數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題4

1、數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題4第一試一、選擇題(每小題7分，共42分1.已知A、B兩地間有6條網(wǎng)線并聯(lián)，它們能通過的最大信息量分別是1，1，2，2，3，4.現(xiàn)從中任選三條網(wǎng)線且使這三條網(wǎng)線通過的最大信息量的和大于或等于6的方法共有( 種.(A13 (B14 (C15 (D162.設(shè)a、b、c是互不相等的任意正數(shù)，.則x、y、z這三個數(shù)( .(A都不大于2 (B至少有一個大于2 (C都不小于2 (D至少有一個小于23.在凸四邊形ABCD中，B=D=90°，AD=DC.若S四邊形ABCD=12，則AB+BC=( .(A6 (B4 (C5 (D3 4.已知二次函數(shù)f(x=ax2+bx+c的圖像如

2、圖所示.記p=|a-b+c|+|2a+b|，q=|a+b+c|+|2a-b|.則有( . (Ap>q (Bp=q (Cp、q的大小關(guān)系不能確定5.若x1、x2、x3、x4、x5為互不相等的正奇數(shù)，且滿足(2 005-x1(2 005-x2(2 005-x3·(2 005-x4(2 005-x5=242，則x21+x22+x23+x24+x25的末位數(shù)字是( .(A1 (B3 (C5 (D76.如圖，在梯形ABCD中，DCAB，過AC與BD的交點(diǎn)作MNAB，點(diǎn)M、N分別在AD、BC上.則AB、DC、MN所滿足的關(guān)系式是( .(AAB+DC= MN (BAB·DC=MN2

3、(C (D二、填空題(每小題7分，共28分1.如圖3所示的數(shù)陣的第n行第二個數(shù)是 .2.關(guān)于x的一元二次方程m2x2+(2m+3x+1=0有兩個乘積為1的實(shí)數(shù)根;關(guān)于x的一元二次方程x2+(2a+mx+2a+1-m2=0有一個大于0且小于4的實(shí)數(shù)根.則a的整數(shù)值是 .3.在某屆籃球賽事中，小明共打了10場球.他在第6、7、8、9場比賽中分別得23分、14分、11分和20分.他的前9場比賽的平均得分比前5場比賽的平均得分要高.若他所打的10場比賽的平均得分超過18分，則他在第10場比賽中得分的最小值是 .4.如圖，O是ABC的外接圓，BC=a，CA=b，且A-B=90°.則O的半徑為

4、.第二試一、(20分證明:存在正常數(shù)c，使得對所有實(shí)數(shù)x、y、z，有1+|x+y+z|+|xy+yz+zx|+|xyz|>c(|x|+|y|+|z|.二、(25分如圖5，以銳角ABC的邊AB為直徑作半圓O交邊BC、CA于點(diǎn)E、F.過點(diǎn)E、F分別作O的切線得交點(diǎn)P.求證:CPAB.三、(25分已知二次函數(shù)f(x=ax2+bx+c的圖像過點(diǎn)A(x1，y1、B(x2，y2，且滿足a2+(y1+y2a+y1y2=0.(1證明:y1=-a或y2=-a;(2證明:函數(shù)f(x的圖像必與x軸有兩個交點(diǎn);(3若關(guān)于x的不等式f(x>0的解集為x|x>m或x ， 解關(guān)于 x 的不等式 cx 2

5、-bx+a>0. 數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題4參考答案第一試一、1.C.如圖6，依題意，第五、第六條網(wǎng)線必須至少有一條使用.若選擇第六條網(wǎng)線，則前五條網(wǎng)線中任若選擇第六條網(wǎng)線，則前五條網(wǎng)線中任選兩條皆可，共有10種選法;若選擇第五條網(wǎng)線，則再選擇第四、第三條(3，2，2有1種選法;或從第三、第四條與第一、第二條中分別任選一條(3，2，1有2×2=4種選法，此時，有1+4=5種選法.綜上所述，共有10+5=15種選法.2.B.注意到xyz=而a、b、c是互不相等的正數(shù)，所以，a+2，b+2，c+2，且等號不能同時成立.因此，xyz>8.故x、y、z中至少有一個大于2.3.B.如

6、圖，將DAB旋轉(zhuǎn)到DCK的位置.因?yàn)锳D=DC，所以，點(diǎn)A必重合于點(diǎn)C.因?yàn)锽=D=90°，所以，A+C=180°.故B、C、K三點(diǎn)共線.此時，DBK為等腰直角三角形，則SDBK=S四邊形ABCD=12.所以，DB=DK=2 .故AB+BC=BK= DB=4 .4.C.由圖1知，f(0=c=0，f(1=a+b+c>0，則a+b>0，f(-1=a-b+c=a-b<0.又由a<0且對稱軸x=-b/2a>1，得2a+b>0.而2a-b=a+(a-b<0，所以，p=-(a-b+(2a+b=a+2b，q=(a+b-(2a-b=-a+2b.因?yàn)?/p>

7、p-q=(a+2b-(-a+2b=2a<0，故p 5.A.因?yàn)閤1、x2、x3、x4、x5為互不相等的正奇數(shù)，所1AB+1DC=1MO=22MO=2MN.二、1.n2-2n+3.第n行第二個數(shù)為3+3+5+7+(2n-3=2+(1+3+5+7+2n-3=n2-2n+3.2.-1.依題意有m2=1，m=±1，且=(2m+32-4m2=12m+9>0.故m=1.令f(x=x2+(2a+1x+2a，應(yīng)有f(0f(4=2a(20+10a<0，即a(a+2<0.所以，-2 故 a=-1. 3.29.設(shè)前5場比賽的平均分為x，于是，前9場的平均分為.依題意得>x.解

8、得x<17.故前5場比賽的總分至多為5×17-1=84分.設(shè)第10場比賽的得分為y，則他所打的10場比賽得分至少為18×10+1=181分.于是，有y+84+68181，即y29.故第10場比賽的得分的最小值為29.4.作O的直徑CD，聯(lián)結(jié)DB.因?yàn)锳=B+90°=B+CBD=ABD，所以，弧CDB=ACD.從而，有弧AC=BD，BD=AC=b.此時，CD=.于是，O的半徑為.第二試一、記不等式的左邊為M，顯然，對任意x、y、z，有M2>(x+y+z2+2|xy+yz+zx|=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx+|xy+yz+zx|x2+y2+z2

9、.而x2+y22|xy|，y2+z22|yz|，x2+z22|xz|，則2(x2+y2+z22(|xy|+|yz|+|zx|.兩邊同時加上x2+y2+z2，有3(x2+y2+z2(|x|+|y|+|z|2，即 x2+y2+z2 (|x|+|y|+|z|2.故M2> (|x|+|y|+|z|2因此，可取c=/3.二、如圖，聯(lián)結(jié)AE、BF得交點(diǎn)Q，顯然，點(diǎn)Q為ABC的垂心，有CQAB.延長FP到點(diǎn)K，使PK=PF，聯(lián)結(jié)EF、KE.易知PEF=PFE=EAF.聯(lián)結(jié)PQ并延長交AB于點(diǎn)H.因?yàn)镋QF=180°-AQF=180°-(90°-EAF=90°+E

10、AF=90°+PEF，K= EPF= (180°-2PEF=90°-PEF， 所以，EQF+K=180°.故K、F、Q、E四點(diǎn)共圓.注意到PK=PE=PF，則P必是該圓的圓心.此時，PQ=PF.于是，PQF=PFQ=PFB=FAB=FAH.故A、H、Q、F四點(diǎn)共圓.此時，PHA=QHA=180°-QFA=90°，所以，PHAB，即PQAB.由式、知C、P、Q三點(diǎn)共線.故CPAB.三、(1由a2+(y1+y2a+y1y2=0，得(a+y1(a+y2=0.解得y1=-a或y2=-a.(2當(dāng)a>0時，二次函數(shù)f(x的圖像開口向上，圖像上的點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)至少有一個為-a<0，所以，圖像與x軸有兩個交點(diǎn);當(dāng)a<0時，二次函數(shù)f(x的圖像開口向下，圖像上的點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)至少有一個為-a>0，所以，圖像與x軸有兩個交點(diǎn).故函數(shù)f(x的圖像與x軸有兩個不同交點(diǎn).(3因?yàn)閍x2+bx+c>0的解集為x|x