（參考）《二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（3）教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容解析1. 本章的內(nèi)容和地位在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中，對(duì)二次函數(shù)的課程內(nèi)容做出了以下五點(diǎn)要求：（1）通過對(duì)實(shí)際問題的分析，體會(huì)二次函數(shù)的意義. （2）會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì). （3）會(huì)用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對(duì)稱軸，并能解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題. （4）會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解. （5）*知道給定不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定一個(gè)二次函數(shù). 從內(nèi)容上看，學(xué)生在八年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函

2、數(shù)兩章內(nèi)容，二次函數(shù)一章編排于九年級(jí)下冊(cè)，此后，在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué) 必修1的課程中，學(xué)生將繼續(xù)學(xué)習(xí)和研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本初等函數(shù)的性質(zhì). 從方法上看，在研究一次函數(shù)和反比例函數(shù)時(shí)，教材側(cè)重于通過觀察函數(shù)圖象來直觀了解函數(shù)的性質(zhì). 而進(jìn)入高中后，教材則側(cè)重于通過分析解析式來研究函數(shù)性質(zhì). 因此，在二次函數(shù)一章的教學(xué)中，我引導(dǎo)學(xué)生將研究方法從圖象逐步向解析式轉(zhuǎn)移，讓學(xué)生在體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的同時(shí)，初步經(jīng)歷代數(shù)說理的過程，也為下一學(xué)段的學(xué)習(xí)做好過渡. 2. 本課的內(nèi)容和地位在教學(xué)中，本章內(nèi)容共安排了13個(gè)課時(shí)，其中第26.1節(jié)“二次函數(shù)及其圖象”包含了7個(gè)課時(shí). 教學(xué)中

3、為了突出學(xué)生的主體地位，適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知需求，在本章起始課上，我讓學(xué)生從已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，自己定義出一類可稱為“二次函數(shù)”的新函數(shù)，并探討對(duì)這類函數(shù)的進(jìn)一步研究設(shè)想. 結(jié)合一次函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，依據(jù)從特殊到一般的原則，部分學(xué)生提出了如下的研究思路：y=ax2(a0)y=ax2+c(a0)y=ax2+bx(a0)y=ax2+bx+c(a0)為順應(yīng)學(xué)生的研究思路，我嘗試對(duì)第26.1節(jié)的內(nèi)容做了調(diào)整，安排如下：課時(shí)原來的教學(xué)安排我調(diào)整后的內(nèi)容安排（本課是第5課時(shí)）第1課時(shí)26.1.1 二次函數(shù)26.1.1 二次函數(shù)第2課時(shí)26.1.2 二次函數(shù)y=ax2的圖象26.1.2 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析

4、式（1）利用三點(diǎn)求二次函數(shù)的解析式第3課時(shí)26.1.3 二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象（1）形如y=ax2+c(a0)的二次函數(shù)26.1.3 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）形如y=ax2(a0)的二次函數(shù)第4課時(shí)26.1.3 二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象（2）形如y=a(x-h)2 (a0)的二次函數(shù)26.1.3 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（2）形如y=ax2+c(a0)的二次函數(shù)第5課時(shí)26.1.3 二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象（3）形如y=a(x-h)2+k(a0)的二次函數(shù)26.1.3 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（3）形如y=ax2+bx(a0)和y=ax2+bx+c(a0)的二次

5、函數(shù)（數(shù)字系數(shù)）第6課時(shí)26.1.4 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象26.1.3 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（4）二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)的一般規(guī)律第7課時(shí)*26.1.5 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式26.1.4 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（2）利用頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸求解析式原教學(xué)安排以拋物線的平移作為主線，知識(shí)間的邏輯關(guān)系清晰，先從特殊到一般地研究形如y=a(x-h)2+k(a0)的二次函數(shù)，最后提出形如y=ax2+bx+c(a0)的二次函數(shù)，學(xué)生自然就能想到將后者配方變形為已學(xué)過的形式，這樣的設(shè)計(jì)便于突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn). 而我嘗試對(duì)內(nèi)容作調(diào)整則是立足于尊重學(xué)生的認(rèn)知需求，保

6、護(hù)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性. 此外，我校學(xué)生程度較好，具備一定的研究問題的能力，也樂于探究問題. 因此，我結(jié)合學(xué)生學(xué)情制定了本課的教學(xué)目標(biāo)，并且對(duì)教學(xué)情境、問題設(shè)計(jì)、代數(shù)說理等方面的內(nèi)容和難度進(jìn)行了反復(fù)推敲，進(jìn)行這節(jié)課的嘗試. 從學(xué)生的課后反饋來看，取得了較好的教學(xué)效果. 二、學(xué)生學(xué)情分析授課班級(jí)的學(xué)生程度較好，基礎(chǔ)扎實(shí)，思維靈活，具備一定的探索數(shù)學(xué)問題的能力，并樂于探究具有一定挑戰(zhàn)性的問題. 在知識(shí)基礎(chǔ)方面，學(xué)生八年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和反比例函數(shù)，會(huì)用描點(diǎn)法繪制函數(shù)圖象，會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，能夠借助函數(shù)圖象描述出函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，能夠理解函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)之間的內(nèi)在了解. 通過二次函數(shù)一

7、章前幾課時(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)了解到二次函數(shù)的圖象是拋物線，會(huì)用不共線的三點(diǎn)坐標(biāo)求出二次函數(shù)的解析式，掌握了形如y=ax2+c(a0)的二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能從解析式上對(duì)函數(shù)的最值、對(duì)稱性、增減性等特征進(jìn)行說明. 在研究能力方面，學(xué)生在七年級(jí)時(shí)參加了我校開展的研究性學(xué)習(xí)課程，具備較強(qiáng)的解決問題的能力. 而在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷過自己提出問題、設(shè)計(jì)方案、解決問題的過程. 比如，在學(xué)了正比例函數(shù)y=kx后，研究一次函數(shù)y=kx+b時(shí)，學(xué)生就提出想要研究“b對(duì)函數(shù)圖象的影響”這樣的問題，為解決問題，部分學(xué)生針對(duì)性地設(shè)計(jì)出函數(shù)組（如y=2x+1，y=2x+2，y=2x-1；或y=x+1，y=2x+

8、1，y=-x+1等），還有一些學(xué)生從解析式中猜想出了直線的上下平移關(guān)系，最終從不同解法中總結(jié)出“b的幾何意義”. 因此，學(xué)生們不僅能夠適應(yīng)本課教學(xué)內(nèi)容的調(diào)整，還能夠從中表現(xiàn)出更強(qiáng)的自主性，獲得更高的能力提升空間. 三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置1. 教學(xué)目標(biāo)（1）會(huì)將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=a(x-h)2+k(a0)的形式，并確定其開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）經(jīng)歷從特殊到一般的研究過程，體會(huì)數(shù)與形的內(nèi)在了解；（3）能利用二次函數(shù)的圖象特征推測(cè)函數(shù)的性質(zhì)，并利用二次函數(shù)的解析式對(duì)其圖象特征進(jìn)行解釋和判斷；（4）感受數(shù)學(xué)的直觀性、抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性，在方法遷移的過程中獲得成功的體驗(yàn). 2. 教學(xué)重點(diǎn)

9、、教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：形如y=ax2+bx(a0)的數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的圖象與性質(zhì). 教學(xué)難點(diǎn)：從解析式的角度對(duì)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性進(jìn)行說理論證. 四、教學(xué)策略分析1. 教學(xué)面臨的問題對(duì)本課而言，學(xué)生要掌握用配方的方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)化為y=a(x-h)2+k(a0)的形式，這需要考慮以下問題：（1）在學(xué)生提出的研究思路中，y=ax2+bx(a0)和y=ax2+bx+c(a0)兩種形式的二次函數(shù)所使用的方法本質(zhì)上是一樣的，應(yīng)當(dāng)通過教學(xué)讓學(xué)生意識(shí)到這種關(guān)系，使知識(shí)融合為一體；（2）在研究以上兩種形式的二次函數(shù)時(shí)，如果直接面對(duì)解析式，學(xué)生可能在繪制圖象時(shí)已經(jīng)遇到障礙，根據(jù)描出的有限幾個(gè)點(diǎn)確定不出

10、頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸的位置，讓代數(shù)變形的探究缺乏支撐；（3）由于本課所研究的問題有一定難度，容易讓學(xué)生感覺枯燥，所以問題情境的設(shè)計(jì)要盡量新穎、淺顯，保護(hù)學(xué)生的積極性。2. 教學(xué)方法的選擇本課主要采用了教師啟發(fā)講授和學(xué)生探究相結(jié)合的方法，包括教師的啟發(fā)講授、提問、演示，以及學(xué)生的練習(xí)、展示、討論等過程. 3. 教學(xué)情境的設(shè)計(jì)為了讓課堂更豐富，同時(shí)加強(qiáng)知識(shí)之間的了解，我將所研究的幾個(gè)二次函數(shù)用一個(gè)橋拱的情境串聯(lián)起來，從圖形入手，由淺入深地實(shí)現(xiàn)問題的引入、探究、推廣和提升. 如圖是一座橋的拋物線形橋拱. 當(dāng)水面在BC時(shí)，拱頂離水面的距離AD=2m，水面寬BC=2m.問題1：請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，指出拋

11、物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，并求出此時(shí)拋物線的解析式. （單位：m）問題2：某同學(xué)算出橋拱的解析式是y4=-2x2+4x-2. 你知道他是怎么建立坐標(biāo)系的嗎？問題3：在拱橋的問題中，（1）你發(fā)現(xiàn)y1、y2、y3、y4的圖象之間有什么了解？（2）如果以C為原點(diǎn)，直線BC為x軸，你能直接寫出橋拱所在拋物線的解析式嗎？（3）在（2）的條件下，橋拱在水中的倒影y也是拋物線，你能直接寫出它的解析式嗎？想一想，你的依據(jù)是什么.在問題1中，根據(jù)學(xué)生建系方式的不同，可以分別得到幾類不同形式的二次函數(shù)，這樣就把幾節(jié)課的知識(shí)巧妙地串聯(lián)起來了. 同時(shí)能夠很快得出新形式的二次函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，為后面的探究確定了目標(biāo)

12、. 問題2在背景上看似問題1的延續(xù)，實(shí)則在思維上與問題1互逆，在方法上又是問題1的推廣，讓研究的對(duì)象過渡為形如y=ax2+bx+c(a0)的二次函數(shù)，這兩種二次函數(shù)在形式上有差異，但知識(shí)間是有了解的，因而解決問題的方法是一樣的. 問題3留給學(xué)有余力的學(xué)生在課下探究，希望他們通過觀察和思考，找到拋物線位置和開口方向的決定因素，理解同一條拋物線在不同坐標(biāo)系下所對(duì)應(yīng)的不同解析式之間的了解，其實(shí)這種了解是雙向的：通過y1的平移可以得出y2、y3、y4的圖象；從更高層面理解，y2、y3、y4的性質(zhì)本質(zhì)上就是由y1的性質(zhì)得到的. 隨著理解的深入，學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解經(jīng)歷著由感性到理性的過程. 如果去掉橋拱

13、的問題背景，學(xué)生實(shí)際要研究的是以下三個(gè)二次函數(shù)： 這三個(gè)二次函數(shù)在形式和方法上由易到難. 函數(shù)y3是由圖象得解析式，便于探究規(guī)律，形成方法. 函數(shù)y4容易配方，也較容易繪制出圖象，還可以由前一個(gè)函數(shù)y3圖象的平移得到這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，可以讓學(xué)生在方法遷移的過程中體會(huì)知識(shí)之間的了解，并獲得成功的體驗(yàn). 最后通過研究函數(shù)y=2x2-3x-1，鞏固本課所學(xué)方法，并梳理研究二次函數(shù)的方法和過程. 4. 教學(xué)中的問題設(shè)計(jì)本課教學(xué)中涉及到新方法的引入，研究過程中也會(huì)面臨一些思維難題，因此，針對(duì)教學(xué)中的某些環(huán)節(jié)，我通過設(shè)計(jì)啟發(fā)性或階梯性的問題來幫助學(xué)生突破難點(diǎn). （1）引入配方方法的三步引導(dǎo)【環(huán)節(jié)2】探究求解

14、對(duì)y3=-2x2+4x，求證：當(dāng)x=1時(shí)ymax=2. 在環(huán)節(jié)2中證明函數(shù)最值時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解析式進(jìn)行配方變形. 由于本章前幾課時(shí)的研究中均沒有出現(xiàn)配方，學(xué)生不容想到，所以需要給學(xué)生適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo). 在這里，我設(shè)計(jì)了三步引導(dǎo)來完成證明過程：第1步：聯(lián)想y=ax2+c(a0)的情形當(dāng)a<0時(shí)頂點(diǎn)(0,c)是最高點(diǎn)，這是因?yàn)閍x20，從而y=ax2+cc，且當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)有最大值c，所以(0,c)是圖象的最高點(diǎn). 這是利用了x2的非負(fù)性，來確定函數(shù)的最值和取得最值的條件，同時(shí)確定圖象的最高或最低點(diǎn). 第2步：確定解析式的變形目標(biāo)若能夠?qū)⒔馕鍪統(tǒng)3=-2x2+4x也變形成y=aM2+N的形式，

15、其中M是含x的式子、N是常數(shù)，那么就可以通過M2的非負(fù)性求出函數(shù)取得最大或最小值的條件. 第3步：想到用配方的方法將解析式變形成需要的形式. 其實(shí)，如果不做前兩步分析，仍然會(huì)有部分學(xué)生想到使用配方的方法. 但二次函數(shù)存在最值，其本質(zhì)是因?yàn)閷?shí)數(shù)的平方具有非負(fù)性，所以我認(rèn)為應(yīng)該通過教師的引導(dǎo)和分析使學(xué)生看到這層本質(zhì)，而不是機(jī)械地使用配方的方法解題. （2）為研究函數(shù)對(duì)稱性而設(shè)計(jì)的階梯性問題【環(huán)節(jié)2】探究求解二次函數(shù)y3=-2x2+4x的對(duì)稱性. 對(duì)二次函數(shù)對(duì)稱性的描述是本課的教學(xué)難點(diǎn). 除了前兩課時(shí)教學(xué)中的適當(dāng)鋪墊外，教學(xué)中我還設(shè)計(jì)了三個(gè)階梯性問題，來幫助學(xué)生找到思路. 第1問：你能從圖象上找出一

16、組對(duì)稱點(diǎn)嗎？第2問：為什么說它們關(guān)于直線x=1對(duì)稱？它們的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別有什么關(guān)系？第3問：推廣到一般情形，可以怎么證明函數(shù)的對(duì)稱性？（換句話說，這樣的對(duì)稱點(diǎn)可以怎么找出來？）通過第1問和第2問，學(xué)生已經(jīng)可以總結(jié)出：關(guān)于直線x=1對(duì)稱的兩點(diǎn)M、N，其坐標(biāo)應(yīng)該滿足. 所以在第3問時(shí)學(xué)生的思路就順暢多了，在課堂上共提出了三種思路. 思路1：在拋物線上找兩點(diǎn)M、N，使，證明此時(shí). 思路2：在拋物線上取一點(diǎn)M(m,n)，則它關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為N(2-m,n)，證明點(diǎn)N也在拋物線上. 思路3：對(duì)任意m>0，在拋物線上取M、N，使xM=1-m，xN=1+m，證明此時(shí)yM=yN. 在高中必修

17、1教材中，主要采用上面的思路3來論證二次函數(shù)的對(duì)稱性，但這里學(xué)生能夠提出其它思路，主要是從前面的引導(dǎo)提問及階段性結(jié)論中受到了啟發(fā). 5. 教具的設(shè)計(jì)和使用在教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，我開發(fā)了教學(xué)ppt和幾何畫板課件. 對(duì)預(yù)設(shè)中的問題，在ppt課件中都有一定的準(zhǔn)備. 而對(duì)于課堂上可能出現(xiàn)的預(yù)設(shè)外情況，則可以用交互性更強(qiáng)的幾何畫板課件進(jìn)行演示. 此外，在學(xué)生可能需要繪制函數(shù)圖象的環(huán)節(jié)，我將幾何畫板課件設(shè)計(jì)為輸入橫坐標(biāo)后自動(dòng)計(jì)算出縱坐標(biāo)，并描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn). 這樣設(shè)計(jì)是為了在有限的時(shí)間內(nèi)更高效地展示出學(xué)生解決問題的不同思路，促進(jìn)思維的碰撞. 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)為達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，我為本課設(shè)計(jì)了四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，教學(xué)流程如下

18、：【環(huán)節(jié)1】溫故求新【環(huán)節(jié)2】探究求解【環(huán)節(jié)3】推廣遷移【環(huán)節(jié)4】總結(jié)提升通過橋拱的問題1，鞏固已學(xué)過的兩類特殊二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，引出本課需要研究的問題.從圖象入手，尋求解析式與圖象特征之間的聯(lián)系，找到研究二次函數(shù)y=ax2+bx的方法.通過橋拱的問題2，將研究方法推廣到形如y=ax2+bx+c的二次函數(shù)，體會(huì)知識(shí)和方法之間的聯(lián)系.對(duì)研究函數(shù)的一般思路和方法進(jìn)行總結(jié)，并布置作業(yè). 1. 溫故求新在前兩節(jié)課，我們研究了形如y=ax2(a0)和y=ax2+c(a0)的二次函數(shù)，其中y=ax2又可以看做y=ax2+c當(dāng)c=0時(shí)的特殊情形，而y=ax2+c則可以看做由y=ax2向上或向下平移得到.

19、 在研究中我們還了解到，二次函數(shù)的解析式和圖象特征之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系：已知解析式可以得出對(duì)應(yīng)圖象的特點(diǎn)，反之，知道了圖象的某些條件也可以求出對(duì)應(yīng)的解析式. 請(qǐng)看下面的問題. 如圖是一座橋的拋物線形橋拱. 當(dāng)水面在BC時(shí)，拱頂離水面的距離AD=2m，水面寬BC=2m. 問題1：請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，指出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，并求出此時(shí)拋物線的解析式. （單位：m）ABCD2m2m分析與解：可以選取圖中任意點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，求出的解析式各不相同. （選取有代表性的學(xué)生解答，投影展示，教師在黑板上畫圖以便總結(jié)、比較. ）解1：如圖，以A為原點(diǎn)，以直線AD為y軸建立坐標(biāo)系. 則拋物線頂點(diǎn)是

20、A(0,0)，對(duì)稱軸是y軸，且經(jīng)過B(-1,-2)、C(1,-2)，設(shè)拋物線為y1=ax2，解得a=-2，所以y1=-2x2. 解2：如圖，以D為原點(diǎn)，以直線AD為y軸建立坐標(biāo)系. 則拋物線頂點(diǎn)是A(0,2)，對(duì)稱軸是y軸，且經(jīng)過B(-1,0)、C(1,0)，設(shè)拋物線為y2=ax2+c，解得y2=-2x2+2. 解3：如圖，以B為原點(diǎn)，以直線BC為x軸建立坐標(biāo)系. 則頂點(diǎn)是A(1,2)，對(duì)稱軸是直線x=1，且經(jīng)過B(0,0)，C(2,0). 設(shè)拋物線為y3=ax2+bx+c，解得y3=-2x2+4x. 在前兩種解法中，分別用到了形如y=ax2和y=ax2+c兩類特殊二次函數(shù)的圖象來求解析式.

21、反過來，對(duì)這兩種特殊形式的二次函數(shù)，若知道了它們的解析式也可找到頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，并畫出圖象. 而在第三種解法中，由圖象知道了此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，對(duì)稱軸是直線x=1，并求出了解析式. 可如果僅知道拋物線的解析式y(tǒng)3=-2x2+4x，能否確定出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸呢？【設(shè)計(jì)說明】通過橋拱的問題1，復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過的兩類二次函數(shù)，并提出新形式的二次函數(shù)y=ax2+bx(a0). 在這個(gè)情境中，沒有先給出函數(shù)解析式再繪圖、研究，而是將同一條拋物線放在不同的坐標(biāo)系下求解析式，這樣學(xué)生便于得到新函數(shù)的圖象特征，為下一環(huán)節(jié)的論證說理找到目標(biāo). 2. 探究求解要研究這一問題，我們不妨先將這些圖象特

22、征轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的代數(shù)特征，再尋求它們與解析式之間的了解. （1）整理出拋物線y3=-2x2+4x的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、趨勢(shì)等圖象特征. （2）根據(jù)圖象的特征，描述出二次函數(shù)y3=-2x2+4x的對(duì)應(yīng)性質(zhì). 圖象特征函數(shù)性質(zhì)y3=-2x2+4x開口方向向下當(dāng)x=1時(shí)ymax=2. 最值頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,2)對(duì)稱軸直線x=1*對(duì)任意m>0，當(dāng)自變量x分別取1-m和1+m時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等. 對(duì)稱性曲線趨勢(shì)在對(duì)稱軸左側(cè)圖象從左到右上升；在對(duì)稱軸右側(cè)圖象從左到右下降. 當(dāng)x1時(shí)y隨x增大而增大；當(dāng)x>1時(shí)y隨x增大而減小. 增減性（3）從解析式的角度對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行論證. 首先論證：當(dāng)

23、x=1時(shí)ymax=2. 聯(lián)想y=ax2+c(a0)的情形：當(dāng)a<0時(shí)頂點(diǎn)(0,c)是最高點(diǎn)，這是因?yàn)閍x20，從而y=ax2+cc，且當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)有最大值c，所以(0,c)是圖象的最高點(diǎn). 這是利用了x2的非負(fù)性，來確定函數(shù)的最值和取得最值的條件，同時(shí)確定圖象的最高或最低點(diǎn). 類似的，若能夠?qū)⒔馕鍪統(tǒng)3=-2x2+4x也變形成y=aM2+N的形式，其中M是含x的式子、N是常數(shù)，那么就可以通過M2的非負(fù)性求出函數(shù)取得最大或最小值的條件，確定圖象的最高或最低點(diǎn). 這個(gè)過程與解一元二次方程時(shí)使用的配方法比較類似，不妨也試著對(duì)函數(shù)解析式的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)進(jìn)行配方：y3=-2x2+4x=-2(x2

24、-2x)=-2(x2-2x+1)+2=-2(x-1)2+2，由于(x-1)20，所以y3=-2(x-1)2+22，且當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最大值2. 其次來看這個(gè)函數(shù)的增減性. （說理）由配方得到y(tǒng)3=-2(x-1)2+2，所以(x-1)2越大，y3的值越小. 因此，當(dāng)x1時(shí)，x越小函數(shù)值越小，即y隨x的增大而增大；當(dāng)x>1時(shí)，x越大函數(shù)值越小，即y隨x的增大而減小. 最后來分析二次函數(shù)y3=-2x2+4x的對(duì)稱性. 學(xué)生描述對(duì)稱性時(shí)可能會(huì)遇到困難，需要有教師的幾步引導(dǎo)并配合課件演示：(A)找?guī)捉M具體的對(duì)稱點(diǎn)；（先從圖象上具體的點(diǎn)入手，你能從圖象上找出一組對(duì)稱點(diǎn)嗎？）(B)總結(jié)這些點(diǎn)的坐標(biāo)特

25、點(diǎn). （為什么說它們關(guān)于直線x=1對(duì)稱？它們的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別有什么關(guān)系？）(C)推廣到一般情形，可以怎么描述？（這樣的對(duì)稱點(diǎn)可以怎么找出來？）當(dāng)自變量分別取xM、xN時(shí)，設(shè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為yM、yN. 預(yù)案1從橫坐標(biāo)入手：可以從(1,0)點(diǎn)向左右等距離地取兩個(gè)點(diǎn)，把它們的橫坐標(biāo)作為自變量，來判斷圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是否相等. 對(duì)于任意實(shí)數(shù)m>0：取xM=1-m，則yM=-2(1-m)2+4(1-m)=-2m2+2；取xN=1+m，則yN=-2(1+m)2+4(1+m)=-2m2+2. （若將橫坐標(biāo)代入配方后的解析式，計(jì)算更簡(jiǎn)便. ）所以yM=yN，即點(diǎn)(1-m,yM)、(1+m,y

26、N)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以二次函數(shù)y3=-2x2+4x圖象的對(duì)稱軸是直線x=1. 預(yù)案2從縱坐標(biāo)入手：由于函數(shù)的最大值是2，可以在直線y=2下方畫一條平行于x軸的直線，這條直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，判斷它們到直線x=1的距離是否相等. 比如：當(dāng)y=1.5時(shí)，求出x1=0.5，x2=1.5，它們到直線x=1的距離都是0.5，是關(guān)于直線x=1對(duì)稱的. 令y=n，則：-2x2+4x=n，用配方法解：-2(x-1)2=n-2，(x-1)2=，所以，當(dāng)n2時(shí)，關(guān)于直線x=1對(duì)稱. 預(yù)案3從圖象上任意點(diǎn)入手，證明其對(duì)稱點(diǎn)也在拋物線上. 設(shè)M(m,n)是拋物線上任意一點(diǎn)，則n=-2m2+4

27、m，作點(diǎn)M關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)N，則N(2-m,n). 當(dāng)x=2-m時(shí)，y=-2(2-m)2+4(2-m)=-2m2+4m=n，所以N也在拋物線上，因此圖象的對(duì)稱軸是直線x=1. 小結(jié)：從上面的研究中會(huì)發(fā)現(xiàn)，在二次函數(shù)的主要性質(zhì)中，對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最值三者是相互關(guān)聯(lián)的，只要確定了其中之一，就能夠很快地說出函數(shù)的其它性質(zhì). 而對(duì)稱軸和頂點(diǎn)是從函數(shù)的圖象上得到的，最值則可以通過對(duì)解析式配方變形求出來. 所以，在研究形如y=ax2+bx的二次函數(shù)時(shí)，無論是先知道了圖象，還是先知道解析式，都可以推導(dǎo)出函數(shù)的性質(zhì).對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最值函 數(shù) 圖 象函 數(shù) 解 析 式【設(shè)計(jì)說明】這個(gè)環(huán)節(jié)從二次函數(shù)y3=

28、-2x2+4x的圖象特征入手，通過函數(shù)性質(zhì)由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，來尋求解析式與圖象特征之間的了解，并從中找到通過解析式來求解二次函數(shù)的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)的一般方法. 3. 推廣遷移問題2：某同學(xué)算出橋拱的解析式是y4=-2x2+4x-2. 你知道他是怎么建立坐標(biāo)系的嗎？分析：要知道這名同學(xué)建立坐標(biāo)系的方法，就是要知道他把原點(diǎn)定在什么位置，反過來看，也就是需要找出拋物線y4的頂點(diǎn)坐標(biāo). 預(yù)案1在坐標(biāo)系中描點(diǎn)、繪制拋物線y4=-2x2+4x-2. x-2-1012y-18-8-20-2從圖象中觀察出，對(duì)稱軸是直線x=1，所以頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0). 預(yù)案2對(duì)解析式進(jìn)行配方：y4=-2x2+4x-

29、2=-2(x2-2x+1)=-2(x-1)2. 可得：當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有最大值0，所以y4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，可以得知坐標(biāo)系的建立方法如圖. 可以看出，對(duì)于形如y=ax2+bx+c的二次函數(shù)，用配方的方法同樣可以幫助我們求出函數(shù)的最值，從而確定頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸. 預(yù)案3從解析式上分析，拋物線y4=-2x2+4x-2可以看做由拋物線y3=-2x2+4x向下平移2個(gè)單位得到，所以其頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0). 預(yù)案4設(shè)B(a,b)，則A(a+1,b+2)，C(a+2,b)，代入拋物線的解析式，解得a=-2，b=-2，所以B(-2,-2)，由此可確定原點(diǎn)的位置. 小結(jié)：從大家的解法中不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)形如

30、y=ax2+bx+c的二次函數(shù)，同樣可以通過繪制圖象或者對(duì)解析式配方來確定它的頂點(diǎn)坐標(biāo). 事實(shí)上，還有同學(xué)發(fā)現(xiàn)，這一類二次函數(shù)可以由二次函數(shù)y=ax2+bx向上或向下平移得到，只要研究清楚二次函數(shù)y=ax2+bx的性質(zhì)，就容易研究出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)，所以我們?cè)趩栴}1中使用的配方的方法在這里仍然可以適用. 【小試身手】試研究二次函數(shù)y=2x2-3x-1的性質(zhì). 解：（1）繪制圖象：列表、描點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象x-2-10123y134-1-218描點(diǎn)后發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)能夠反映出圖象的大致走勢(shì)，且開口向上，但還不足以準(zhǔn)確確定對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo). 預(yù)案可以再增加一些點(diǎn)（紅色），匯總?cè)缦卤恚簒

31、-2-1.5-1-0.500.511.522.533.5y13841-1-2-2-114813加入新的點(diǎn)并連線后，能夠看出拋物線開口向上，并且關(guān)于一條平行于y軸的直線對(duì)稱，由一組對(duì)稱點(diǎn) (0,-1)、(1.5,-1)，容易找到圖象的對(duì)稱軸是直線x=. 當(dāng)時(shí)，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)是. （2）最值：由于對(duì)任意實(shí)數(shù)x，因此. 只有當(dāng)時(shí). 所以圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，是圖象的最低點(diǎn). （2）對(duì)稱性：圖象的對(duì)稱軸是直線. 對(duì)任意m>0，當(dāng)自變量x分別取和時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等. 事實(shí)上，通過配方確定了拋物線的對(duì)稱軸后，若利用對(duì)稱性進(jìn)行描點(diǎn)會(huì)更加的方便. （3）增減性：在對(duì)稱軸左側(cè)圖象從左到右上升，即當(dāng)時(shí) y隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸右側(cè)圖象從左到右下降，即當(dāng)時(shí)， y隨x的增大而增大. 歸納：二次函數(shù)y=2x2-3x-1的圖象與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)圖象特征最值當(dāng)時(shí).向上開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱性對(duì)任意m>0，當(dāng)自變量x分別取