第1章 矢量分析

1、14第一章 矢量分析第1章 矢量分析§1.1 標(biāo)量場與矢量場一、場的概念如果某物理量在空間每一時(shí)刻和每一位置都有一個(gè)確定的值，則稱在此空間中確定了該物理量的場。二、標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場：若所研究的物理量是一個(gè)標(biāo)量，則稱該物理量的場為標(biāo)量場，例如：溫度場、密度場、電位場。矢量場：若所研究的物理量是一個(gè)矢量，則稱該物理量的場為矢量場，例如：力場、速度場、電場。三、靜態(tài)場和時(shí)變場靜態(tài)場：若物理量不隨時(shí)間變化，則稱該物理量所確定的場為靜態(tài)場。時(shí)變場：若物理量隨時(shí)間變化，則稱該物理量所確定的場稱為動(dòng)態(tài)場或時(shí)變場。標(biāo)量場在空間的變化規(guī)律由其梯度來描述，矢量場在空間的變化規(guī)律由矢量場的散度和旋度來

2、描述。§1.2 矢量場的通量 散度一、矢量線 矢量場的通量1、矢量線(1)矢量場的表示在矢量場中，各點(diǎn)的場量是隨空間位置變化的矢量。矢量場可以用一個(gè)矢量函數(shù)來表示。在直角坐標(biāo)系中表示為：(2)矢量線在矢量場中，為了形象直觀地描述矢量在空間的分布狀況，引入了矢量線的概念。矢量線：是一條空間曲線，在它上面每一點(diǎn)的場矢量都與其相切，并且用箭頭來表示矢量線的正方向。例如，靜電場中的電力線、磁場中的磁力線等。(3)矢量線方程在直角坐標(biāo)系下為：2、矢量場的通量通過面積元的通量：通過有限面積的通量：通過閉合曲面的通量：二、矢量場的散度1、散度的定義在矢量場中的任意一點(diǎn)處作一個(gè)包圍該點(diǎn)的任意閉合曲面

3、，所限定的體積為。矢量場在點(diǎn)處的散度記作，其定義為：2、散度在坐標(biāo)系下的表示定義哈密頓算符：(1)在直角坐標(biāo)系中的表示(2)在圓柱坐標(biāo)系中的表示(3)在球坐標(biāo)系中的表示3、散度的性質(zhì)(1) 散度是通量源的密度；表示該點(diǎn)有發(fā)出通量線的正通量源；表示該點(diǎn)有接收通量線的負(fù)通量源；表示該點(diǎn)無通量源。(2)矢量場的散度是一個(gè)標(biāo)量場。4、散度運(yùn)算的基本公式(1)(2)(3)(4)(5)三、散度定理散度定理是矢量場的體積分與面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系?！纠}1】求矢量場的矢量線方程?！窘狻渴噶烤€應(yīng)滿足的微分方程為從而有 所以和是積分常數(shù)。 【例題2】原點(diǎn)處點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電位移矢量，試求電位移矢量的散度。 【解

4、】【例題3】球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為，求 【解】根據(jù)散度定理知 而的散度為 所以§1.3 矢量場的環(huán)量 旋度一、矢量場的環(huán)量與環(huán)量面密度1、矢量場的環(huán)量矢量場沿場中的一條閉合路徑的曲線積分稱為矢量場沿閉合路徑的環(huán)量。物理意義：若某一矢量場的環(huán)量不等于零，則場中有產(chǎn)生該矢量場的旋渦源。2、環(huán)量面密度在矢量場中，一個(gè)給定點(diǎn)處沿不同方向，其環(huán)量面密度的值是不同的。二、矢量場旋度1、旋度的定義方向：環(huán)量面密度取最大值的面元正法線方向。大小：等于該環(huán)量面密度最大值。即2、旋度在坐標(biāo)系下的表示(1)在直角坐標(biāo)系中的表示(2)在圓柱坐標(biāo)系中的表示(3)在球坐標(biāo)系中的表示3、旋度的性質(zhì)(1)矢量場

5、的旋度是一個(gè)矢量。(2)矢量場在某點(diǎn)處的旋度表示該點(diǎn)的旋渦源密度。(3)矢量場在某點(diǎn)處沿方向的環(huán)量面密度，等于旋度在該方向上的投影。4、旋度運(yùn)算的基本公式(1)(2)(3)(4)(5)三、斯托克斯定理斯托克斯定理是矢量場的曲面積分與曲線積分之間的一個(gè)轉(zhuǎn)換關(guān)系。四、旋度與散度的區(qū)別(1)矢量場的旋度是矢量函數(shù)，矢量場的散度是標(biāo)量函數(shù)。(2)旋度描述場量與旋渦源的關(guān)系，散度描述場量與通量源的關(guān)系。(3)如果矢量場的旋度為零，則稱為無旋場(或保守場)；如果矢量場散度為零，則稱為無源場。(4)旋度描述場分量在與其垂直的方向上的變化規(guī)律；散度描述場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律?！纠}1】求矢量場在點(diǎn)M(

6、1，0，1)處的旋度以方向的環(huán)量面密度?！窘狻渴噶繄龅男仍邳c(diǎn)M(1，0，1)處的旋度 方向的單位矢量 在點(diǎn)M(1，0，1)處沿方向的環(huán)量面密度 【例題2】在坐標(biāo)原點(diǎn)處放置一點(diǎn)電荷q，在自由空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為 求自由空間任意點(diǎn)(r0)電場強(qiáng)度的旋度?！窘狻?#167;1.4標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場：用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來表示，在直角坐標(biāo)系中表示為：一、等值面1、等值面標(biāo)量場中量值相等的點(diǎn)構(gòu)成的面，稱為標(biāo)量場的等值面。例如，在溫度場中，由溫度相同的點(diǎn)構(gòu)成等溫面；在電位場中，由電位相同的點(diǎn)構(gòu)成等位面。2、等值面方程常數(shù)取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族，等值面族充滿整個(gè)場空間，且不同的

7、等值面互不相交。二、方向?qū)?shù)為研究標(biāo)場量在空間任一點(diǎn)的鄰域內(nèi)沿各個(gè)方向的變化規(guī)律，引入了標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度的概念。1、方向?qū)?shù)的定義考慮標(biāo)量場中兩個(gè)等值面，標(biāo)量函數(shù)沿給定方向的變化率：稱為標(biāo)量函數(shù)在P沿方向的方向?qū)?shù)。2、方向?qū)?shù)在直角坐標(biāo)系中的表示其中，是的方向余弦：3、方向?qū)?shù)的性質(zhì)(1)方向?qū)?shù)是標(biāo)量場在點(diǎn)P處沿方向?qū)嚯x的變化率。(2)標(biāo)量場中，在給定點(diǎn)P處沿不同方向的方向?qū)?shù)不相同。二、梯度1、梯度的定義標(biāo)量場的梯度：是一個(gè)矢量，其方向?yàn)闃?biāo)量場變化率最大的方向、大小則等于其最大變化率，即2、梯度在坐標(biāo)系下的表示記為(1)在直角坐標(biāo)系中的表示(2)在圓柱坐標(biāo)系中的表示(3)在球坐標(biāo)

8、系中的表示3、梯度的性質(zhì)(1)標(biāo)量場的梯度是一個(gè)矢量場。(2)標(biāo)量場在給定點(diǎn)處沿某方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影。(3)標(biāo)量場中某點(diǎn)處的梯度，垂直于過該點(diǎn)的等值面，且指向增加的方向。4、梯度運(yùn)算的基本公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【例題1】求證。【證明】在球坐標(biāo)系下：所以【例題2】求無界空間中的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位的梯度?！窘狻繜o界空間中的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位為：所以【例題3】求數(shù)量場通過點(diǎn)M(1, 0, 1)的等值面方程。【解】點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則該點(diǎn)的數(shù)量場值為，其等值面方程為所以【例題4】求數(shù)量場在點(diǎn)M(1, 1, 2)處沿方向的方向?qū)?shù)。 【解】方向的方向余弦為

9、而數(shù)量場在方向的方向?qū)?shù)為 在點(diǎn)M處沿方向的方向?qū)?shù) 【例題5】設(shè)標(biāo)量函數(shù)是動(dòng)點(diǎn)M(x, y, z)的矢量的模，即， 證明： ?！咀C明】因?yàn)槎?所以【例題6】求在M(1，0，1)處沿方向的方向?qū)?shù)?！窘狻奎c(diǎn)M處的坐標(biāo)為所以在M點(diǎn)處的梯度為 在M點(diǎn)沿l方向的方向?qū)?shù)為 而所以§1.5 亥姆霍茲定理一、兩個(gè)零恒等式1、零恒等式定理：標(biāo)量場的梯度的旋度為零。逆定理：若矢量場是一個(gè)無旋場，則該矢量場可表示為一個(gè)標(biāo)量場的梯度。稱為矢量場的標(biāo)量位。2、零恒等式定理：矢量場的旋度的散度為零。逆定理：若一個(gè)矢量場是無散場，則該矢量場可表示為另一個(gè)矢量場的旋度。稱為矢量場的矢量位。二、拉普拉斯運(yùn)算1、標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算(1)在直角坐標(biāo)系中的表示(2)在圓柱坐標(biāo)系中的