第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用ppt課件

1、在幾何上的應(yīng)用在幾何上的應(yīng)用一、空間曲線的切線和法平面一、空間曲線的切線和法平面定義定義設(shè)設(shè) M 是空間曲線是空間曲線 L 上的一個定點上的一個定點, M*是是 L 上的一個動點上的一個動點, 當(dāng)當(dāng)M* 沿曲線沿曲線 L 趨于趨于M 時時 , 割線割線MM* 的極限位置的極限位置 MT （如果極（如果極限存在）限存在） 稱為曲線稱為曲線 L 在在 M 處的切線處的切線下面我們來導(dǎo)出空間曲線的切線方程下面我們來導(dǎo)出空間曲線的切線方程。設(shè)空間曲線的方程。設(shè)空間曲線的方程)1()()()( tztytx (1)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo).且且導(dǎo)數(shù)不同時為零導(dǎo)數(shù)不同時為零;),(0000

2、ttzyxM 對對應(yīng)應(yīng)于于設(shè)設(shè).),(0000*tttzzyyxxM 對對應(yīng)應(yīng)于于ozyxM*.M的的方方程程割割線線*MMzzzyyyxxx 000ozyxM*.M考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程上式分母同除以上式分母同除以, t ,000zzzyyyxxx t t t ,0,*時時即即當(dāng)當(dāng)tMM 曲線在曲線在M處的切線方程處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. )(),(),(000tttT 法平面：過法平面：過 M0 點且與切線垂直的平面點且與切線垂直的平面.

3、0)()()(000000 zztyytxxt 例例1 1 求曲線求曲線: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t處的切線和法平面方程處的切線和法平面方程.解解當(dāng)當(dāng)0 t時，時，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即?？臻g曲線方程?？臻g曲線方程,)()( xzxy 取取 x 為參數(shù)為參數(shù),),(000處處在在zyxM切切線線方方程程為為,)()(100000

4、xzzxyyxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(00000 zzxyyxxx ?？臻g曲線方程?？臻g曲線方程,0),(0),( zyxGzyxF切向量切向量 yxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFFT,切線方程切線方程,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程為法平面方程為0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy例例 2 2 求求曲曲線線6222 zyx，0 zyx在在點點)1, 2, 1( 處處的的切切線線及及法法平平面面方方程程.解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解2 2

5、將將所所給給方方程程的的兩兩邊邊對對x求求導(dǎo)導(dǎo)并并移移項項，得得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz , 0) 1, 2, 1 ( dxdy, 1)1, 2, 1( dxdz由此得切向量由此得切向量,1, 0, 1 T所求切線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx0 zx二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線。設(shè)曲面方程為。設(shè)曲面方程為0),( zyxF在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過點過點M的曲線的曲線,)()()(: tztytx nTM曲線在曲線在M處的切向量處的切向量)

6、,(),(),(000tttT 令令),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 由由于于曲曲線線是是曲曲面面上上通通過過M的的任任意意一一條條曲曲線線，它它們們在在M的的切切線線都都與與同同一一向向量量n垂垂直直，故故曲曲面面上上通通過過M的的一一切切曲曲線線在在點點M的的切切線線都都在在同同一一平平面面上上，這這個個平平面面稱稱為為曲曲面面在在點點M的的切切平平面面.那那么么,Tn 切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 通通過過點點),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直

7、直線線稱稱為為曲曲面面在在該該點點的的法法線線.法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.曲面在曲面在M處的法向量即處的法向量即),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 。空間曲面方程形為?？臻g曲面方程形為),(yxfz 令令,),(),(zyxfzyxF 曲面在曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0

8、000000 zzyxfyyyxfxxyx全微分的幾何意義全微分的幾何意義因為曲面在因為曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上點的上點的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)的增量的增量的的全全微微分分在在點點函函數(shù)數(shù)),(),(00yxyxfz ),(yxfz 在在),(00yx的的全全微微分分，表表示示曲曲面面),(yxfz 在在點點),(000zyx處處的的切切平平面面上上的的點點的的豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)的的增增量量. 若若 、 、 表示曲面的法向量的方向角，表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它與并假定法向量的方向是向上

9、的，即使得它與z軸軸的正向所成的角的正向所成的角 是銳角， 則法向量的是銳角， 則法向量的方向余弦方向余弦為為 ,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中例例 3 3 求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面122 yxz在在點點)4 , 1 , 2(處處的的切切平平面面及及法法線線方方程程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx

10、例例 4 4 求求曲曲面面32 xyezz在在點點)0 , 2 , 1(處處的的切切平平面面及及法法線線方方程程.解解令令, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF切平面方程切平面方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx法線方程法線方程.001221 zyx例例 5 5 求求曲曲面面2132222 zyx平平行行于于平平面面064 zyx的的各各切切平平面面方方程程. 解解設(shè)設(shè) 為曲面上的切點為曲面上的切點,),(000zyx切平面方程為切

11、平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因為因為 是曲面上的切點，是曲面上的切點，),(000zyx滿足方程滿足方程, 10 x所求切點為所求切點為),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 切平面方程切平面方程(1)0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(2)0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx例例6 在橢球面在橢球面 上求一點，上求一點，1222222 czbyax使它的法線與坐標(biāo)軸正向成等角使它的法

12、線與坐標(biāo)軸正向成等角解解令令1),(222222 czbyaxzyxF那么那么2222,2,2czFbyFaxFzyx 2020202,2,2czbyax注意到法線與坐標(biāo)軸正向的夾角注意到法線與坐標(biāo)軸正向的夾角 ,相等相等故故 coscoscos 202020czbyax1220220220 czbyax解得解得2221cba ),(222222222222cbaccbabcbaa 所求的點為所求的點為),(000zyxP的法線的方向向量為的法線的方向向量為 故橢球面上任一點故橢球面上任一點例例7設(shè)設(shè) z = z ( x , y )由方程由方程0),( czbyczaxf確定，確定， 其中其中

13、f ( u , v )可微可微證明證明 z = z ( x , y ) 表示錐面表示錐面 ),(0cbaP記記),(000zyxP為曲面上一點為曲面上一點則連接則連接 PP0 的的直線的方程為直線的方程為tczczbybyaxax 000 )()()(000cztczbytbyaxtax時時當(dāng)當(dāng)0 t證證)()(,)()(0000ccztcbbytbccztcaaxtaf 0),(0000 czbyczaxf得出直線上的點都在曲面上，所以曲面是以得出直線上的點都在曲面上，所以曲面是以 (a,b,c) 為頂點的錐面。為頂點的錐面。的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數(shù)數(shù)22yxexyz 多元函數(shù)極值

14、多元函數(shù)極值一、多元函數(shù)的極值和最值一、多元函數(shù)的極值和最值1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于有定義，對于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點的點),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. .使函數(shù)取得極值的點稱為

15、極值點使函數(shù)取得極值的點稱為極值點. .處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz (1)處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz (2)處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz (3)2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點在點),(00yx處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .證證不不妨妨設(shè)設(shè)),(yxfz 在在點點),(

16、00yx處處有有極極大大值值,則則對對于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,故故當(dāng)當(dāng)0yy ，0 xx 時時，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx;類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy.推推廣廣 如如果果三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxfu 在在點點),(000zyxP具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則它它在在),(000zyxP有有極極值值的的必必要要條條件件為為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyx

17、fy， 0),(000 zyxfz. 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的駐點的點，均稱為函數(shù)的駐點.注意：注意：駐點駐點極值點極值點例例如如, 點點)0 , 0(是是函函數(shù)數(shù)xyz 的的駐駐點點，定定理理 2 2（充充分分條條件件）設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，有有一一階階及及二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，問題：如何判定一個駐點是否為極值點？問題：如何判定一個駐點是否為極值點？又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy

18、),(00， Cyxfyy ),(00，但但不不是是極極值值點點.則則),(yxf在點在點),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時具有極值，時具有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時有極大值，時有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時有極小值；時有極小值；（2 2）02 BAC時沒有極值；時沒有極值；（3 3）02 BAC時可能有極值時可能有極值, ,也可能沒有極值，也可能沒有極值，還需另作討論還需另作討論例例 1 1 求求由由方方程程yxzyx22222 0104 z確確定定的的函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的極極值值 解解將方程兩邊分別對將方程兩邊分別對yx,求偏導(dǎo)求偏導(dǎo) 0

19、422204222yyxxzzzyzzzx由由函函數(shù)數(shù)取取極極值值的的必必要要條條件件知知,駐駐點點為為)1, 1( P,將將上上方方程程組組再再分分別別對對yx,求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(122 zzACB,將將)1, 1( P代代入入原原方方程程,將將)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,當(dāng)當(dāng)21 z時時，041 A,所所以以2)1, 1( fz為為極極小小值值；當(dāng)當(dāng)62 z時時，041 A,所所以以6)1, 1( fz為為極極大大值值.求求函函數(shù)數(shù)),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟：第

20、一步第一步 解方程組解方程組, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實實數(shù)數(shù)解解，得得駐駐點點.第第二二步步 對對于于每每一一個個駐駐點點),(00yx，求求出出二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的值值A(chǔ)、B、C.第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符號號，再再判判定定是是否否是是極極值值.3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值.求最值的一般方法求最值的一般方法設(shè)設(shè) f ( x , y ) 在在D上連續(xù)，上連續(xù)，D內(nèi)可微且在內(nèi)可微且在D內(nèi)至多有有限個駐點內(nèi)至多有有限個

21、駐點,這時若這時若 f ( x , y ) 在在D內(nèi)取得最值內(nèi)取得最值,則這個最值也一定是極值則這個最值也一定是極值將函數(shù)在將函數(shù)在 D D 內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在 D D 的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值大者即為最大值，最小者即為最小值. .故一般方法是故一般方法是 在實際問題中，往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可在實際問題中，往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部確有最大值最小值），以斷定函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部確有最大值最小值），這時如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)只有一個駐點，則可以這時如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)只有一個

22、駐點，則可以斷定該點處的函數(shù)值就是函數(shù)在區(qū)域上的最大斷定該點處的函數(shù)值就是函數(shù)在區(qū)域上的最大值最小值）值最小值）例例 2 2 求二元函數(shù)求二元函數(shù))4(),(2yxyxyxfz 在直線在直線6 yx，x軸和軸和y軸所圍成的閉區(qū)域軸所圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值上的最大值與最小值. 解解如圖如圖,先先求求函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的的駐駐點點，xyo6 yxDD解解方方程程組組 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點點)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和

23、和0 y上上0),( yxf,在在邊邊界界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( fxyo6 yx 比比較較后后可可知知4)1 , 2( f為為最最大大值值,64)2 , 4( f為為最最小小值值.例例 3 3 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值. 解解由由, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點得駐點)21,21(和和)21,21( ,因為因為01lim22 yxyxyx即即

24、邊邊界界上上的的值值為為零零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值為所以最大值為21，最小值為，最小值為21 .無條件極值：對自變量除了限制在定義無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件域內(nèi)外，并無其他條件.二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法條件極值：對自變量有附加條件的極條件極值：對自變量有附加條件的極值值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)要找函數(shù)),(yxfz 在條件在條件0),( yx 下的下的可能極值點，可能極值點，先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyxfyxF ，其中其中 為某一常數(shù)，可由為某一常數(shù)，可由 . 0)

25、,(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的極值點的坐標(biāo)就是可能的極值點的坐標(biāo). 一些較簡單的條件極值問題可以把它轉(zhuǎn)化為一些較簡單的條件極值問題可以把它轉(zhuǎn)化為無條件極值來求解無條件極值來求解降元法，但這種方法需要降元法，但這種方法需要經(jīng)過解方程和代入的手續(xù)，對于較復(fù)雜的方程就經(jīng)過解方程和代入的手續(xù)，對于較復(fù)雜的方程就不容易作到，有時甚至是不可能的不容易作到，有時甚至是不可能的解決條件極值問題的一般方法解決條件極值問題的一般方法是是Lagrange乘數(shù)法乘數(shù)法升元法升元法求求 z = f ( x , y )下下的的極極值

26、值在在條條件件0),( yx 其幾何意義是其幾何意義是),(0),(:00yxyxL上上求求一一點點在在曲曲線線 ),(),(00yxfyxf 使使),(),(00yxfyxf 或或其中點其中點 ( x , y ) 在曲線在曲線 L 上上假定點假定點P (x0 , y0 ) 為條件極值點為條件極值點在在(x0 , y0 ) 的某個鄰域的某個鄰域內(nèi)內(nèi) 連續(xù)連續(xù)yx ,且不同時為且不同時為0f( x , y )可微可微0 y 不不妨妨設(shè)設(shè)0),( yx 于是于是確定了一個隱函數(shù)確定了一個隱函數(shù)y = y(x) 故故 z= f x , y(x)在在P(x0 , y0)處取得極值處取得極值故故0 Pd

27、xdz即即0)(),(),(0000 xyyxfyxfyx又由隱函數(shù)的微分法知又由隱函數(shù)的微分法知),(),(0000yxyxdxdyyxP 代入上式代入上式0),(),(),(),(000000 yxyxyxfyxfxyyoox 令令),(),(0000yxyxfyy 得得P (x0 ,y0 )為條件極值點的必要條件為為條件極值點的必要條件為0),(0),(),(0),(),(0000000000 yxyxyxfyxyxfyyxx xyzoz=f(x,y)LM無條件極值點無條件極值點.P條件極值點條件極值點.拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個的情況：拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個的情況：要找函數(shù)要找函數(shù)),(tzyxfu 在條件在條件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的極值，下的極值， 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù) ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均為常數(shù)，可由均為常數(shù)，可由 偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出偏導(dǎo)數(shù)為零及條件