斯托克斯公式(1)

1、第1章 集 合第7節(jié) 斯托克斯公式7.1 斯托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推廣，這一公式給出了在曲面塊上的第二類曲面積分與其邊界曲線上的第二類曲線積分之間的關(guān)系圖7.1有向曲面的正向邊界：一人站在側(cè)沿走時在他的左邊（圖7.1）。給了可導(dǎo)的向量函數(shù)，我們有一個新的向量函數(shù)稱為的旋度。定理7.1設(shè)在有界曲面上有連續(xù)可導(dǎo)（沒有奇點），則有: (7.1)注不必要求單連通；上述公式可用行列式表示：右端行列式按第一行展開，并把與的乘積理解為等公式(7.1)稱為斯托克斯(Stokes)公式，特別地，當是平面上的簡單閉曲線，是在平面上所圍成的區(qū)域，則斯托克斯公式便成為格林公式，所以斯托克斯公式是格林公式的

2、推廣斯托克斯公式的意義：一般地，右邊的偏導(dǎo)函數(shù)比左邊的原函數(shù)簡單。注意到：在斯托克斯公式中，固定曲線后，可以自由選擇。我們先給兩例說明它的應(yīng)用【例7.1】利用斯托克斯公式計算曲線積分，其中為平面被三個坐標面所截的三角形邊界，它的正向與這個三角形上側(cè)的法向量之間符合右手螺旋法則(如圖7.2)解由斯托克斯公式有由被積函數(shù)（都為1）與的對稱性得其中為在面上的投影圖7.2111圖7.3【例7.2】計算，其中是圓柱面和平面的交線，方向為從軸正向看去為逆時針方向(如圖7.3所示)解平面法向量，有（這里）*定理7.1的證明：首先證明 (7.2)證明的思路是等式兩邊化為同一個二重積分圖7.4如圖7.4，不妨設(shè)

3、與面垂直的直線與至多交于一點，取上側(cè)，在面上的投影為，設(shè)的方程為:, ，因為在上，所以的方程可設(shè)為:，的方向?qū)?yīng)從到，則的方程為:從變到，由格林公式，有= (7.3)另一方面，由第二類曲面積分的計算方法，有= (7.4)由(7.3)(7.4)式得(7.2)式成立若與垂直于的平面的直線的交點多于一個時，可通過分割的方法，將分成幾部分，使每一部分與垂直于的平面的直線的交點至多一個，則在每一片上，(7.2)式成立各片上的(7.2)式相加，可得在上(7.2)式仍成立用類似的方法可證得： (7.5) (7.6)將(7.2)，(7.5)，(7.6)相加即得斯托克斯公式(7.1)成立證畢*7.2空間曲線積分

4、與路徑無關(guān)的條件與平面曲線積分與路徑無關(guān)的相關(guān)結(jié)論類似，有定理7.2設(shè)為空間一維單連通區(qū)域，若函數(shù)在上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個條件等價：(1)對于內(nèi)任一分段光滑的封閉曲線有(2)對于內(nèi)任一分段光滑的曲線，曲線積分與路徑無關(guān)(3)在內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，即存在，使得在內(nèi)每一點成立(4)在內(nèi)每點成立定理的證明與平面的情形相仿，不再重復(fù)【例7.3】驗證積分圖7.5與路徑無關(guān)，并求被積函數(shù)的原函數(shù)解，所以積分與路徑無關(guān)取積分路徑如圖7.5所示，有習題117A類1利用斯托克斯公式，計算下列曲線積分：(1)，其中為圓周，若從軸正向看去，取逆時針方向；*(2)，其中為與三坐標面的交線，它的方向與法向量符合右手螺旋法則；(3)，其中為以為頂點的三角形沿ABCA的方向*2利用斯托克斯公式把曲面積分化為曲線積分，