血液分析采樣

1、數(shù)學(xué)建模遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué) 期2015-2016學(xué)年1學(xué)期姓 名崔志遠(yuǎn) 丁志強(qiáng) 王宏偉專 業(yè)電氣工程及其自動(dòng)化班 級(jí)電中職14-1課程名稱數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)論文題目血樣的分組檢驗(yàn)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)評(píng)定指標(biāo)分值得分知識(shí)創(chuàng)新性20理論正確性20內(nèi)容難易性15結(jié)合實(shí)際性10知識(shí)掌握程度15書寫規(guī)范性10工作量10總成績(jī)100評(píng)語(yǔ):任課教師林清水時(shí) 間2015年 11 月 11日備 注數(shù) 學(xué) 實(shí) 驗(yàn) 課 程 成 績(jī) 評(píng) 定 表血樣的分組檢驗(yàn) 摘 要 本文主要為了解決減少血樣檢驗(yàn)次數(shù)這個(gè)實(shí)際問(wèn)題,為了在人群中(數(shù)量很大, 基本上是健人)找出某種病毒的感染者,為減少檢驗(yàn)次數(shù)(目的是降低費(fèi)用) ,通常采用篩

2、選的辦法：即假設(shè)人群總數(shù)為n, 將人群分成m組,每組的人數(shù)為k,將每組的k份血樣混在一起進(jìn)行化驗(yàn), 若化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性,則需要對(duì)該組的每個(gè)人重新進(jìn)行化驗(yàn), 以確定誰(shuí)是病毒感染者;若化驗(yàn)結(jié)果呈陰性, 則表明該組全體成員均為陰性,不需要重新化驗(yàn)。通過(guò)把人群分為若干組,每組若干人,易得到混合血樣檢驗(yàn)次數(shù),陽(yáng)性組的概率,進(jìn)而引入陽(yáng)性組數(shù)的平均值,從而得到平均總檢驗(yàn)數(shù),最后通過(guò)一個(gè)人的平均檢驗(yàn)次數(shù)的一元函數(shù),把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)關(guān)于每組人數(shù)k的一元函數(shù)E(k),求解得E(k)=kp+1/k;通過(guò)計(jì)算,當(dāng)p>0.307時(shí)不應(yīng)分組;將第1次檢驗(yàn)的每個(gè)陽(yáng)性組再次分m組,

3、通過(guò)建立一個(gè)關(guān)于k,m的二元函數(shù)E(k,m),通過(guò)求導(dǎo)得穩(wěn)定點(diǎn)函數(shù),解方程組得:k=1/m=p -1/2 。關(guān)鍵詞 先驗(yàn)概率  平均總檢驗(yàn)次數(shù)  血樣的陰陽(yáng)性  組的基數(shù)1. 問(wèn)題的提出 血樣的分組檢驗(yàn)在人群（數(shù)量很大）中進(jìn)行血樣檢驗(yàn)，設(shè)已知先驗(yàn)陽(yáng)性率為 p, 為減少檢驗(yàn)次數(shù)將人群分組。 若 k人一組，當(dāng) k份血樣混在一起時(shí)，只要一份呈陽(yáng)性，這組血樣就呈陽(yáng)性，則該組需人人檢驗(yàn)；若一組血樣呈陰性，則該組不需檢驗(yàn)。1.1 當(dāng) p固定時(shí)(0.1%, 1%, )，k多大可使檢驗(yàn)次數(shù)最小1.2 p多大就不應(yīng)再分組1.3 討論兩次分組的情況，即陽(yáng)性組再分組

4、檢驗(yàn)。1.4 討論其它分組方案，如半分法、三分法。2. 基本假設(shè)2.1血樣檢查到為陽(yáng)性的則患有某種疾病,血樣呈陰性時(shí)的情況為正常 2.2血樣檢驗(yàn)時(shí)僅會(huì)出現(xiàn)陰性,陽(yáng)性兩種情況,除此之外無(wú)其它情況出現(xiàn),檢驗(yàn)血樣的藥劑 靈敏2.3度很高,不會(huì)因?yàn)檠獦咏M數(shù)的增大而受影響.2.4陽(yáng)性血樣與陽(yáng)性血樣混合也為陽(yáng)性 2.5陽(yáng)性血樣與陰性血樣混合也為陽(yáng)性2.6陰性血樣與陰性血樣混合為陰性3. 符號(hào)說(shuō)明 變量：N：檢驗(yàn)人群總數(shù) P：陽(yáng)性的先驗(yàn)概率 K:每組的人數(shù) q:陰性先驗(yàn)概率q=1-p L:為一次分組沒(méi)人的化驗(yàn)次數(shù)的最小值X:一次分組每人的化驗(yàn)次數(shù)M:組數(shù) E(x):X的數(shù)學(xué)期望，即均值 血樣檢驗(yàn)為陽(yáng)性(患有

5、某種疾病)的人數(shù)為:z=np發(fā)生概率:Pi,i=1,2,.,x 檢查次數(shù):Ri,i=1,2,.x平均總檢驗(yàn)次數(shù):N=4. 問(wèn)題的分析 根據(jù)題意,由已知的先驗(yàn)概率是一個(gè)很小的數(shù)值,我們大可不必要一個(gè)一個(gè)地檢驗(yàn),為減少檢驗(yàn)次數(shù),我們通過(guò)一次分組,從而可使檢驗(yàn)次數(shù)大大減少;然而通過(guò)再一次分組,可使結(jié)果進(jìn)一步優(yōu)化,從而達(dá)到一個(gè)更佳的結(jié)果.由基本假設(shè)有p + q = 1,且被測(cè)人群全體n為定值,所以為使驗(yàn)血次數(shù)最少只需使平均每人的驗(yàn)血次數(shù)最少即可1對(duì)每一分組的檢測(cè)結(jié)果只有兩種結(jié)果,若血樣為陰性則只需驗(yàn)這一次, 概率為qk , 否則需驗(yàn)k1次,概率為1 - qk 1人群全體n中每人的平均需驗(yàn)次數(shù)為X 的均

6、值, 需要考慮的問(wèn)題是: 在0 < q < 1的范圍內(nèi)含參數(shù)q的函數(shù)是否存在極值點(diǎn); q在什么范圍內(nèi)才能使分組驗(yàn)血實(shí)際有效。5模型建立與求解設(shè)總?cè)藬?shù)為n,已知每人血樣陽(yáng)性的先驗(yàn)概率為p,記血樣陰性的概率q=1-p 模型一： 設(shè)分x組,每組k人(n很大,x能整除n,k=n/x),混合血樣檢驗(yàn)x次.陽(yáng)性組的概率為P1=1-qk，分組時(shí)是隨機(jī)的,而且每個(gè)組的血樣為陽(yáng)性的機(jī)率是均等的,陽(yáng)性組數(shù)的平均值為xp1,這些組的成員需逐一檢驗(yàn),平均次數(shù)為kxp1,所以平均檢驗(yàn)次數(shù)N=x+kxp1,一個(gè)人的平均檢驗(yàn)次數(shù)為N/n。記作:E(k)=1/k+1-qk=1/k+1-(1-p)k 5.1問(wèn)題是給

7、定p求k使E(k)最小. p很小時(shí)利用可得(1-p)k=1-kp得E（k）=1/k+kp 5.2 顯然k=p-1/2時(shí)E(k)最小.因?yàn)镵需為整數(shù),所以應(yīng)取k=p-1/2和k=(p-1/2)+1,比較E(K)， 得到K的最優(yōu)值,見(jiàn)表1. P (%)KE(k)0.01%1000.0200.1%320.0631%100.1962%80.2745%50.426 表 1-1 表1-1 一次分組檢驗(yàn)結(jié)果 圖一 當(dāng)p=0.01%時(shí),可用MATLAB模擬出E(k)=1/k+0.0001× k的圖。像如圖1-1,曲線是關(guān)于k的圖像。圖形1-15.3如圖1-2是關(guān)于p和k的關(guān)系圖（p=0.01%） 同

8、上法,當(dāng)p=0.1%時(shí),可用MATLAB模擬出E(K)=1/K=0.001×K的圖像如圖1-2。圖形1-2曲線是關(guān)于k的圖像.其它情況我們一樣可用其所長(zhǎng)Maple模擬出類似的圖此圖是p=0.1時(shí)k關(guān)于p的圖像模型二 隨著p的增加k減小,E(k)變大.只要E(k)>1時(shí)，就不應(yīng)分組,即當(dāng)E(K)>1時(shí)，不應(yīng)分組，即：111kpk+- 用數(shù)學(xué)軟件求解得檢查k=2,3,可知當(dāng)p>0.307不應(yīng)分組.模型三 將第1次檢驗(yàn)的每個(gè)陽(yáng)性組再分y小組,每小組m人(y整除k, m ).因?yàn)榈?次陽(yáng)性組的 平均值為1xp,所以第2次需分小組平均檢驗(yàn)1yxp次,而陽(yáng)性小組的概率為2p=1

9、-qm(為計(jì)算2簡(jiǎn)單起見(jiàn),將第1次所有陽(yáng)性組合在一起分小組),陽(yáng)性小組總數(shù)的平均值為12,這些小組需每人檢驗(yàn),平均檢驗(yàn)次數(shù)為12,所以平均總檢驗(yàn)次數(shù)N=x+12,一個(gè)人的平均檢驗(yàn)次數(shù)為N/n： , (3)問(wèn)題是給定p求k,m使E(k,m)最小. (4)P很小時(shí)(3)式可簡(jiǎn)化為：對(duì)(4)對(duì)(4)分別對(duì)k,m求導(dǎo)并令其等于零,得方程組舍去負(fù)數(shù)解可得: (5) 且要求k,m,k m 均為整數(shù).經(jīng)在(5)的結(jié)果附近計(jì)算,比較E(k,m),得到k,m的最優(yōu)值,見(jiàn)表2： pkME(k,m)0.01%700100 0.00280.1%125250.01611%2211O.O8972%1470.1315%84

10、 0.305表2-1二次分組檢驗(yàn)結(jié)果與表2-1比較可知,二次分組的效果E(k,m)比一次分組的效果E(k)更好. 模型四(平均概率模型) 5.3.1 主要參數(shù)： 患病人數(shù):z=np 組的基數(shù):每組需要檢驗(yàn)的人數(shù)。 平均檢驗(yàn)次數(shù): i=x i=0 N=PiRi å 陽(yáng)性血樣的分組模型:可分為x組,每組k人 12r,r,.,rx分組要滿足的條件: 123x rrr.r 1234xr+r+r+r+.+r=z其中y為患病人數(shù)。5.3.2 分組人數(shù)=患病人數(shù)(即:血樣呈陽(yáng)性的人數(shù))時(shí),通過(guò)這樣的分組模型可以使檢驗(yàn)次數(shù)達(dá)到最優(yōu) 2）當(dāng)z>k( n Kx= )時(shí),一組人不能包括所有的病人數(shù),

11、第一次檢驗(yàn)的基數(shù)較大. 5.3.3當(dāng)z<k時(shí)，檢驗(yàn)多一組時(shí)組的基數(shù)會(huì)很大，而且每一組的概率相差無(wú)幾十年來(lái)。具體例子見(jiàn)附錄二6.模型的檢驗(yàn) 綜上所述，當(dāng)所給陽(yáng)性的先驗(yàn)概率3066.0p時(shí)，不分組每個(gè)人一次一次的檢驗(yàn)可以使總次數(shù)最少；當(dāng)所給3066.02929.0p時(shí)，進(jìn)行一次檢驗(yàn)比分兩次組和不分組均可使總次數(shù)最少；當(dāng) 2929.0p時(shí)，分兩次組總次數(shù)比分一次組總次數(shù)要少。當(dāng)然這都是在假設(shè)的前提下做出的，現(xiàn)舉一例具體說(shuō)明上述假設(shè)的合理性：設(shè)002.0p時(shí)，經(jīng)過(guò)上述計(jì)算可得，當(dāng)23k時(shí)可使在一次分組的情況下平均每人檢驗(yàn)次數(shù)最小，為滿足假設(shè)（4），可以取24k（此時(shí)平均每人檢驗(yàn)次數(shù)僅比23=k時(shí)

12、多510-次，故在檢驗(yàn)100000人時(shí)總次數(shù)才多一次，故可忽略），然后取121=k或更?。ㄈ?1=k），此時(shí)均可以做到分兩次組比分一次組平均每人檢驗(yàn)次數(shù)要小。當(dāng)然此時(shí)還可以繼續(xù)求滿足條件的第二次分組平均每人檢驗(yàn)次數(shù)的最小值。 由于題給條件是人群數(shù)量很大，基本是健康人，所以可以認(rèn)為先驗(yàn)概率p很小，所以5.1.2.B的情況在實(shí)際當(dāng)中可以不予考慮（此時(shí)的概率p在0.3左右，相當(dāng)大）。7.模型推廣 本數(shù)學(xué)模型也可適用于某人民醫(yī)院要對(duì)某地區(qū)的居民是否患有某種病(如乙肝)的檢驗(yàn),并對(duì)該地區(qū)的病情作一定的預(yù)測(cè),從而達(dá)到預(yù)防和及早治療的效果.乙肝的血樣檢驗(yàn)只有陰性,陽(yáng)性兩種情況,我們可用本數(shù)學(xué)模型切實(shí)地解決這

13、個(gè)問(wèn)題. 6 模型評(píng)價(jià) 由于血樣的先檢概率通常很小,為減少檢驗(yàn)次數(shù),我們通過(guò)先對(duì)檢驗(yàn)的人群進(jìn)行分組,引入陽(yáng)性組的概率,通過(guò)陽(yáng)性組數(shù)的平均值作為橋梁,由于陽(yáng)性組的人需要全部重新檢驗(yàn),最后可得平均總檢驗(yàn)次數(shù),進(jìn)而得到一個(gè)人的平均檢驗(yàn)次數(shù)的一元函數(shù). 然而我們通過(guò)對(duì)陽(yáng)性組人群進(jìn)行再次分組(即對(duì)檢驗(yàn)人群進(jìn)行二次分組),從而得到一個(gè)關(guān)于兩次分組人數(shù)二元函數(shù)進(jìn)而得到更為優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型. 最后,我們引入平均概率模型,再把血樣檢驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性細(xì)化,得到當(dāng)血樣檢驗(yàn)為陽(yáng)性的人數(shù)等于分組后每一組的人數(shù)時(shí),通過(guò)這樣的分組模型可以使檢驗(yàn)次數(shù)達(dá)到最優(yōu),但是我們尚未能給出確實(shí)的理論證明。8.參考文獻(xiàn) 1 姜啟源,謝金星,

14、葉俊 數(shù)學(xué)模型(第三版) 高等教育出版社2003.2 2 姜啟源等 數(shù)學(xué)模型(第三版)習(xí)題參考解答 高等教育出版社2003.2 3 王沫然 MATLAB6.0與科學(xué)計(jì)算 電子工業(yè)出版社2001.9 4 魏宗舒 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程 高等教育出版社. 1982.39.附錄附錄A 假定陽(yáng)性血樣的人群有6個(gè)小組時(shí)的Matlab的程序如下:clear;clc; counter=0; z=input('請(qǐng)輸入病人數(shù) ') for r1=1:zfor r2=r1:z-r1 for r3=r2:z-r1-r2 for r4=r3:z-r1-r2-r3 for r5=r4:z-r1-r2-r3

15、-r4 if r1+r2+r3+r4+r5=z r1,r2,r3,r4,r5 counter=counter+1;#計(jì)數(shù)器 end end end end end end counter#輸出計(jì)數(shù)的結(jié)果 輸入z的值為10,輸出計(jì)算結(jié)果:couter=7 圖一程序： >> k=0:20:400 k= 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 >> p=1./k+0.0001*k p = Columns 1 through 17 Inf 0.0520 0.029

16、0 0.0227 0.0205 0.0200 0.0203 0.0211 0.0222 0.0236 0.0250 0.0265 0.0282 0.0298 0.0316 0.0333 0.0351 Columns 18 through 21 0.0369 0.0388 0.0406 0.0425 >> plot(k,p) >> xlabel('人數(shù)k') >> ylabel('E（k）') >> title('圖一') 圖二程序：>> k=26:2:40; >> p=1./

17、k+0.001*k;>> plot(k,p) >> xlabel('k') >> ylabel('E（k）') >> title('圖二') ，p=0.01%時(shí)的，p,k圖程序 k=0:20:200 k = 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 >> p=(1./k).2; >> plot(k,p) >> xlabel('人數(shù)k')>> ylabel('p') >> ti

18、tle('圖一') p=0.1%時(shí)p,k圖程序：>> k=20:2:40; >> p=(1./k).2; >> plot(k,p,'r')>> xlabel('k')>> ylabel('E(k)') title('圖二')附錄B n=1000.P=1%.分100組 陰性組陽(yáng)性組分組可能情況概率檢驗(yàn)次數(shù)平均檢驗(yàn)次數(shù)1991P1=1/421102.6192985P2=4/4212011.4293978P3=8/4213024.7634969P4=9/42140305957P5=7/42150256945P6=5/4216019.0487933P7=3/4217012.1438922P8=2/421808.5719911P9=1/421904.52410901P10=1/421204.762 平均檢驗(yàn)次數(shù)： 1 142.9 x iNPiRi=å 個(gè)人平均檢驗(yàn)次數(shù)：E=N/1000=0.1429 n=1000,p=1%,