《數(shù)學(xué)思想與方法》考試輔導(dǎo)

1、數(shù)學(xué)思想與方法課程考試輔導(dǎo)（朱）主持教師：同學(xué)們，老師們，大家好！這里是中央廣播電視大學(xué)直播課堂，今天我們要 輔導(dǎo)的課程是XXX。來到直播課堂的是XX大學(xué)的XXX（教授），他（她）是我 們這門課程的主講（編）老師，X老師（教授）您你。（姚）主講教師：大家好！很高興來到直播課堂。（朱）主持教師：題請打電話提問。同時，本次直播通過電大在線學(xué)習(xí)網(wǎng)同步播出，網(wǎng)址是：www.ope ，歡迎大家登錄收看網(wǎng)上直播，進行在線交流。一、考核方式1.本課程的考核采取兩種形式：形成性考核和課程終結(jié)考試。課程總成績 按百分制計算，形成性考核占20%課程終結(jié)考試占80%2.形成性考核：包括平時作業(yè)、參與面授輔導(dǎo)和各項教

2、學(xué)實踐活動的情況， 以及學(xué)生對學(xué)習(xí)過程的自我監(jiān)控情況。3.課程終結(jié)考試：形式為閉卷，筆答，滿分為100分,由中央電大統(tǒng)一命題, 在同一時間全國統(tǒng)考。4.考試時間總共為120分鐘。5.試題按其難度分為容易題、中等題和較難題，其分值在期末試卷中的比例大致為4：4：2。6.試題類型分為：填空題、判斷題、簡答題和解答題。填空題只要求直接 填寫結(jié)論，不必對結(jié)論進行解釋；判斷題要求給出正確與否結(jié)論；簡答題只要 簡明扼要地寫出答案；解答題要求比較充分地論述所得結(jié)論，或者根據(jù)題目要 求編寫出能展示教學(xué)過程及反映教學(xué)要求的教學(xué)片斷。四種題型分數(shù)的百分比 大致為：填空題30%、判斷題10%、簡答題30%、解答題3

3、0%。7.本次輔導(dǎo)主要是針對課程終結(jié)考試的輔導(dǎo)?？荚嚥皇悄康?，而是一種手 段，希望通過輔導(dǎo)和學(xué)員自己的復(fù)習(xí)，達到幫助學(xué)員進行課程學(xué)習(xí)總結(jié)，從整 體上把握數(shù)學(xué)思想與方法課程的重點，進一步理解數(shù)學(xué)中的一些重要思想 和方法，以形成對數(shù)學(xué)的正確認識。二、課程終結(jié)考核的目標(biāo)和范圍1.了解數(shù)學(xué)思想方法的源頭、幾次重要突破和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢。2.掌握數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法及其應(yīng)用。3.了解數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要意義，掌握數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的特點并能 初步應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。4.根據(jù)教材所涵蓋的有關(guān)知識內(nèi)容，涉及教材內(nèi)容不少于60%。三、上篇 數(shù)學(xué)發(fā)展中的思想與方法概述1.本篇容主要是從數(shù)學(xué)思想與方法的

4、角度對數(shù)學(xué)的發(fā)展進行一定的分析與 。2.主要內(nèi)容 原始數(shù)學(xué)思想與方法發(fā)展的兩種模式； 數(shù)學(xué)思想方法發(fā)展的三個不同階段； 如何認識數(shù)學(xué)的真理性；現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的主要特征。3.掌握上篇教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵是在理解的基礎(chǔ)上熟記。這部分內(nèi)容可能涉及 到的題型有填空題、簡答題和判斷題三類。四、中篇 數(shù)學(xué)中的一些具體思想與方法分析1.本篇內(nèi)容主要是分析總結(jié)在數(shù)學(xué)發(fā)展中體現(xiàn)出的一些重要思想和方法。2.主要內(nèi)容 抽象、概括、歸納、類比、猜想、演繹、化歸、計算、算法、數(shù)學(xué)模 型、分類、數(shù)形結(jié)合和特殊化方法。3.掌握中篇的教學(xué)內(nèi)容關(guān)鍵是在理解的基礎(chǔ)上熟練運用各種數(shù)學(xué)方法分 析、解決各種數(shù)學(xué)問題，這也是本課程最重要的內(nèi)容。

5、涉及到的題型可能有填 空題、簡答題、判斷題和解答題。五、下篇 數(shù)學(xué)思想方法的重要性和應(yīng)用1.本篇主要是分析概述數(shù)學(xué)思想方法的重要性及其在數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用。2.主要內(nèi)容數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)教育中的重要性； 如何將數(shù)學(xué)教學(xué)提高到數(shù)學(xué)思想方法的高度； 選編案例及其分析。3.掌握下篇的教學(xué)內(nèi)容關(guān)鍵是在理解的基礎(chǔ)上把中篇的內(nèi)容與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合起來，并將數(shù)學(xué)思想方法滲入日常的教學(xué)中。涉及到的題型可能有簡答 題和解答題。六、各種數(shù)學(xué)方法的典型應(yīng)用1公理化方法的應(yīng)用 舉例：以開普勒三定律和牛頓運動三定律為理論邏輯起點，推出牛頓理論的定理、原理、結(jié)論和公式。例如，用牛頓第二定律作為一組運動微分方程，在給定某

6、段時間內(nèi)任意時 刻物體所受的外力和物體初始條件后，便可以推出任意時刻物體運動的加速度、 速度、位置和軌跡，因此牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達式又稱為物體的運動方程。若牛頓第二定律中所說的“動力”并非物體只受一個力的情況， 而是“一個 物體同時受兩個力作用， 就沿平行四邊形的對角線運動， 所用的時間和它分開受 到這兩個力的作用而沿兩邊運動時的時間相同。 ”可以得知力的矢量合成和分解 遵循平行四邊形法則。如果定義力對時間的積累為沖量， 則由牛頓第二定律可推出動量定理的微分 形式；考慮力在某段有限時間內(nèi)的積累效果， 則有運動過程中物體所受的合力沖 量等于物體動量的改變量； 如在某個方向上所受的合力為零， 則

7、沿此方向的動量 守恒。若以開普勒三定律和牛頓第二定律為基礎(chǔ)，則可以推出著名的萬有引力定 律。把上述定理和定律應(yīng)用于物體做轉(zhuǎn)動的系統(tǒng)， 便可以推出一系列適用于轉(zhuǎn)動 物體的定律和定理， 如物體的角動量定理和角動量守恒定律等。 牛頓還把面上物體的運動和太陽系內(nèi)星球的運動統(tǒng)一在相同的物理定律中牛頓將這些邏輯演繹過程寫在了他的名著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中，第 次有系統(tǒng)地運用公理化方法表述了經(jīng)典力學(xué)體系，被認為是經(jīng)典力學(xué)的奠基著 作。2抽象方法的應(yīng)用舉例：分數(shù)概念的形成。教學(xué)分數(shù)的意義時，通過演示教具和操作學(xué)具，讓學(xué)生把一個圓，一個正方形，八根彩色小棒，一條線段等，各自分成若干等份，標(biāo)出其中的一份或幾份；撇開

8、各種實物的不同顏色、形狀，而僅僅注意它們等份的份數(shù)以及所取的幾份。多次操作后，結(jié)合直觀圖示概括：把單位1(可以是一個物體)，平均分成幾份，表示其中的一份或幾份的數(shù)叫分數(shù)。然后介紹分數(shù)的表示方法及分數(shù)各部分名稱，最后讓學(xué)生舉出幾個不同的分數(shù)并說明它們表示的意義。通過動作思維 建立表象 抽象思維 具體實例，分數(shù)的概念在學(xué)生頭腦中就初步形成了。3概括方法的應(yīng)用舉例：乘法分配律教學(xué)的概括過程。(1)從實際生活中引入課題。實際問題：做一張桌子需要10元，一把椅子需要5元。算一算，做四套這樣的桌椅一共需要多少遠？啟發(fā)學(xué)生用不同的 方法解答。解法一10 54 = 60解法二10 4 5 4 = 60通過觀察

9、、比較，發(fā)現(xiàn)什么？兩種算法不同，但結(jié)果相同10 54=10 4 5 4（2）從運算意義的角度探索。說出下面左、右兩個式子所表示的意義，并 計算結(jié)果27 181627 1618 16發(fā)現(xiàn)什么？27 1816=27 1618 16（3）從運算順序的角度探索。說明下面左、右兩個式子的運算順序有什么不同？129712 9 127發(fā)現(xiàn)什么？12 97=12 9 127（4）概括式（填字幕、符號）（a b） c二a c b c然后啟發(fā)學(xué)生概括成數(shù)學(xué)結(jié)語。4猜想方法的應(yīng)用舉例：兩個邊長相等的正六邊形，一個頂點在另一個的中心上，且繞著這個中心轉(zhuǎn)動，求重合部分的面積是這個正六邊形面積的幾分之幾？分析：首先聯(lián)想，

10、兩個半徑相等的圓，一圓經(jīng)過另一個圓的圓心，現(xiàn)將一圓繞另一個圓的圓心轉(zhuǎn)動，顯然它們重合部分的面積是不變的（此處需要圖示：兩個相交正六邊形-和兩個相交圓）其次，將圖1與圖2比較，它們相同之處都有兩個完全相等的圖形，且一個繞另一個的中心旋轉(zhuǎn)，而不同之處：前者是圓后者是正六邊形，然而如果我們視 正六邊形是一個正n邊形，又此正n邊形的邊數(shù)無限多時，則又可近似地看作是 圓。最后猜想，當(dāng)一個正六邊形繞另一個正六邊形中心旋轉(zhuǎn)時，其重合部分的面積是不變的。根據(jù)這一猜想，將一正六邊形繞到另一個正六邊形特殊位置，則容1易求出其重合面積是正六邊形面積的。35反駁方法的應(yīng)用舉例：（1）構(gòu)造一反例。即舉出一個例子，說明它

11、具備命題的全部條件，但 不具有命題的結(jié)論。例如十七世紀法國杰出的數(shù)學(xué)家費爾馬對形如An=22J的數(shù)進行了探討。當(dāng)n=0，1,2，3,4時，它們分別是質(zhì)數(shù)：3、5、17、257,65537。因而 他提出猜測：n是所有自然數(shù)時An都是質(zhì)數(shù)。過了半個多世紀，到十八世紀時，歐拉首先找到了一個反例，計算出n=5時，代=4294967297=641 6700417是一 個合數(shù)，從而否定了費爾馬的這個猜想。（2）假定命題成立，推出荒謬結(jié)果，從而證明了該命題是虛假的。例如證明“零可以作除數(shù)”是錯誤的證明：因為22=33即2(11)=3(11)若零可以作除數(shù)，則推出2=3這一結(jié)果，顯然荒謬 “零可以作除數(shù)”是錯

12、誤的。6化歸方法的應(yīng)用舉例：在假定我們已經(jīng)會求矩形面積的前提下，去求解：(1)平行四邊形面積；(2)三角形面積；(3)多邊形面積。解(1)由于我們已經(jīng)會求矩形面積， 因而我們會很自然地想到用割補法把平 行四邊形化為與之等積的矩形。(2)可用拼接法，把兩個三角形拼成一個平行四邊形，從而把問題轉(zhuǎn)化為(1)的情形。(3)可用分割法將多邊形分割成若干個三角形，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為(2)的情形了。例1中3個小題的求解過程有一個共同的特點，那就是它們都不是利用面 積的最基本的概念(含單位正方形的個數(shù))去求其面積，而都是將來解決的問題轉(zhuǎn) 化歸結(jié)為一個已經(jīng)能解決的問題， 從而求獲原問題之解答， 這正是化歸方法的

13、重 要特色。7模型方法的應(yīng)用舉例：庫存問題：商店經(jīng)營商品需要倉庫存貨，而貯存貨物需要貯存費用， 若進貨太多，一時賣不掉，就得凈付貯存費；但是進貨太少也不行，這是因為 每次進貨總要耗費人力、物力，諸如派人采購、動用車輛運輸、電訊聯(lián)絡(luò)等都 要用錢。那么每次進貨多少最經(jīng)濟?所謂每次進貨多少最經(jīng)濟，就是指每年用于采購訂貨及庫存的總費用最少。 為了建立庫存問題的數(shù)學(xué)模型， 必須掌握某商品的全年銷售量， 該商品的每次進 貨量，每件商品的年存貯費用，每次進貨所需的費用。為了保證商品不脫銷，還 應(yīng)考慮倉庫中要有一定數(shù)量的備用商品， 進貨商品中的不合格率和運輸途中的損 壞率等。 要同時考慮這許多因素， 建立數(shù)學(xué)

14、模型就比較困難， 因此可將問題適當(dāng) 簡化，對于該問題中的備用商品量， 進貨中的不合格率和運輸過程中的損壞率等 因素暫時不加考慮。設(shè)某商品的全年銷售量為D，每次進貨量為Q，每件商品的年存貯費用為I，每次進貨費用為S。剛進貨時倉庫中貨物最多，有Q件，后來逐漸賣完，庫存貨物減少到零，到下次進貨時又突然增加到Q，因此平均庫存量為Q/2，年存貯費用為QI/2。已知該商品年銷售量是D,每批進貨量為Q,故每年進貨次數(shù)為D/Q，因 為每次進貨用為S，故每年進貨開支為D S/Q將上面兩項費用相加，就得到每年用于采購、訂貨及庫存的總費用:由于每批進貨多少可由我們隨意確定，因此Q是變量，而商品的全年銷售量、每件商品

15、的年存貯費用、每次進貨費用均可根據(jù)商品經(jīng)營資料查知，因此都是常數(shù)?，F(xiàn)在的問題是，求出一個最佳進貨量Q，使目標(biāo)函數(shù)(1)的取值最小。由平均數(shù)不等式可得T=QLDS2IDS2 Q . 2；2DS等號僅當(dāng)Q-時成立。于是可推得,2DS當(dāng)Q時T最小，即我們要求的最佳進貨量為y 2DSQ計QT上面建立的這個倉庫存貨模型是非常理想化的，既沒有考慮安全系數(shù)，即當(dāng) 天賣完當(dāng)天進貨，連一件備用商品也沒有；也沒有考慮進貨商品中的不合格品和 運輸途中的商品損壞，不太符合實際情況。實際上，每批訂貨都要多訂一些，才 能保證商品不脫銷。至于每批多訂多少才能保證正常銷售， 這可根據(jù)過去的銷售 經(jīng)驗加以確定。不妨設(shè)這筆增加訂

16、貨的進貨費用為B，那么每次進貨的費用就由S變?yōu)镾 B，于是最佳進貨量應(yīng)為Q2D(SB) Q這個模型顯然比前一個更加精確。但是，它仍然只適用于供銷業(yè)務(wù)比較穩(wěn)定T=QI/2+D S/Q(1)的情況，當(dāng)供銷業(yè)務(wù)不穩(wěn)定時則需要建立更加復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型8類比方法的應(yīng)用所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物 也應(yīng)具有這種屬性的一種推理方法。它是一種從特殊到特殊的推理方法，其結(jié) 論具有或然性，是否正確需要經(jīng)過嚴格的證明或者實踐檢驗。類比的種類有（1）表層類比；（2）深層類比；（3）溝通類比。表層類比是 根據(jù)兩個被比較對象的表面形式或結(jié)構(gòu)上的相似性所進行的類比， 這種類比可靠 性差，結(jié)

17、論具有很大的或然性。 深層類比是通過對被比較對象的處于相互依存的 各種相思屬性之間的多種因果關(guān)系的分析而得到的類比， 這種縱向類比是在數(shù)學(xué) 的同一分支內(nèi)的一種類比， 一般表現(xiàn)為空間問題用平面問題來類比， 高次問題用 降次問題來類比， 多元問題用一元問題來類比。 類比法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用可以 歸納為（1）通過類比學(xué)習(xí)新知識通過復(fù)習(xí)舊知識，再設(shè)計一個新的類似情景， 啟發(fā)學(xué)生通過類比學(xué)習(xí)新知識， 或溝通原有的知識以形成新知識結(jié)構(gòu)， 這種教學(xué)方法對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 形 成知識的正遷移具有良好的效果。例如，分式與分數(shù)非常相似，因此可用與分數(shù)進行類比的方法進行學(xué)習(xí)。2）應(yīng)用類比法尋找解題思路數(shù)學(xué)解題思路的探求， 往往與解題者原有知識經(jīng)驗中的類似形式與結(jié)構(gòu)、 類似方法或模式有著密切的聯(lián)系，這些聯(lián)系常常與類比推理密切相關(guān)。（3）運用類比法推廣數(shù)學(xué)命題我們知道等差數(shù)列與等比數(shù)列在定義、 通項公式、前n項和等方面都很相似，因此可由等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)類比來