《平面向量的數(shù)量積》

1、平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積如果一個(gè)物體在力F作用下產(chǎn)生位移S，那么F所做的功為:表示力F的方向與位移S的方向的夾角。位移SOA問(wèn)題情境FFSW=FW=FS SCOSCOS平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握平面向量的數(shù)量積的定義及幾何意義2、掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)下面請(qǐng)同學(xué)們看課本并思考如下問(wèn)題：平面向量的數(shù)量積看課本116117頁(yè)并思考如下問(wèn)題：1、向量的夾角是如何定義（規(guī)定）的？2、向量的數(shù)量積如何定義，它與物理中力做功有什么聯(lián)系？3、向量的數(shù)量積是向量嗎？向量在方向上的投影是向量嗎？4、平面向量的數(shù)量積有什么樣的幾何意義？平面向量的數(shù)量積1、向量的夾

2、角 已知兩個(gè)非零向量a和b，在平上任取一點(diǎn)O，作OA=a,OB=b,則 叫做向量a與b的夾角)1800(AOB(1)中OA與OB的夾角為0（2）中OA與OB的夾角為180（3）中OA與OB的夾角為AOB（當(dāng) 時(shí)，a與b；當(dāng) 時(shí)，a與b；當(dāng) 時(shí)，a與b，記作）018090（4）中OA與OB的夾角為反向同向ba 垂直指出下列圖中兩向量的夾角AOABBBB.AAOOO.（2）（4）（3）（1）平面向量的數(shù)量積思考1：在平面向量的數(shù)量積定義中，它與兩個(gè)向量的加減法有什么本質(zhì)區(qū)別？向量的加減的結(jié)果還是向量，但向量的數(shù)量積結(jié)果是一個(gè)數(shù)量（實(shí)數(shù)）。（這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角有關(guān)）2、數(shù)量積的定

3、義已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為 ，我們把數(shù)量叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）記作即 并規(guī)定 cosbabacosbaba00a平面向量的數(shù)量積b bCOSCOS叫做向量b在向量a上的投影。1B)(1B1B（1）思考2：在下列各圖中作出b bCOSCOS的幾何圖形，并說(shuō)明它的幾何意義是什么？OAB（2）abOAB（3）ababAO過(guò)b的終點(diǎn)B作OAa的垂線(xiàn)段 ，垂足為 ，則由直角三角形的性質(zhì)得 =b bCOSCOS1BB1B1OB投影是向量嗎投影是一個(gè)數(shù)值（實(shí)數(shù)），當(dāng)為銳角時(shí)，它是正值；當(dāng)為鈍角時(shí)，它是負(fù)值。時(shí)時(shí)b bCOSCOS時(shí)時(shí)b bCOSCOS時(shí)時(shí)b bCOSCOS018090b

4、 bb b0平面向量的數(shù)量積數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度aa與b在a的方向上的投影b bCOSCOS的積ab的幾何意義：3、向量數(shù)量積的幾何意義ab=aab bCOSCOSa ab bOBOB b bCOSCOS平面向量的數(shù)量積4、向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a a,b b都是非零向量，e e是與b b的方向相同的單位向量，是a與e的夾角，則 (1)e ea a=_;a ae e=_ (2)a ab b_a ab b=0(3)當(dāng)a a與b b同向時(shí)，a ab b=_ 當(dāng)a a與b b異向時(shí)，a ab b=_ a aa a=_ (4) a ab _b _ aab b(5)cos _a aCOSCOSa aCOS

5、COSaab b-a-ab b2ababaab=aab bCOSCOSe ea a=a ae e=a aCOSCOS性質(zhì)4平面向量的數(shù)量積ab=aab bCOSCOS（1）若a=0a=0，則對(duì)任意向量b b，有a ab=b=0 （）（2）若a 0a 0，則對(duì)任意非零向量b b，有a a b b 0 ( )（3）若a 0a 0，且a ab b=0，則b=0 0 （）（4）若a ab b=0 ，則a=0a=0或b=0b=0 （）（5）對(duì)任意向量a a有 （）（6）若a 0a 0，且a ab= ab= ac c ，則b=c b=c （）5、反饋練習(xí):判斷正誤a a=|a|=|a|向量的數(shù)量積是向量之

6、間的一種乘法，與數(shù)的乘法是有區(qū)別的平面向量的數(shù)量積 ,1:平行且方向相同與因?yàn)榻釨CAD.0的夾角為與BCAD91330cosBCADBCAD6 6、典型例題分析、典型例題分析92ADBCAD或 BCAD.1:,60DAB3,AD4,ABABCD,圖求中，在平行四邊形如 CDAB.2 DAAB.3ab=aab bCOSCOSBACD60平面向量的數(shù)量積 且方向相反平行與,.2CDAB180的夾角是與CDAB16144180cosCDABCDAB162ABCDAB或 ,60.3的夾角是與ADAB120的夾角是與 DAAB62134120cosDAABDAAB例題例題 CDAB .2 DAAB.3

7、BACD60120進(jìn)行向量數(shù)量積計(jì)算時(shí),既要考慮向量的模,又要根據(jù)兩個(gè)向量方向確定其夾角ab=aab bCOSCOS平面向量的數(shù)量積24135鈍角直角2323020254ab=aab bCOSCOS7、課時(shí)作業(yè)：1、已知|p p|8，|q q|6，p p和q q的夾角是60，求p pq q2、設(shè)|a a|12，|b b|9，a ab b ，求a a和b b的夾角3、已知 中，ABa a，ACb b 當(dāng)a ab b0時(shí)， 是三角形； 當(dāng)a ab b=0時(shí)， 是三角形4、已知|a a|6，e e為單位向量，當(dāng)它們的夾角分別為 45、90、135時(shí)，求出a a在e e方向上的投影5、已知 中a5，b

8、8，C60，求BCCAABCABCABCABC作業(yè)5平面向量的數(shù)量積8 8、總結(jié)提煉、總結(jié)提煉（1 1）本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了平面向量數(shù)量積的定義、）本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了平面向量數(shù)量積的定義、 幾何意義及其性質(zhì)幾何意義及其性質(zhì)（2 2）向量的數(shù)量積的物理模型是力做功）向量的數(shù)量積的物理模型是力做功（3 3） a ab b的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)（標(biāo)量）的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)（標(biāo)量）（4 4）利用）利用a ab=ab=ab bCOSCOS ，可以求兩向量，可以求兩向量 的夾角，尤其是判定垂直的夾角，尤其是判定垂直（5 5）兩向量夾角的范圍是）兩向量夾角的范圍是（6 6）五條基本性質(zhì)要掌握）五條基本性質(zhì)要掌握 (7) (

9、7) 德育與美育的滲透德育與美育的滲透1800ab=aab bCOSCOS平面向量的數(shù)量積9、作業(yè)布置優(yōu)化設(shè)計(jì)P82隨堂訓(xùn)練1、4、6P83強(qiáng)化訓(xùn)練2、8平面向量的數(shù)量積1800或ab=aab bCOSCOS證明向量數(shù)量積性質(zhì)4(4) a ab b aab b因?yàn)閍 ab=ab=ab bCOSCOS 所以aab =ab =ab bCOSCOS又又COSCOS1 1所以 a ab b aab b思考：在什么情況下取等號(hào)？返回練習(xí)平面向量的數(shù)量積ab=aab bCOSCOS反饋練習(xí)（2）若a 0a 0，則對(duì)任意非零向量b b，有a a b b 0嗎？分析：對(duì)兩非零向量a、b ，當(dāng)它們的夾角時(shí)a ab=b=090返回練習(xí)平面向量的數(shù)量積謝謝大家！謝謝大家！平面向量的數(shù)量積反饋練習(xí)（6）若a 0a 0，且a ab= ab= ac c ，則b= c(b= c( ) )ab=aab bCOSCOS分析：由右圖易知，雖然a ab= ab= ac c ，但