解析幾何七種常規(guī)題型及方法(共19頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上解析幾何七種常規(guī)題型及方法常規(guī)題型及解題的技巧方法A:常規(guī)題型方面一、一般弦長計(jì)算問題：例1、已知橢圓，直線被橢圓C截得的弦長為，且，過橢圓C的右焦點(diǎn)且斜率為的直線被橢圓C截的弦長AB，求橢圓的方程；弦AB的長度.思路分析：把直線的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式求解.解析：由被橢圓C截得的弦長為，得， 又，即，所以. 聯(lián)立得，所以所求的橢圓的方程為. 橢圓的右焦點(diǎn)，的方程為：， 代入橢圓C的方程，化簡(jiǎn)得，由韋達(dá)定理知，從而，由弦長公式，得，即弦AB的長度為點(diǎn)評(píng)：本題抓住的特點(diǎn)簡(jiǎn)便地得出方程，再根據(jù)得方程，從而求得待定系數(shù)，得出橢圓的方程，解決直線與圓錐曲線的

2、弦長問題時(shí)，常用韋達(dá)定理與弦長公式。2、 中點(diǎn)弦長問題：具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個(gè)參數(shù)。 典型例題 給定雙曲線。過A（2，1）的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) 及，求線段的中點(diǎn)P的軌跡方程。 分析：設(shè)，代入方程得，。 兩式相減得 。 又設(shè)中點(diǎn)P（x,y），將，代入，當(dāng)時(shí)得 。 又， 代入得。當(dāng)弦斜率不存在時(shí)，其中點(diǎn)P（2，0）的坐標(biāo)也滿足上述方程。因此所求軌跡方程是說明：本題要注意思維的嚴(yán)密性，必須單獨(dú)考慮斜率不存在時(shí)的情況。例2、過點(diǎn)作拋物線的弦AB，恰被點(diǎn)P平分，求AB的所在直線方程及弦AB的長度。思路

3、分析：因?yàn)樗笙彝ㄟ^定點(diǎn)P，所以弦AB所在直線方程關(guān)鍵是求出斜率，有P是弦的中點(diǎn)，所以可用作差或韋達(dá)定理求得，然后套用弦長公式可求解弦長.解法1：設(shè)以P為中點(diǎn)的弦AB端點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，兩式相減，得又則，所以所求直線AB的方程為，即.解法2：設(shè)AB所在的直線方程為 由，整理得. 設(shè)，由韋達(dá)定理得， 又P是AB的中點(diǎn)，所以所求直線AB的方程為.由 整理得，則有弦長公式得，.點(diǎn)評(píng)：解決弦的中點(diǎn)有兩種常用方法，一是利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來構(gòu)造條件；二是利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系求解，然后可套用弦長公式求解弦長.三、焦點(diǎn)弦長問題：例3、（同例1、）另解：橢圓的右焦點(diǎn)

4、，的方程為： ， 代入橢圓C的方程，化簡(jiǎn)得，由韋達(dá)定理知，由過右焦點(diǎn)，有焦半徑公式的弦長為. 即弦AB的長度為點(diǎn)評(píng)：在解決直線與圓錐曲線的弦長問題時(shí)，通常應(yīng)用韋達(dá)定理與弦長公式，若涉及到焦點(diǎn)弦長問題，則可利用焦半徑公式求解，可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.弦長問題在高考題及模擬題中經(jīng)常出現(xiàn)，從理論上講，利用弦長公式就能解決問題。但實(shí)際中，除個(gè)別簡(jiǎn)單題（本文從略）外，直接利用弦長公式會(huì)使問題變得非常繁瑣。本文試圖對(duì)此進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)，給出不同類型題目的解決策略。一、兩線段相等類型I 有相同端點(diǎn)的不共線線段例1、（2204，北京西城區(qū)二模） 已知定點(diǎn)，過點(diǎn)A做傾斜角為的直線L，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且成等比數(shù)列

5、（1）求拋物線方程；（2）問（1）中拋物線上是否存在D，使得成立？若存在，求出D的坐標(biāo)。策略分析：由于D、B、C三點(diǎn)不共線，要使得成立，只需取BC中點(diǎn)P，滿足。 由于這種類型題目的常見性與基礎(chǔ)性，我們?cè)倥e一個(gè)例子作為練習(xí)：例2、（2005，孝感二模） 已知（1）求點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程C；（2）若直線L：（）與曲線C交與AB兩點(diǎn)，D(0,1)，且有，試求b的取值范圍。類型II 共線線段例3、直線L與x軸不垂直，與拋物線交于AB兩點(diǎn)，與橢圓交于CD兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)M，且，求的取值范圍。策略分析：不妨設(shè)A在B下方，C在D下方，由于ABCD共線，要使,只需，即，結(jié)合韋達(dá)定理可得結(jié)果。二、三線段相

6、等類型I 正三角形例 4、（2003，北京春招） 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P(1,0)且與定直線L：x=1相切，點(diǎn)C在L上（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)P且斜率為的直線與曲線M相交于AB兩點(diǎn)問三角形ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C坐標(biāo)；若不能，說明理由；問三角形ABC能否為鈍角三角形？若能，求點(diǎn)C縱坐標(biāo)的取值范圍；若不能，說明理由。策略分析：對(duì)于本題涉及的正三角形問題，其突出特點(diǎn)是，落在直線上的兩個(gè)頂點(diǎn)實(shí)際是已知的。所以，只需設(shè)C（1，y），根據(jù)和分別列方程求y值，判斷兩個(gè)y值是否相等。例5、（2005，學(xué)海大聯(lián)考六） 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-1,0)、B(1,0)、P(x,y)，

7、設(shè)，與x軸正方向的夾角分別為，且(1)求點(diǎn)P的軌跡G的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)C的直線L與軌跡G交于不同的兩點(diǎn)MN，問在x軸上是否存在一點(diǎn)E使為正三角形？策略分析：設(shè)直線L：y=kx-1，由韋達(dá)定理求出MN中點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)，求出；利用弦長公式求出MN，再根據(jù)解得。注意代入驗(yàn)證。類型II 共線線段例6、（2004，廣東高考卷）設(shè)直線與橢圓相交于AB兩點(diǎn)，又與雙曲線相交于CD兩點(diǎn)，CD三等分線段AB，求的方程。策略分析：實(shí)質(zhì)是。當(dāng)與x軸垂直時(shí)，方程為；當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，先由，利用例3的方法，求得或，然后分類討論求出ABCD的橫坐標(biāo)，利用，得出和。三、線段成比例類型I 兩個(gè)已知點(diǎn)一個(gè)未知點(diǎn)例7、（20

8、05，黃岡調(diào)研） 已知橢圓C的方程為，雙曲線的兩條漸近線為，過橢圓的右焦點(diǎn)F做直線L，使，又L與交于點(diǎn)P。設(shè)L與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)由上到下依次為AB，（1）當(dāng)夾角為，雙曲線的焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值。策略分析：F點(diǎn)和P點(diǎn)的坐標(biāo)皆可求，根據(jù)定比分點(diǎn)公式，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可。類型II 一個(gè)已知點(diǎn)兩個(gè)未知點(diǎn)例8、(2004，全國卷) 設(shè)雙曲線C：（a0）與直線L：相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)AB（1）求雙曲線的離心率e的取值范圍；（2）設(shè)直線L與y軸的交點(diǎn)為P，且，求a值。策略分析：設(shè)A、B、，由知，于是，前式平方除以后式消掉，結(jié)合韋達(dá)定理即可求出a。注：更一般的，若某直線與

9、圓錐曲線交點(diǎn)AB，且，其中，則，可以算出和，利用例8思想求解；或者，使用以下技巧，結(jié)合韋達(dá)定理。（2）焦點(diǎn)三角形問題橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P，與兩個(gè)焦點(diǎn)、構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。 典型例題 設(shè)P(x,y)為橢圓上任一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，。 （1）求證離心率； （2）求的最值。 分析：（1）設(shè)，由正弦定理得。 得 ， （2）。 當(dāng)時(shí)，最小值是； 當(dāng)時(shí)，最大值是。（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的辦法【高考會(huì)這樣考】1考查圓錐曲線中的弦長問題、直線與圓錐曲線方程的聯(lián)立、根與系數(shù)的關(guān)系、整體代入

10、和設(shè)而不求的思想2高考對(duì)圓錐曲線的綜合考查主要是在解答題中進(jìn)行，考查函數(shù)、方程、不等式、平面向量等在解決問題中的綜合運(yùn)用基礎(chǔ)梳理1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程AxByC0(A、B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或變量y)的一元方程即消去y后得ax2bxc0.(1)當(dāng)a0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2bxc0的判別式為，則0直線與圓錐曲線C相交；0直線與圓錐曲線C相切；0直線與圓錐曲線C無公共點(diǎn)(2)當(dāng)a0，b0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線

11、，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是平行2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：.從幾何角度看：（特別注意）要特別注意當(dāng)直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合時(shí)，直線與拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn)。.從代數(shù)角度看：設(shè)直線L的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立得到。. 若=0，當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí)，直線L與雙曲線的漸進(jìn)線平行或重合；當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，直線L與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合。.若，設(shè)。.時(shí)，直線和圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn)，相交。b.時(shí)，直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn)，相切。c.時(shí)，直線和圓錐曲線沒有公共點(diǎn)，相離。雙

12、基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)直線ykxk1與橢圓1的位置關(guān)系為()A相交 B相切C相離 D不確定解析直線ykxk1k(x1)1恒過定點(diǎn)(1,1)，而點(diǎn)(1,1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交答案A2(2012泉州質(zhì)檢)“直線與雙曲線相切”是“直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析與漸近線平行的直線也與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)答案A3已知以F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線xy40有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為()A3 B2 C2 D4解析根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為1(b0)，則將xy4代入橢圓方程，得4(b21)y28

13、b2yb412b20，橢圓與直線xy40有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，(8b2)244(b21)(b412b2)0，即(b24)(b23)0，b23，長軸長為22.答案C4(2012成都月考)已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3,0)是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N(12，15)，則E的方程為()A.1 B.1 C.1 D.1解析設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，由題意知c3，a2b29，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：兩式作差得：，又AB的斜率是1，所以將4b25a2代入a2b29得a24，b25，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.答案B5(2011泉州模擬)ykx2與

14、y28x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值為_解析由得ky28y160，若k0，則y2；若k0，則0，即6464k0，解得k1.故k0或k1.答案0或1考向一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【例1】(2011合肥模擬)設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是()A. B2,2C1,1 D4,4審題視點(diǎn) 設(shè)直線l的方程，將其與拋物線方程聯(lián)立，利用0解得解析由題意得Q(2,0)設(shè)l的方程為yk(x2)，代入y28x得k2x24(k22)x4k20，當(dāng)k0時(shí)，直線l與拋物線恒有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k0時(shí)，16(k22)216k40，即k21，1k1，且k0，綜上

15、1k1.答案C 研究直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)，但對(duì)于選擇題、填空題，常充分利用幾何條件，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解【訓(xùn)練1】 若直線mxny4與O：x2y24沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A至多為1 B2 C1 D0解析由題意知：2，即2，點(diǎn)P(m，n)在橢圓1的內(nèi)部，故所求交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)答案B典型例題 （1）求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn) （2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B，且OAOB，求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。（1）證明：拋物線的準(zhǔn)線為 由直線x+y=t與x軸的交點(diǎn)（t，0）在準(zhǔn)線右邊，得 故直

16、線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)。 （2）解：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2) （4）圓錐曲線的有關(guān)最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。解決最值的方法：一是代數(shù)法，建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，注意到自變量的范圍；二是幾何法，考慮某些量的幾何特征及意義，利用圖形性質(zhì)求解。例3 求橢圓上的點(diǎn)P到直線L：x2y12=0的最大距離和最小距離。方法1：（求切點(diǎn)）設(shè)與L平行的直線與橢圓相切于點(diǎn)P

17、(x，y)，由橢圓方程得此切線方程，即（1），又（2），解(1)(2)得切點(diǎn)的坐標(biāo)為P（2，3）P（2，3）。設(shè)點(diǎn)P到直線L的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，。方法2：（判別式法）設(shè)與L平行的橢圓的切線方程為x2y+m=0，代入橢圓方程，消去x得，由=得，。當(dāng)m=8時(shí)，切線方程x2y+8=0，此時(shí)，切點(diǎn)為P（2，3）；當(dāng)m=8時(shí)，切線方程x2y8=0，此時(shí)，切點(diǎn)為P（2，3）設(shè)點(diǎn)P到直線L的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，。方法3：（參數(shù)法）設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P(4cos，sin)，它到直線L的距離為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。點(diǎn)評(píng)：方法1、方法2可以求出橢圓上的最遠(yuǎn)點(diǎn)和最近點(diǎn)的坐標(biāo)，方法3利用橢

18、圓的參數(shù)方程，建立目標(biāo)函數(shù)，簡(jiǎn)潔明了，但求切點(diǎn)的坐標(biāo)較復(fù)雜。BxyACO圖1例4 已知定點(diǎn)A(0，3)點(diǎn)B、C分別在橢圓的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)BAC=90時(shí)，求ABC面積的最大值。解：橢圓的兩條準(zhǔn)線方程分別為：y=1或y=1。點(diǎn)B在直線y=1上且設(shè)B（a，1），點(diǎn)C在直線y=1上且設(shè)C（b，1），由于BAC=90，A(0，3)，所以，=，ab=8。=，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)ABC面積的值最大為8?！纠?】(2011湘潭模擬)已知橢圓y21的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求過點(diǎn)O、F，并且與直線l：x2相切的圓的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G

19、，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍審題視點(diǎn) (1)求出圓心和半徑，得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線AB的點(diǎn)斜式方程，由已知得出線段AB的垂直平分線方程，利用求值域的方法求解解(1)a22，b21，c1，F(xiàn)(1,0)，圓過點(diǎn)O，F(xiàn)，圓心M在直線x上設(shè)M，則圓半徑r，由|OM|r，得 ，解得t，所求圓的方程為2(y)2.(2)設(shè)直線AB的方程為yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F且不垂直于x軸，方程有兩個(gè)不等實(shí)根如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)N(x0，y0)，則x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，AB的垂直平分線N

20、G的方程為yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0，k0，xG0，點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為. 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷、有關(guān)圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對(duì)函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查，一直是高考考查的重點(diǎn)，特別是焦點(diǎn)弦和中點(diǎn)弦等問題，涉及中點(diǎn)公式、根與系數(shù)的關(guān)系以及設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法，也是考查數(shù)學(xué)思想方法的熱點(diǎn)題型【訓(xùn)練3】 (2012金華模擬)已知過點(diǎn)A(4,0)的動(dòng)直線l與拋物線G：x22py(p0)相交于B、C兩點(diǎn)當(dāng)直線l的斜率是時(shí)，4.(1)求拋物線G的方程；(2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍解(1)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，當(dāng)直

21、線l的斜率是時(shí)，l的方程為y(x4)，即x2y4.由得2y2(8p)y80，又4，y24y1，由及p0得：y11，y24，p2，得拋物線G的方程為x24y.(2)設(shè)l：yk(x4)，BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k.線段BC的中垂線方程為y2k24k(x2k)，線段BC的中垂線在y軸上的截距為：b2k24k22(k1)2，對(duì)于方程，由16k264k0得k0或k4.b(2，)二、定值問題解決定值問題的方法：將問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式，證明該式的值與參數(shù)無關(guān)。例1 A、B是拋物線（p0）上的兩點(diǎn)，且OAOB，求證：（1）A、B

22、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積分別都是定值；（2）直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)。證明：（1）設(shè)A（）、B（），則，。=，為定值，也為定值。（2），直線AB的方程為：，直線AB過定點(diǎn)（2p，0）。例2 已知拋物線方程為，點(diǎn)A、B及點(diǎn)P(2，4)都在拋物線上，直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)。（1）試證明直線AB的斜率為定值；（2）當(dāng)直線AB的縱截距為m（m0）時(shí)，求PAB的面積的最大值。分析：這類問題一般運(yùn)算量大，要注意函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法的靈活運(yùn)用。解析：（1）證明：把P(2，4)代入，得h=6。所以拋物線方程為：y4=k(x2)，由，消去y，得。所以，因?yàn)镻A和PB的傾角互補(bǔ)，所以，用k

23、代k，得，所以=。（2）設(shè)AB的方程為y=2x+m(m0)，由，消去y得：，令=164(2m12) 0，解得0m8，點(diǎn)P到AB的距離d=，所以，=，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故PAB面積最大值為?！纠?】(2011四川)橢圓有兩頂點(diǎn)A(1,0)、B(1,0)，過其焦點(diǎn)F(0,1)的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P.直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.(1)當(dāng)|CD|時(shí)，求直線l的方程(2)當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證：OO為定值審題視點(diǎn) (1)設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式可求出斜率從而求出直線方程；(2)關(guān)鍵是求出Q點(diǎn)坐標(biāo)及其與P點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，從而證得為定值

24、證明過程中要充分利用已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化(1)解因橢圓焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由已知得b1，c1，所以a，橢圓方程為x21.直線l垂直于x軸時(shí)與題意不符設(shè)直線l的方程為ykx1，將其代入橢圓方程化簡(jiǎn)得(k22)x22kx10. 設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|CD|.由已知得，解得k.所以直線l的方程為yx1或yx1.(2)證明直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符設(shè)直線l的方程為ykx1(k0且k1)，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由(1)知x1x2，x1x2，直線AC的方程為y(x1)，直線BD的方程為y(x1)，將兩直線方

25、程聯(lián)立，消去y得.因?yàn)?x1，x21，所以與異號(hào)22.又y1y2k2x1x2k(x1x2)1，與y1y2異號(hào)，與同號(hào)，解得xk.因此Q點(diǎn)坐標(biāo)為(k，y0)OO1.故OO為定值 解決圓錐曲線中的定值問題的基本思路很明確：即定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題中的直線方程、數(shù)量積等，其不受變化的量所影響的一個(gè)值即為定值，化解這類問題的關(guān)鍵是引進(jìn)參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量，解題過程中要注意討論直線斜率的存在情況，計(jì)算要準(zhǔn)確【訓(xùn)練4】 (2011山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：y21.如圖所示，斜率為k(

26、k0)且不過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x3于點(diǎn)D(3，m)(1)求m2k2的最小值；(2)若|OG|2|OD|OE|，求證：直線l過定點(diǎn)(1)解設(shè)直線l的方程為ykxt(k0)，由題意，t0.由方程組得(3k21)x26ktx3t230.由題意0，所以3k21t2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2，所以y1y2.由于E為線段AB的中點(diǎn)，因此xE，yE，此時(shí)kOE.所以O(shè)E所在直線方程為yx，又由題設(shè)知D(3，m)，令x3，得m，即mk1，所以m2k22mk2，當(dāng)且僅當(dāng)mk1時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)由0得0t2

27、，因此當(dāng)mk1且0t2時(shí)，m2k2取最小值2.(2)證明由(1)知OD所在直線的方程為yx，將其代入橢圓C的方程，并由k0，解得G.又E，D，由距離公式及t0得|OG|222，|OD| ，|OE| ，由|OG|2|OD|OE|得tk，因此直線l的方程為yk(x1)，所以直線l恒過定點(diǎn)(1,0)三、定點(diǎn)問題處理這類問題有兩種方法：一是從特殊入手，求出定點(diǎn)，再證明這個(gè)點(diǎn)與變量無關(guān)；二是直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)。CxyOFBA圖2例5（2001年全國高考）設(shè)拋物線（p0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸，證明：直線AC經(jīng)過原

28、點(diǎn)。方法1：設(shè)直線方程為，A，B，C，又，即k也是直線OA的斜率，所以AC經(jīng)過原點(diǎn)O。當(dāng)k不存在時(shí)，ABx軸，同理可證。xyFBACDO圖3NE方法2：如圖2過A作ADl，D為垂足，則：ADEFBC連結(jié)AC與EF相交于點(diǎn)N，則，由拋物線的定義知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，.點(diǎn)評(píng)：該題的解答既可采用常規(guī)的坐標(biāo)法，借助代數(shù)推理進(jìn)行，又可采用圓錐曲線的幾何性質(zhì)，借助平面幾何的方法進(jìn)行推理。解題思路寬，而且?guī)缀畏椒ㄝ^之解析法比較快捷便當(dāng)，從審題與思維深度上看，幾何法的采用，源于思維的深刻性。典型例題已知拋物線y2=2px(p0)，過M（a,0）且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、

29、B，|AB|2p（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求NAB面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，對(duì)于（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對(duì)于（2）首先要把NAB的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“最值問題，函數(shù)思想”。解：(1)直線L的方程為：y=x-a,將y=x-a 代入拋物線方程y2=2px,得：設(shè)直線L與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1,y1）,B(x2,y2)，則,又y1=x1-a,y2=x2-a, 解得:(2)設(shè)AB的垂直平分線交AB與點(diǎn)Q，令其坐標(biāo)為（x3,y3），則由中點(diǎn)坐標(biāo)