最大值;線mx y n 0上，求4m2n的最小值;3、已知x, y 0,x2y 2xy 8，求x 2y最小值;4、（ 2（)13年 山東（理）設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足2x3xy4y2z 0,則當xy取得最 大值z時,21-的最大值為()xyzA.0B .1C9D .34（提示：代入換元，利用基本不等式以及函數(shù)求最值）變式 1:已知a,b 0，滿足ab a b 3，求ab范圍;變式 2: （2010 山東）求xy最大值；（提示:已知x, y通分或三角換元）2變式：設(shè)x,y,z是正數(shù)，滿足x 2y

8、3z 0,求的XZ最小值；變式 3: （ 2011 浙江）求xy最大值；已知x, y 0，x2y2xy 1，題型八：利用基本不等式求參數(shù)范圍i、（ 20i2 沈陽檢測）已知x, y 0,且（x y）（! 旦）9 x y恒成立，求正實數(shù)a的最小值；題型九：利用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式a b（a,b, c, d R,當且僅當一 一；即 ad be 時等號成立）c d若a, b,c,d R，則（a2b2）（c2d2） （ac bd）22、二維形式的柯西不等式的變式（1）Ja2b2Jc2d2ac bd（a,b,c,d R,當且僅當a-;即 ad be 時等號成立）c d（2）. a2b2、c

9、2d2ac bd（a,b,c,d R,當且僅當a-;即 ad be 時等號成立）c d（3）（a b）（c d） （. ac . bd）2（a,b, c, d 0,當且僅當-;即 ad bc 時等號成立）c d3、二維形式的柯西不等式的向量形式（當且僅當0,或存在實數(shù) k,使 a k 時,等號成立）4、三維柯西不等式若ai ,a2, a3,bi,b2,b3R，則有:5、一般n維柯西不等式設(shè) 42,an與 bi,b2, ,bn是兩組實數(shù)，則有：z22(aia2an2)(b2b22bn2) (一 bia2b,日“)2（a,biR,當且僅當色邑也時等號成立）14變式：已知a,b 0滿則丄-a b求c

10、的取值范圍；2，若a b c恒成立,/ 2 2(aia2a32)(ibi2b22b32)心柑 a?b2asbs)2（卅R,當且僅當 b b a 時等號成立）i i n2、已知x y z 0且-恒成立,x y y z x z如果n N，求n的最大值；（參考：4）bib2bn析：令a(2sin ,3cos ， cos )，b(1, sin，cos )題型分析 題型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、設(shè)x, y, z R，若x2y2z24，則x 2y 2z的析：(x2y2z)2(x2 2yz2)12( 2)2224936 x 2y2;z最小值為6此時xyz6212212(2)2223244x,yz33，32、設(shè)x, y, zR,2xy 2z6，求x22 2y z的最小值m,并求-此時x,y, z之值。4 24最小值為_時，（x, y,z）_Ans:m 4;(x，y，z)(3, 3, 3)3、設(shè)x, y,z R，2x 3y z 3，求x2（y 1）2z2之最小值為_，此時y_(析：2x 3y z 3 2x 3( y 1) z 0)4、（2013年湖南卷（理）已知a, b, c , a 2b 3c 6,則a24