雙曲線點(diǎn)差法

1、點(diǎn)差法公式在雙曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題中的妙用圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題是高考常見(jiàn)的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點(diǎn)。它的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若已知直線與圓錐曲線的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式 作差，得到一個(gè)與弦 的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法 為“點(diǎn)差法”，它的一般結(jié)論叫做點(diǎn)差法公式。本文就雙曲線的點(diǎn)差法公式在高考中的妙用做一些粗 淺的探討，以饗讀者。定理在雙曲線2x2a2y2 1( a > 0， b > 0)中，若直線

2、l 與雙曲線相交于 M、N兩點(diǎn)，點(diǎn) b2P(x0,y0)是弦 MN的中點(diǎn)，弦 MN所在的直線 l的斜率為 kMN，則 kMNy0x0b2 .2.a證明：設(shè) M、 N 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、 (x2,y2)，則有2 x12a2 x22a2 y1 b22 y2 b21,1.(1)(2)(1)(2)，2 得 x1x22 a2222 y12 2y22 0 b2y2y1y2y1b2 .x2x1x2x12. a又kMNy2 y1y1y22y0y0 .x2 x1x1x22x0x0kMN y0b2.2.x0a22同理可證，在雙曲線y2x21( a>0，ab2b >0)中，若直線 l 與雙

3、曲線相交于 M、N 兩點(diǎn)，2 點(diǎn)P(x0,y0)是弦 MN的中點(diǎn)，弦 MN所在的直線 l的斜率為 kMN ，則kMN y0 a2 x0 b2典題妙解2 2x 例1 已知雙曲線 C:y21，過(guò)點(diǎn) P(2,1)作直線 l交雙曲線 C于A、B兩點(diǎn).31）求弦 AB的中點(diǎn) M的軌跡；2）若 P恰為弦 AB的中點(diǎn)，求直線 l的方程 .解：（1）a2 1,b2 3,焦點(diǎn)在 y 軸上.設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)為 （x,y），由 kABya22 得： y 1 y 1 ，xb 2x 2 x 3整理得： x2 3y 2 2x3y0.2所求的軌跡方程為 x 23y22x3y 0.2） P 恰為弦 AB 的中點(diǎn)，由 kAB2a

4、2 得：kAB 121,即 kAB2x0b2AB 23 AB3直線 l 的方程為 y 1 2 （x 2） ，即 2x 3y 1 0.3例2 已知雙曲線 C:2x2 y2 2與點(diǎn)P（1,2）.（ 1）斜率為 k 且過(guò)點(diǎn) P的直線 l 與 C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求 k 的取值范圍；（ 2）是否存在過(guò)點(diǎn) P的弦 AB，使得 AB的中點(diǎn)為 P？（ 3）試判斷以 Q（1,1） 為中點(diǎn)的弦是否存在 .解：（1）直線 l的方程為 y 2 k（x 1） ，即 y kx 2 k.y kx 2 k,由 2x2 y2 2. 得 (k2)x22(k22k)x k 24k6 0.直線 l 與 C有兩個(gè)公共點(diǎn)，k22 0,22

5、4(k 2 2k)2解之得： k< 3且 k2.2k 的取值范圍是 （ ,2)( 2, 2)( 2,32).（ 2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 x2 y2 1, a2 21,b 2 24(k22)(k 2 4k 6)0.設(shè)存在過(guò)點(diǎn) P 的弦 AB，使得 AB的中點(diǎn)為 P，則由 kAB y0 x0b2 得： k 22, k 1.由（ 1）可知， k 1時(shí)，直線 l與 C有兩個(gè)公共點(diǎn)， 存在這樣的弦 .這時(shí)直線 l 的方程為 y x 1.3）設(shè)以 Q（1,1） 為中點(diǎn)的弦存在，則由 kAB y0 x0b2b2 得： k 1 2, ak 2.由（ 1）可知， k 2時(shí)，直線 l 與 C沒(méi)有兩個(gè)公共點(diǎn)

6、，設(shè)以 Q（1,1） 為中點(diǎn)的弦不存在 .例 3 過(guò)點(diǎn) M （ 2,0）作直線 l交雙曲線 C: x2 y21于 A、B 兩點(diǎn)，已知 OPOA OB (O為坐標(biāo)原點(diǎn)） ，求點(diǎn) P 的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線解：在雙曲線 C:x2 y2 1中， a2 b2 1，焦點(diǎn)在 x軸上.設(shè)弦 AB的中點(diǎn)為 Q.OP OA OB,由平行四邊形法則知：OP 2OQ，即 Q是線段 OP的中點(diǎn) .設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為 （x,y），則點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 x, y22yy由 kAB2b22 得2yy y 1 ，xa：x2xx 4 x22整理得：2 x2 y4x0.(x22配方得：2)2y1.442 y點(diǎn) P 的軌跡方程

7、是(x 2)241 ，它是中心為 （ 2,0） ，對(duì)稱軸分別為x 軸和直線x 2 0 的雙曲線 .2 3x 4 的頂點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)例 4. 設(shè)雙曲線 C 的中心在原點(diǎn)，以拋物線 y2線為雙曲線的右準(zhǔn)線（）試求雙曲線 C 的方程；（）設(shè)直線 l:y 2x 1與雙曲線 C交于 A, B兩點(diǎn)，求 AB ；（）對(duì)于直線 l : y kx 1，是否存在這樣的實(shí)數(shù) k ，使直線 l與雙曲線 C的交點(diǎn) A,B 關(guān)于直 線l':y ax 4 （ a為常數(shù)）對(duì)稱，若存在，求出 k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（）由 y2 2 3x 4 得 y2 2 3（x 2 ），p 3 ，拋物線的頂點(diǎn)是

8、 ( 2 ,0) ，準(zhǔn)線是 x3在雙曲線 C 中，a2 1c 2 3,b21.22雙曲線 C的方程為 3x 2 y2 1.)由 y 2 2x 2 1, 得： x2 4x 2 0. 3x2 y2 1.設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2) ，則 x1 x24,x1x2 2.| AB | (1 k2)( x1 x2)2 4x1x2(1 22 )( 4) 2 4 22 10 .)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù) k，使直線 l與雙曲線 C的交點(diǎn) A, B關(guān)于直線 l '對(duì)稱，則 l' 是線段 AB的垂直平分線.因而 a1，從而 l': yk由 kABy0b2 得： ky03，x0ax0由

9、y01 kx04 得：ky0x0由、得：x0k, y03由 y0kx01得：3k21， k又由3x22 y1,得：(k23)x2y kx 1.直線 l 與雙曲線 C相交于 A、 B兩點(diǎn)，1x 4. 設(shè)線段 AB的中點(diǎn)為 P(x0 ,y0 ).kky0 3x0. 4k . 2.2kx 2 0.4k2 8(k2 3) >0，即k 2 <6，且 k2 3.符合題意的 k的值存在， k2.金指點(diǎn)睛1. (03 全國(guó) ) 已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F( 7,0) ，直線 y x 1 與其相交于 M、N 兩點(diǎn)，2MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程為(322A. x2 y2 134B.

10、22x2 y2 143C.22xy1 D.5222x2y2 12522. （02 江蘇）設(shè) A、B是雙曲線 x2 y21上兩點(diǎn)，點(diǎn) N （1,2）是線段 AB的中點(diǎn) .1）求直線 AB 的方程；2）如果線段 AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D 兩點(diǎn)，那么 A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓，為什么？P（ 1, 3）作直線 l 交雙曲線于 A、B兩點(diǎn).2223. 已知雙曲線 x 2 y 1 ，過(guò)點(diǎn)3（ 1）求弦 AB 的中點(diǎn) M的軌跡 ;2）若點(diǎn) P 恰好是弦 AB的中點(diǎn)，求直線l 的方程和弦 AB 的長(zhǎng) .224、雙曲線 C 的中心在原點(diǎn)，并以橢圓2 3x 的準(zhǔn)線為x y 1 的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線

11、 y225 13右準(zhǔn)線 .（1）求雙曲線 C 的方程；（2）設(shè)直線 l : y kx 3（k 0） 與雙曲線 C相交于 A、 B兩點(diǎn)，使 A、 B兩點(diǎn)關(guān)于直線l ' : y mx6（m 0） 對(duì)稱，求k 的值 .參考答案1. 解：在直線 yx 1中， k 1， x2時(shí)， y5.由 kMN y033.x0b2 5又由 a2 2得 a2 2,b 25.a2 b2 c2 722ba52532故答案選 D.2. 解：（1） a 1,b2，焦點(diǎn)在 x上. 由kAB y0 b2 得： kAB 2x0 a所求的直線 AB方程為 y 2 1 （x 1），即 x y 1 0.（2）設(shè)直線 CD的方程為

12、x y m 0，點(diǎn) N （1,2） 在直線 CD上，1 2 m 0，m 3.直線 CD的方程為 x y 3 0.又設(shè)弦CD的中點(diǎn)為 M (x,y)，由 kCD yxb22 得：a1 y 2 ，即 y 2x. x由xyy 3 0,得x2x.3, y 6 .點(diǎn) M 的坐標(biāo)為( 3,6) .x又由 2x2y12y20,得 A(1.1,0),B(3,4).由兩點(diǎn)間的距離公式可知：|MA | |MB |MC |MD | 2 10 .故 A、 B、 C、D 四點(diǎn)到點(diǎn) M的距離相等，即A、B、C、D 四點(diǎn)共圓 .3. 解：(1) a2 1,b2 3，焦點(diǎn)在 x上 . 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 (x, y).若直線 l

13、 的的斜率不存在，則 率存在 .l x 軸，這時(shí)直線l 與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，不合題意，故直線l 的的斜由 kABxb22 得：a3y2123， x整理，得：6x2 23x3y 0點(diǎn) M 的軌跡方程為6x22y23x3y0.2)由 kABy0x0b22a得：32123，kAB1.所求的直線l 方程為(x12)，即 y x 1.2由 x22y3x 1.1,得x2解之得：x12,x2| AB|1 k 2 | x2 x1 |233 2.224. 解：(1)在橢圓 x y1中， a 5,b 13,c25 13a2 b2 2 3 ，焦點(diǎn)為 F1( 2 3,0), F2(2 3,0).2在拋物線 y22 3x 中，3，準(zhǔn)線為 x2 在雙曲線中， ac23 . 從而3,b3.x2所求雙曲線 C 的方程為31.2）直線 l' 是弦AB 的垂直平分線，m 1 ，從而 l ' : y k1 x 6. 設(shè)弦 AB 的中點(diǎn)為 kkx 3.P(x0,y0).由 kAB yx