自動(dòng)控制_07a線(xiàn)性離散系統(tǒng)的分析與校正

1、第七章第七章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)的分析與校線(xiàn)性離散系統(tǒng)的分析與校正正內(nèi) 容 提 要 離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)的根本區(qū)別在于控制系統(tǒng)中有一處或幾處信號(hào)是脈沖或者數(shù)碼，這些信號(hào)只在離散時(shí)間上有定義。通常把信號(hào)是脈沖序列形式的離散系統(tǒng)稱(chēng)為采樣控制系統(tǒng)，把數(shù)字序列形式的離散系統(tǒng)稱(chēng)為數(shù)字控制系統(tǒng)。 近年來(lái)，隨著脈沖技術(shù)、數(shù)字式元部件、數(shù)字電子計(jì)算機(jī)，特別是微處理機(jī)的迅速發(fā)展，數(shù)字控制器在許多場(chǎng)合取代了模擬控制器。數(shù)字控制器的應(yīng)用使得控制系統(tǒng)的本質(zhì)發(fā)生了很大變化，因此必須用本章將要介紹的離散控制理論來(lái)分析與研究其控制性能。 離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)間的根本區(qū)別在于：連續(xù)系統(tǒng)中的控制信號(hào)、反饋信號(hào)以及偏差信號(hào)都是連續(xù)的時(shí)間函

2、數(shù)，而在離散系統(tǒng)中則不然，一般情況下，控制信號(hào)是離散的時(shí)間函數(shù)r*(t) ，所以取自系統(tǒng)輸出端的負(fù)反饋信號(hào)在和上述離散控制信號(hào)進(jìn)行比較時(shí)，也需要采取離散型的時(shí)間函數(shù)b*(t) ，于是比較后得到的偏差信號(hào)將是離散的時(shí)間函數(shù)，即71 離散系統(tǒng)的基本概念)()()(*tbtrte1、采樣控制系統(tǒng)、采樣控制系統(tǒng) 附圖1：采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 因此，在采樣系統(tǒng)中，通過(guò)控制器對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制的直接作用信號(hào)乃是離散型的偏差信號(hào) 。上述采樣系統(tǒng)的方塊圖示于附圖1。)(*te附圖2：采樣反饋信號(hào) 在附圖1中，采樣反饋信號(hào) 是由連續(xù)的時(shí)間函數(shù)b(t)通過(guò)采樣開(kāi)關(guān)的采樣而獲得的。采樣開(kāi)關(guān)經(jīng)一定時(shí)間T重復(fù)閉合，每次閉合叫

3、間為，且有 T，見(jiàn)附圖2。)(*tb Tfs1 Ts2 在采樣系統(tǒng)中，采樣開(kāi)關(guān)重復(fù)閉合的時(shí)間間隔T稱(chēng)為采樣周期分別稱(chēng)為采樣頻率及采樣角頻率。其中T代表采樣周期。連續(xù)時(shí)間函數(shù)經(jīng)采樣開(kāi)關(guān)采樣后變成重復(fù)周期等于采樣周期的時(shí)間序列。該時(shí)間序列在連續(xù)時(shí)間函數(shù)上打*號(hào)來(lái)表示，屬于離散時(shí)間函數(shù)。 圖7-3：采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 在附圖1中，兩個(gè)采樣開(kāi)關(guān)的動(dòng)作一般是同步的，因此，附圖l所示采樣系統(tǒng)方塊圖可等效地簡(jiǎn)化成圖73。 采樣控制系統(tǒng)的應(yīng)用范圍非常廣泛，一般采樣控制系統(tǒng)的構(gòu)成如附圖4所示。 附圖4：采樣控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2、數(shù)字控制系統(tǒng)、數(shù)字控制系統(tǒng) 數(shù)字控制系統(tǒng)也是一種離散型的控制系統(tǒng)，只不過(guò)是通過(guò)數(shù)字計(jì)算機(jī)閉合

4、而已。因此，它包括工作于離散狀態(tài)下的數(shù)字計(jì)算機(jī)(或?qū)Ｓ玫臄?shù)字控制器)和具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對(duì)象兩大部分，其方塊圖如附圖76所示。圖中，有用于控制目的的數(shù)字計(jì)算機(jī)，或數(shù)字控制器，它構(gòu)成控制系統(tǒng)的數(shù)字部分，通過(guò)這部分的信號(hào)均以離散形式出現(xiàn)。被控對(duì)象一般用G(s)表示是系統(tǒng)的不可變部分，它是構(gòu)成連續(xù)部分的主要成分。圖76：數(shù)字控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 在數(shù)字控制系統(tǒng)中，具有連續(xù)時(shí)間函數(shù)形式的被控信號(hào)c(t) (模擬量)受控于具有離散時(shí)間函數(shù)形式的控制信號(hào) (數(shù)字量)。既然模擬量需要反應(yīng)數(shù)字量，這中間便需要有數(shù)模轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)。連續(xù)的被控制信號(hào)c(t)經(jīng)反饋環(huán)節(jié)反饋到輸入端與參考輸入相比較，從而得到e(t)并經(jīng)AD

5、得到偏差信號(hào) 。 離散的偏差信號(hào) 經(jīng)數(shù)字計(jì)算機(jī)的加工處理變換成數(shù)字信號(hào) ， 再經(jīng)DA轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào) 送到連續(xù)部分的執(zhí)行元件去控制系統(tǒng)的被控制信號(hào)c(t)。圖中采樣開(kāi)關(guān)的動(dòng)作是同步的。)(*tu)(*te)(*te)(*tu)(*tu)(tuh(a) 連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)t(b) 離散信號(hào)離散信號(hào)t(c) 離散量化信號(hào)離散量化信號(hào)t3 離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn) 1. 校正裝置效果比連續(xù)式校正裝置好，且校正裝置效果比連續(xù)式校正裝置好，且由軟件實(shí)現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變，控制靈活。由軟件實(shí)現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變，控制靈活。 2. 采樣信號(hào)，特別是數(shù)字信號(hào)的傳遞能有采樣信號(hào)，特別是數(shù)字信號(hào)的傳遞能有

6、效地抑制噪聲，從而提高系統(tǒng)抗干擾能力。效地抑制噪聲，從而提高系統(tǒng)抗干擾能力。 3. 控制精度高。等等?？刂凭雀?。等等。 72 信號(hào)的采樣與保持1 1 采樣過(guò)程采樣過(guò)程 實(shí)現(xiàn)采樣控制首先遇到的問(wèn)題，就是如何把連續(xù)信號(hào)變換為脈沖序列的問(wèn)題。 按一定的時(shí)間間隔對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣，將其轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的脈沖序列的過(guò)程稱(chēng)為采樣過(guò)程。實(shí)現(xiàn)采樣過(guò)程的裝置叫采樣器或采樣開(kāi)關(guān)。 采樣器可以用一個(gè)周期性閉合的開(kāi)關(guān)來(lái)表示，其閉合周期為T(mén)，每次閉合時(shí)間為 。在實(shí)際上，由于采樣持續(xù)時(shí)間通常遠(yuǎn)小于采樣周期T，也遠(yuǎn)小于系統(tǒng)連續(xù)部分的時(shí)間常數(shù)，因此，分析采樣系統(tǒng)時(shí)，可近似認(rèn)為趨近于0。在這種條件下，當(dāng)采樣開(kāi)關(guān)的輸入信號(hào)為連續(xù)信號(hào)

7、e(t)時(shí)，其輸出信號(hào)e*(t)是一個(gè)脈沖序列，采樣瞬時(shí)e*(t)的幅值等于相應(yīng)瞬時(shí)e(t)的幅值，即e(0T)、e(T)、e(2T) e(nT)，如附圖6所示。 附圖6：實(shí)際采樣過(guò)程0*)()()(nnTtnTete 采樣開(kāi)關(guān)相當(dāng)于一個(gè)單位脈沖發(fā)生器，采樣信號(hào)的調(diào)制過(guò)程如附圖7所示。附圖7：采樣信號(hào)的調(diào)制過(guò)程0*)()()()()(nTttenTttete例例1 1 e(t)=eat,試寫(xiě)出試寫(xiě)出e*(t)表達(dá)式。表達(dá)式。 0)()(nanTnTtete 解解： 物理意義：物理意義：可看成是單可看成是單位理想脈沖串位理想脈沖串 T (t) 被輸入信被輸入信號(hào)號(hào)e(t)進(jìn)行調(diào)制的過(guò)程，如右進(jìn)行

8、調(diào)制的過(guò)程，如右圖所示。圖所示。 在圖中，在圖中， T T( (t t) )為載為載波信號(hào)；波信號(hào)；e e( (t t) )為調(diào)制信為調(diào)制信號(hào)；號(hào)； e e* *( (t t) )為理想輸出脈為理想輸出脈沖序列。沖序列。2 2 采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)描述采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)描述（1 1） 采樣信號(hào)的拉氏變換采樣信號(hào)的拉氏變換（2 2） 采樣信號(hào)的頻譜采樣信號(hào)的頻譜 經(jīng)周期為 的等周期采樣得到離散信號(hào) )(teT00*)()()()()(nnnTtnTenTttete由于 是周期函數(shù)，可以展開(kāi)成復(fù)數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù) 0)(nnTtntjnnnseCnTt0)(TeTdtetTdtekTtTCttjntjnktj

9、nnsss11)(1)(1000220 則 ntjnnseTnTt1)(0從而 ntjnntjnnssetxTeTtenTttete)(11)()()()(0*進(jìn)行拉氏變換有 nsnsntjnjnsXTjnsXTetxTLsEs)(1)(1)(1)(*nsnjETjE)(1)(* 上式表明，采樣函數(shù)的拉氏變換式E*(s)是以s為周期的周期函數(shù)。另外，上式還表示了采樣函數(shù)的拉氏變換式E*(s)與連續(xù)函數(shù)拉氏變換式E(s)之間的關(guān)系。 通常E*(s)的全部極點(diǎn)均位于S平面的左半部，因此可用j代替上式中的復(fù)變量s，直接求得采樣信號(hào)的傅氏變換： 上式即為采樣信號(hào)的頻譜函數(shù)。它也反映了離散信號(hào)頻譜和連續(xù)

10、信號(hào)頻譜之間的關(guān)系。 一般說(shuō)來(lái)，連續(xù)函數(shù)的頻譜是孤立的，其帶寬是有限的，即上限頻率為有限值 (見(jiàn)附圖8（a）)。而離散函數(shù)e*(t)則具有以s 為周期的無(wú)限多個(gè)頻譜，如附圖8（b）所示。 在離散函數(shù)的頻譜中、n=0的部分E(j)T稱(chēng)為主頻譜。它對(duì)應(yīng)于連續(xù)信號(hào)的頻譜。除了主頻譜外， E*(j)還包含無(wú)限多個(gè)附加的高頻頻譜。為了準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)采樣的 連續(xù)信號(hào)，必須使采樣后離散信號(hào)的頻譜彼此不重疊，這樣就可以用一個(gè)比較理想的低通濾波器，濾掉全部附加的高頻頻譜分量，保留主頻譜。 附圖8：連續(xù)及離散信號(hào)的頻譜 由附圖8可見(jiàn)，相鄰兩頻譜互不重迭的條件是s 2h 如果滿(mǎn)足條件，并把采樣后的離散信號(hào)e*(t)加到如

11、圖9所示特性的理想濾波器上，則在濾波器的輸出端將不失真地復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號(hào)(幅值相差lT倍)。倘若s 2h ,則會(huì)出現(xiàn)圖8所示的相鄰頻譜的重疊現(xiàn)象，這時(shí)，即使用理想濾波器也不能將主頻譜分離出來(lái)，因而就難以準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)原有的連續(xù)信號(hào)。附圖9：理想濾波器頻率特性 采樣定理(shannon定理)，由于它給出了從采樣的離散信號(hào)恢復(fù)到原連續(xù)信號(hào)所必需的最低采樣頻率，所以在設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)時(shí)是很重要的。3 3 香農(nóng)采樣定理香農(nóng)采樣定理 從上面的分析中，可以得到一條重要結(jié)論，即只有在s 2 h的條件下，采樣后的離散信號(hào)e*(t)才有可能無(wú)失真地恢復(fù)到原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。這里2 h為連續(xù)信號(hào)的有限頻率。這就是香農(nóng)(Shann

12、on)采樣定理。由于它給出了無(wú)失真地恢復(fù)原有連續(xù)信號(hào)的條件，所以成為設(shè)計(jì)采樣系統(tǒng)的一條重要依據(jù)。 4 4 采樣周期的選擇采樣周期的選擇 采樣周期的選擇在很大程度上取決于系統(tǒng)的性能指標(biāo)。 從頻率域性能指標(biāo)來(lái)看，控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性通常具有低通濾波特性，所以近似有 。 根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，隨動(dòng)系統(tǒng)的采樣頻率可選為 rccs10由于 ，則 sT2cT15 從時(shí)域指標(biāo)看，按下列公式選取采樣周期 rtT101stT4015 5 信號(hào)保持信號(hào)保持信號(hào)保持是將離散信號(hào)轉(zhuǎn)換成連續(xù)時(shí)間信號(hào)的轉(zhuǎn)換過(guò)程。利用保持器解決各采樣時(shí)刻之間的插值問(wèn)題。在采樣時(shí)刻，連續(xù)信號(hào)的函數(shù)值與脈沖序列的脈沖強(qiáng)度相等。在nT時(shí)刻，有 )()

13、()(*nTenTetenTt2 , 1 , 0n在 時(shí)刻，有 Tn) 1( ) 1() 1()(*)1(TneTneteTnt問(wèn)題：那么在任意時(shí)刻 （ ），連續(xù)時(shí)間信號(hào)的值多大呢？ tnTTt 0(1)數(shù)學(xué)描述數(shù)學(xué)描述 實(shí)現(xiàn)采樣控制遇到的另一個(gè)重要問(wèn)題，是如何把采樣信號(hào)恢復(fù)為連續(xù)信號(hào)。 根據(jù)采樣定理，在滿(mǎn)足s 2 h的條件下，離散信號(hào)的頻譜彼此互不重疊。這時(shí)，就可以用具有附圖9特性的理想濾波器濾去高頻頻譜分量，保留主頻譜，從而無(wú)失真地恢復(fù)原有的連續(xù)信號(hào)。(2)信號(hào)保持器信號(hào)保持器 但是，上述的理想濾波器實(shí)際上是不能實(shí)現(xiàn)的。因此，必須尋找在特性上接近理想濾波器，而且在物理上又是可以實(shí)現(xiàn)的濾波器

14、。在采樣系統(tǒng)中廣泛采用的保持器就是這樣一種實(shí)際的濾波器。 保持器是一種時(shí)域的外推裝置，即根據(jù)過(guò)去或現(xiàn)在的采樣值進(jìn)行外推。一一 零階保持器零階保持器 通常把具有恒值、線(xiàn)性和拋物線(xiàn)外推規(guī)律的保持器分別稱(chēng)為零階、一階和二階保持器。其中最簡(jiǎn)單、最常用的是零階保持器。 零階保持器是一種按照恒值規(guī)律外推的保持器。它把前一采樣時(shí)刻nT的采樣值e(nT)不增不減地保持到下一采樣時(shí)刻(n+1)T，其輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的關(guān)系如附圖10。附圖10：輸入和輸出關(guān)系 由圖10可見(jiàn)，零階保持器的輸出信號(hào)是階梯信號(hào)。它與要恢復(fù)的連續(xù)信號(hào)是有區(qū)別的，包含有高次諧波。若將階梯信號(hào)的各中點(diǎn)連接起來(lái)，可以得到比連續(xù)信號(hào)退后T2的曲

15、線(xiàn)。這反映了零階保持器的相位滯后特性。)()(nTetnTe若給零階保持器輸入一個(gè)理想的單位脈沖 ，則其脈沖過(guò)渡函數(shù)為 )( 1)( 1)(Ttttgh對(duì)上式取拉氏變換，得零階保持器的傳遞函數(shù) )(t01)()(nTsnTshseenTesE)(1)(*sEsesETshsesEsEsGTshh1)()()(*)/()/()/(sin21)(sjssjThejejG零階保持器的傳遞函數(shù)零階保持器頻率特性（如圖11）圖11 零階保持器頻率特性零階保持器具有如下特性零階保持器具有如下特性低通特性低通特性：由于幅頻特性的幅值隨頻率值的增大而迅速衰減，說(shuō)明零階保持器基本上是一個(gè)低通濾波器，但與理想濾波

16、器特性相比，在 =s/2,其幅值只有初值的63.7%，且截止頻率不止一個(gè)，所以零階保持器允許主要頻譜分量通過(guò)外，還允許部分高頻分量通過(guò),從而造成數(shù)字控制系統(tǒng)的輸出中存在紋波。相角特性相角特性：由相頻特性可見(jiàn)，零階保持器要產(chǎn)生相角遲后，且隨的增大而加大，在 =s/2 時(shí)，相角遲后可達(dá)180o，從而使閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。時(shí)間滯后時(shí)間滯后：零階保持器的輸出為階梯信號(hào)eh(t) 其平均響應(yīng)為et(T/2),表明輸出比輸入在時(shí)間上要遲后T/2，相當(dāng)于給系統(tǒng)增加一個(gè)延遲時(shí)間為T(mén)/2的延遲環(huán)節(jié)，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定不利。二二 一階保持器一階保持器 一階保持器是種按線(xiàn)性規(guī)律外推的保持器，其外推關(guān)系為tdtdenTet

17、enTTnT|)(| )(由于未引進(jìn)高階差分，一階保持器的輸出信號(hào)與原連續(xù)信號(hào)之間仍有差別。一階保持器的單位脈沖響應(yīng)可以分解為階躍函數(shù)和斜坡函數(shù)之和。 一階保持器的單位脈沖函數(shù)的拉氏變換式可用下式表示，TTTnenTenTeteTnT)1()()(| )(2*)1)(1 ()()()(seTsTsEsEsGTshh 一階保持器的頻率特性繪于圖8-12。圖中的虛線(xiàn)表示零階保持器的頻率特性。圖8-12：一階保持器的頻率特性73 Z變換理論 通過(guò)前面對(duì)線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)的討論我們知道，線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)用線(xiàn)性微分方程來(lái)描述，可以應(yīng)用拉氏變換的方法來(lái)分析其動(dòng)態(tài)及穩(wěn)態(tài)過(guò)程。線(xiàn)性采樣系統(tǒng)中包含離散信號(hào)，用差分方程來(lái)描

18、述，同樣可以應(yīng)用一種z變換的方法來(lái)進(jìn)行分析。z變換是由拉氏變換引申出來(lái)的一種變形。 1 Z1 Z變換定義變換定義 設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)e(t)可進(jìn)行拉氏變換，其拉氏變換為E(s)。連續(xù)時(shí)間函數(shù)e(t)經(jīng)采樣周期為T(mén)的采樣開(kāi)關(guān)后，變成離散信號(hào)e*(t)0*)()()(nnTtnTete離散信號(hào)的拉氏變換為0*)()(nnTsenTesE 上式中各項(xiàng)均含有eTs因子，為便于計(jì)算定義一個(gè)新變量z=esT ， 其中T為采樣周期，z是復(fù)數(shù)平面上定義的一個(gè)復(fù)變量。通常稱(chēng)為z變換算子。 zTsezsTln1得到以z為自變量的函數(shù)E(z)0)()(nnznTezE0*)()(1)(nnnsznTezEjnsETsE

19、與 是相互補(bǔ)充的兩種變換形式，前者表示s平面上的函數(shù)關(guān)系，后者表示z平面上的函數(shù)關(guān)系。若所示級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)E(z)是e*(t)的z變換。記為 Ze*(t) = E(z) 應(yīng)該指出，式 所表示的z變換只適用于離散函數(shù)，或者說(shuō)只能表征連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的特性，而不能反映其在采樣時(shí)刻之間的特性。人們習(xí)慣上稱(chēng) E(z)是e(t)的z變換,指的是經(jīng)過(guò)采樣后e*(t)的z變換。采樣函數(shù)e*(t)所對(duì)應(yīng)的z變換是唯一的，反之亦然。但是，一個(gè)離散函數(shù)e*(t)所對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù)卻不是唯一的，而是有無(wú)窮多個(gè)。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，連續(xù)時(shí)間函數(shù)e (t)與相應(yīng)的離散時(shí)間函數(shù)e*(t)具有相同的z變換，即0*)()()(

20、)(nnznTezEteZteZ0)()(NnznTezE2 Z2 Z變換方法變換方法 求離散函數(shù)的方法有很多，本書(shū)介紹其中兩種。1) 級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法由離散函數(shù)00*)()()()()(nnnTtnTenTttete及其拉氏變換，0*)()(nnTsenTesE根據(jù)z變換的定義有：021)()2 ()() 0 ()()(nnnznTezTezTeeznTezE 其為離散函數(shù)z變換的一種表達(dá)形式。只要已知連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻nT(n=0,1,2,3,4,.)的采樣值便可求取離散函數(shù)z變換的級(jí)數(shù)展開(kāi)式。對(duì)常用離散函數(shù)的z變換應(yīng)寫(xiě)成級(jí)數(shù)的閉合形式。例例8-1：試求函數(shù)e(t)=1(t)的z變換。解:e (nt) =1(t) (n=0,1,2,3.)knnzzzznTezE1111)()(02111111zzzz例8-2：試求函數(shù) e(t)=e-at 的z變換