不完全信息靜態(tài)博弈

1、8第八章不完全信息靜態(tài)博弈這一章里我們討論不完全信息靜態(tài)博弈，也稱為貝葉斯博弈(Bayes)。不完全信息博弈中，至少有一個(gè)參與者不能確定另一參與者的收益函數(shù)。非完全信息靜態(tài)博的一個(gè)常見(jiàn)例子是密封報(bào)價(jià)拍賣(sealedbidauction)：每一報(bào)價(jià)方知道自己對(duì)所售商品的估價(jià)，但不知道任何其他報(bào)價(jià)方對(duì)商品的估價(jià)；各方的報(bào)價(jià)放在密封的信封里上交，從而參與者的行動(dòng)可以被看作是同時(shí)的。靜態(tài)貝葉斯博弈問(wèn)題的主要來(lái)源也是現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，許多靜態(tài)博弈關(guān)系都有不完全信息的特征，研究貝葉斯博弈不僅是完善博弈理論的需要，也是解決實(shí)際問(wèn)題的需要。8.1 靜態(tài)貝葉斯博弈和貝葉斯納什均衡為了更好的說(shuō)明不完全信息與完全信息

2、之間的差異，我們用一個(gè)典型靜態(tài)貝葉斯博弈作為例子，自然的引進(jìn)靜態(tài)貝葉斯博弈概念。8.1.1 不完全信息古諾模型考慮如下兩寡頭進(jìn)行同時(shí)決策的產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)模型。其中市場(chǎng)反需求函數(shù)由P(Q)=a-Q給出，這里Q=q1+q2為市場(chǎng)中的總產(chǎn)量。企業(yè)1的成本函數(shù)為Ci(qi)=Gq1，不過(guò)企業(yè)2的成本函數(shù)以日的概率為C2(q2)=CHq2,以18的概率為C2(q2)=CLq2,這里Cl一-3=w，選擇歌劇是最優(yōu)的。同樣，假定妻子米用了臨界值w戰(zhàn)略,h丈夫選擇拳擊和選擇歌劇的期望收益分別為x-www0(2th)=(2th)xxx和xw,wx-w10二xxxx.所以，當(dāng)且僅當(dāng)th-3=h,選擇拳擊是最優(yōu)的。解聯(lián)立

3、方程組、3=hww=h2h23h-x=0解二次方程得2x當(dāng)x趨于0時(shí)，該式的值趨于2/3。也就是說(shuō)，隨著不完全信息的消失，參與者在此不完全信息博弈純戰(zhàn)略貝葉斯納什均衡下的行動(dòng)趨于其在原完全信息博弈混合戰(zhàn)略納什均衡下的行動(dòng)。8.2.2暗標(biāo)拍賣我們用貝葉斯納什均衡的思想，來(lái)討論暗標(biāo)拍賣問(wèn)題?；镜陌禈?biāo)拍賣規(guī)則是各投標(biāo)人密封標(biāo)書投標(biāo)，統(tǒng)一時(shí)間開(kāi)標(biāo)，標(biāo)價(jià)最高者中標(biāo)。如果出現(xiàn)標(biāo)價(jià)相同的情況，用拋硬幣或類似方法決定中標(biāo)者。假設(shè)有兩個(gè)投標(biāo)人，分別為1、2,投標(biāo)人i對(duì)商品的估價(jià)為vi即如果投標(biāo)人i付出價(jià)格p得到商品，則i的收益為vi-po兩個(gè)投標(biāo)人的估價(jià)相互獨(dú)立，并服從0,1區(qū)間上的均勻分布。投標(biāo)價(jià)格不能為負(fù)

4、，且雙方同時(shí)給出各自的投標(biāo)價(jià)。出價(jià)較高的一方得到商品，并支付他報(bào)的價(jià)格；另一方的收益和支付都為0。投標(biāo)方是風(fēng)險(xiǎn)中性的，所有以上都是共同信息。為把這一問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)式的靜態(tài)貝葉斯博弈，我們必須確定行動(dòng)空間、類型空間、推斷及收益函數(shù)。參與者i的行動(dòng)是給出一個(gè)非負(fù)的投標(biāo)價(jià)bi,其類型即他的估價(jià)vi(在抽象博弈6=A，A2；Ti，T2；Pi，P2；Ui，U2中表示為，行動(dòng)空間Ai=0F),類型空間1=0,1)。由于估價(jià)是相互獨(dú)立的，參與者i推斷Vj服從0,1區(qū)間上的均勻分布，而不依賴于vi的值。最后，參與者i的收益函數(shù)為bi當(dāng)bibjUi(bb；Vi,V2)=7bi)/2當(dāng)bi=bj0當(dāng)bibj為推導(dǎo)這

5、一博弈的貝葉斯納什均衡，我們首先建立參與者的戰(zhàn)略空間。在靜態(tài)貝葉斯博弈中，一個(gè)戰(zhàn)略是由類型到行動(dòng)的函數(shù)。參與者i的一個(gè)戰(zhàn)略為函數(shù)bi(vi),據(jù)此可以決定i在每一種類型(即對(duì)商品的估價(jià))下選擇的投標(biāo)價(jià)格。在貝葉斯納什均衡下，參與者1的戰(zhàn)略b1(v1)與參與者2的戰(zhàn)略b2(V2)互相是對(duì)方的最優(yōu)反應(yīng)。若戰(zhàn)略組合bi(Vi),b2(V2)是貝葉斯納什均衡，那么每個(gè)類型修乏0,1,bi(修)滿足，、1，、max(Vi-bi)Pbibj(%-bi)Pb=bjbi2我們尋找該問(wèn)題的一組線性均衡解，即假設(shè)片“1)和b2(v2)都是線性函數(shù)。b1(V1)=a+GV1及b22)=a2+c2v2,并據(jù)此對(duì)上式進(jìn)

6、行簡(jiǎn)化。但應(yīng)注意我們不是限制了參與者的戰(zhàn)略空間，使之只包含了線性戰(zhàn)略；而是允許參與者任意地選擇戰(zhàn)略，而只看是否存在線性的均衡解。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)由于參與者的估價(jià)是均勻分布的，這樣的線性均衡解不僅存在。而且是惟一的。其結(jié)果為b(Vi)=Vi/2,也就是說(shuō)，每一參與者以其對(duì)商品估價(jià)的1/2作為投標(biāo)價(jià)。這樣，一個(gè)投標(biāo)價(jià)格反映出投標(biāo)方在拍賣中遇到的最基本的得失權(quán)衡：投標(biāo)價(jià)格越高，中標(biāo)的可能性越大；投標(biāo)價(jià)格越低，一旦中標(biāo)所得的收益就越大。假設(shè)參與者j采取戰(zhàn)略bj(Vj)=aj+CjVj,對(duì)一個(gè)給定的Vi值，參與者i的最優(yōu)反應(yīng)為下式的解、1，、max(Vi-bi)PbiajCjVj2(Vi-bi)Pbi=因?yàn)閂

7、j服從均勻分布，所以bj(Vj)=aj+CjVj)服從均勻分布，Pbi=bj=0。由于i的投標(biāo)價(jià)應(yīng)高于參與者j最低的可能投標(biāo)價(jià)格，否則沒(méi)有意義，同時(shí)應(yīng)低于j最高的可能投標(biāo)價(jià)格，我們有ajEbiWaj+5,于是，上式變?yōu)閎i-ajbi-ajmax(Vi-bi)PbiajcjVj:max(Vi-bi)PVj:二maxbibicjbicj一階條件為bi=(vi+aj)/2。在viaj時(shí)，bi=(vi+aj)/2aj,這樣時(shí)根本不可能中標(biāo)的，至少bi=aj。綜上，參與者i的最優(yōu)反應(yīng)為(vi+aj)/2當(dāng)vi5：ajbi(vi)=!aj*mcajL如果0aj1,則一定存在某些Vi的值，使Vi0,但這時(shí)aj21便意味著bj(Vj)Vj,而這對(duì)于參與人j肯定不是最優(yōu)的。因此，如果要求bi(Vi)是線性的，則一定有aj0,這時(shí)bi(vi)=(v