4、解排列組合問題常用方法(二十種)

1、解排列組合問題常用方法（二十種）、定位問題優(yōu)先法（特殊元素和特殊位置優(yōu)先法） 例1、由0,2,3, 4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù)？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，應(yīng)優(yōu)先考慮。末位和首位有特殊要求。先排末位，從1,3,5三個數(shù)中任選一個共有 C3種組合；然后排首位，從2,4和剩余的兩個奇數(shù)中任選一個共有C4種組合；最后排中間三個數(shù)，從剩余四個數(shù)中任選三個共有A4種排列。由分步計數(shù)原理得 c3c1a3 288。變式1、7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？25分析：先種兩種不同的葵花在不受限制的四個花盒中共有A4種排列，再

2、種其它葵花有 A5種排列。由分步計數(shù)原理得 Aa51440。二、相鄰問題捆綁法例2、7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法？分析：分三步。先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，將丙丁兩元素也捆綁成整體看成一個復(fù) 合元素， 再與其它元素 進行排列，同時 在兩對 相鄰元素 內(nèi)部進行自排 。由分步 計數(shù)原理得 AfAfAf 480。變式2、某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 。2分析：命中的三槍捆綁成一槍，與命中的另一槍插入未命中四槍形成的五個空位，共有A5種排列。三、相離問題插空法例3、一個晚會節(jié)目有4個舞蹈，2個相聲，3個獨唱，舞蹈不能

3、連續(xù)出場，則節(jié)目出場順序有多少種？分析：相離問題即不相鄰問題。分兩步。第一步排2個相聲和3個獨唱共有A5種排列，第二步將4個舞蹈插入第一步排好后形成的 6個空位中（包含首尾兩個空位）共有A4種排列，由分步計數(shù)原理得A5a443200。變式3、某班新年聯(lián)歡會原定的 5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目，如果將這兩個新節(jié) 目插入原節(jié)目單中且不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 。分析：將2個新節(jié)目插入原定5個節(jié)目排好后形成的 6個空位中（包含首尾兩個空位）共有A?種排列， 由分步計數(shù)原理得 A 30 0四、定序問題除序（去重復(fù)）、空位、插入法例4、7人排隊，其中甲、乙、丙 3人順序一定，共有多少

4、種不同的排法？分析：（除序法）除序法也就是倍縮法或縮倍法。對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾 個元素與其他元素一起進行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù)。共有不同排法種數(shù)為：3 840。As（空位法）設(shè)想有 7把椅子，讓除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有A；種坐法；甲、乙、丙坐其余的三個位置，共有1種坐法?？偣灿?A 840種排法。思考：可以先讓甲乙丙就坐嗎？（可以）（插入法）先選三個座位讓甲、乙、丙三人坐下，共有C；種選法；余下四個空座位讓其余四人就坐，共有A4種坐法?？偣灿?C；A：840種排法。變式4、10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增

5、加，共有多少種不同的排法？分析：10人身高各不相等且從左至右身高逐漸增加，說明順序一定。若排成一排，則只有一種排法；5現(xiàn)排成前后兩排，因此共有 G。252種排法。例5、6本不同的書平均分成 3堆，每堆2本，有多少種不同的分法? 分析：分三步取書有 cfcfc；種分法，但存在重復(fù)計數(shù)。記第二步取CD，第三步取 EF，該分法記為 AB, CD，EFAB，CD，EF、AB，CD，EF、AB，CD，EF、Wc；五、平均分組問題倍除法（去重復(fù)法）6本書為ABCDEF，若第一步取AB， ，則在 CfCC；中還有 AB, CD， EF 、 AB，CD， EF共A種分法，而這些分法僅是 AB, CD，EF 一

6、種分法?？偣矐?yīng)有 6 3 2種分法。平均分成的組，不管它們的順序如何，都 A3是一種情況，分組后一定要除以 An （ n為均分的組數(shù)），避免重復(fù)計數(shù)。變式5、將13個球隊分成3組，一組5個隊，其它兩組4個隊，有多少種不同的分法？分析：分三步。第一步取5個隊為一組，有C；3種分法；余下8個隊平均分成兩組，每組4個隊，有C；C： 種分法，但存在重復(fù)計數(shù)。記 8個隊為ABCDEFGH，若第二步取 ABCD，第三步取EFGH，該分法 記為 ABCD，EFGH ，則在C；C：中還有 EFGH，ABCD共A種分法，而這 A種分法是同一種分C4C4法?？偣矐?yīng)有g(shù)38 24種分法。變式5、10名學(xué)生分成3組，

7、其中一組4人，另兩組3人，正、副班長不能分在同一組，有多少種不同的分組方法？分析：總的分組方法：分三步。第一步取 4人為一組，有 C40種分法；余下6個人平均分成兩組， 每組3個人，有ClC；3種分法，但存在重復(fù)計數(shù)。記6個人為ABCDEF，若第二步取ABC，第三步取DEF ，3322該分法記為 ABC，DEF，則在C6C3中還有 DEF，ABC共A種分法，而這 A種分法是同一種分法?？偣矐?yīng)有334C6C3C102A22100種分法。正、副班長同分在 4人一組：分三步。第一步在 8人中取2人，加上正、副班長共 4人為一 組，有Cs種分法；余下6個人平均分成兩組，每組 3個人，有C；C3種分法，

8、但存在重復(fù)計數(shù)。記 6個人 為ABCDEF，若第二步取 ABC，第三步取DEF，該分法記為 ABC， DEF ，則在C；C；中還有DEF，ABC共A；種分法，而這 A2種分法是同一種分法?？偣矐?yīng)有C|33C6C3"AT280種分法。正、副班長同分在3人一組：分三步。第一步在 8人中取4人，有C；種分法；第二步在余下的4人中取3人，有C3種分法；第三步余下 CsC3280種分法。1人加上正、副班長形成一組，只有一種分法?？偣矐?yīng)有減減得：總共有CloC4c：2100 280 280 1540種分法。變式5、某校高二年級共有 6個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入 4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班

9、安 排2名，則不同的安排種數(shù)為 。分析：分三步。前兩步將轉(zhuǎn)入的4名學(xué)生平均分成兩組，每組 2名學(xué)生，有C：C；種分法，但存在重復(fù)計數(shù)。記4名學(xué)生為ABCD，若第一步取 AB，第二步取CD，該分法記為 AB，CD，則在C：C；中 還有CD，AB共A種分法，而這A2種分法是同一種分法。 第三步將分成的兩組分配到 6個班級，有A c2c2種分法?？偣矐?yīng)有寧A2 90種分法。六、元素相同問題隔板法 例6、有10個運動員名額，分給 7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？分析：隔板法也就是檔板法。分兩步。第一步：每班分配1個名額，只有1種分法；第二步：將剩下的3個名額分配給7個班。取716塊相同隔板，連

10、同3個相同名額排成一排，共 9個位置。由隔板法知，在9個位置中任取6個位置排上隔板，有 C；種排法。每一種插板方法對應(yīng)一種分法，由分步計數(shù)原理知， 共有Cg 84種分法。變式6、10個相同的球裝入5個盒中，每盒至少一球，有多少中裝法？分析：分兩步。第一步：每盒先裝入1個球，只有1種裝法；第二步：將剩下的 5個球裝入5個盒中。取5 1 4塊相同隔板，連同 5個相同的球排成一排，共 9個位置。由隔板法知，在 9個位置中任取4個 位置排上隔板，有C：種排法。每一種插板方法對應(yīng)一種裝法，由分步計數(shù)原理知，共有C； 126種裝法。變式6、x y z w 100，求這個方程的自然數(shù)解的組數(shù)。分析：取4 1

11、 3塊相同隔板，連同100個相同的1排成一排，共103個位置。由隔板法知，在103個 位置中任取3個位置排上隔板，有 G303種排法。每一種插板方法對應(yīng)一組數(shù)，共有G303 176851組數(shù)。七、正難問題則反總體淘汰法（若直接法難，貝U用間接法）例7、從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個數(shù)字中取出三個，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有多少種?分析：直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法。十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù)，所取的三個數(shù)字含有3個偶數(shù)的取法有 c；，只含有1個偶數(shù)的取法有 c5c|，和為偶數(shù)的取法共有 c5c| C；。淘 汰和小于10的偶數(shù)共9種024、0 2 6、

12、0 1 3、0 1 5、0 1 7、0 1 9、1 232 1 3、 2 1 5、 4 1 3，符合條件的取法共有 C5C5 C5 9O變式7、一個班有43名同學(xué)，從中任抽5人，正、副班長、團支部書記至少抽到一人的抽法有多少種？分析：未抽到正、畐U班長、團支部書記的抽法有C：0種；正、副班長、團支部書記至少抽到一人的抽法有C3 C；。種。八、重排問題求幕法例8、把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)，共有多少種不同的分法？分析：完成此事共分六步：把第一名實習(xí)生分配到車間有7種分法，把第二名實習(xí)生分配到車間也有7種分法，依此類推，由分步計數(shù)原理共有76種不同的分法。變式8、某班新年聯(lián)歡會原定的 5個節(jié)目

13、已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目，如果將這兩個新 節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 。分析：完成此事共分兩步：把第一個新節(jié)目插入原定 5個節(jié)目排后形成的六個空中，有 6種插法；把 第二個新節(jié)目插入前面 6個節(jié)目排后形成的七個空中，有 7種插法。由分步計數(shù)原理共有 6 7 42種不 同的插法。變式8、某8層大樓一樓電梯上來 8名乘客，他們到各自的一層下電梯，下電梯的下法有多少種？分析：完成此事共分八步：第一名乘客下電梯有7種下法，第二名乘客下電梯也有 7種下法，依此類推，由分步計數(shù)原理共有 78種不同的下法。九、環(huán)（圓）排問題直排法 環(huán)形排列問題：如果在圓周上 m個不同的位置編上不

14、同的號碼， 那么從n個不同的元素的中選取 m 個不同的元素排在圓周上不同的位置， 這種排列和直線排列是相同的； 如果從n個不同的元素的中選取 m 個不同的元素排列在圓周上，位置沒有編號，元素間的相對位置沒有改變，不計順逆方向，這種排列和直線排列是不同的，這就是環(huán)形排列的問題。 環(huán)形排列數(shù)：一個m個元素的環(huán)形排列，相當(dāng)于一個有m個頂點的多邊形，沿相鄰兩個點的弧線剪斷，再拉直就是形成一個直線排列，即一個m個元素的環(huán)形排列對應(yīng)著 m個直線排列。設(shè)從n個元素中取出 m個元素組成的環(huán)形排列數(shù)為 N個，則對應(yīng)的直線排列數(shù)為 mN個。1又因為從n個元素中取出m個元素排成一排的排列數(shù)為 A1個，所以mN 岸，

15、即N 胛。m 環(huán)形排列數(shù)公式：從n個元素中取出 m個元素組成的環(huán)形排列數(shù)為 N aI。m1 n!n個元素的環(huán)形排列數(shù)為 NAnn 1!。nn例9、8人圍桌而坐，共有多少種坐法？分析：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展 成直線（如圖所示），其余7人共有8 1 !7!7 6 5 4 3 2 15040種不同的坐法。ACXXXXXKXX)ABCDEFGHA變式9、6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？分析：可穿成 6 1 !5! 5 4 3 2 1120種不同的鉆石圈。十、多排問題單排法例10、8人排成前后兩排，每排 4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，

16、共有多少種排法？分析：8人排前后兩排，相當(dāng)于 8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排。先排前4個位置上的2個特殊元素甲、乙有 A種排法；再排后 4個位置上的2個特殊元素丙有 A1種；其余的5人在5個位置上任意 排列有A5種。共有A2A；A5 5760種不同的排法。排好后，按前4人為前排，后4人為后排分成兩排即可。變式10、有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位?，F(xiàn)安排2人就坐，規(guī)定前排中間的 3個座位不能 坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同坐法的種數(shù)為 。分析：前后兩排共有 23個座位。前排中間第 5,6,7號3個座位甲、乙二人不能坐。甲、乙二人 不能左右相鄰。前排第1,4,8,11號和后排第

17、1,12號6個座位，甲、乙中任一人就坐，有C6種坐法，與之相鄰座位只能排除一個，另一人有C：3 11 C；種坐法，共有C6C；種坐法；而其它23 3 6 14個座位，甲、乙中任一人就坐，有G；種坐法，與之相鄰座位要排除兩個，另一人有C13 3 2 1 G；種坐法，共有C；4C17 種坐法?？偣灿蠧6G： C1；C；7108 238346種不同坐法。十一、排列組合混合問題先選后排法例11、有5個不同的小球，裝入 4個不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個球，共有多少種不同的裝法？分析：第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元素，有 C；種方法；第二部把4個元素（包含一個復(fù)合元 素）裝入4個不同的盒內(nèi)，有 Af種方

18、法。由分步計數(shù)原理得 Cf Af 240。變式11、一個班有6名戰(zhàn)士，其中正、副班長各 1人。現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù)，每人完成一種 任務(wù)，且正、副班長有且只有1人參加，則不同的選法有多少種？分析：正、副班長選一人，有 C2種選法。4名戰(zhàn)士選三人，有 C：種選法。給選出的 4人分配 四種不同任務(wù)，有 A4種分配法。由分步計數(shù)原理得cJc45A4 192。十二、小集團問題先整體后局部法例12、用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有兩個偶數(shù)在1,5之間，這樣的五位數(shù)有多少個？分析：兩個偶數(shù) 2,4在1,5之間是一個不能打破的小集團，3在這個小集團之外。把 1,5,2,4當(dāng)作一

19、個小集團與3排列，有 A種排法。再排小集團內(nèi)部。1,5有A種排法；2,4也有A種排法。由分步計數(shù)原理得8。變式12、計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國畫，排成一行陳列。要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為。分析：4幅油畫是一個小集團，內(nèi)部有 A4種排法；5幅國畫也是一個小集團，內(nèi)部有 Af種排法；兩 個小集團排列，有 A2種排法；將1幅水彩畫插入兩個小集團排列后形成的一個空中，有 1種排法。由分步 計數(shù)原理得 a4a5a2 1 5760。變式12、5男生和5女生站成一排照像，男生相鄰且女生也相鄰的排法有 種。分析：5男生是一個小集團，

20、內(nèi)部有 A5種排法；5女生也是一個小集團，內(nèi)部也有A5種排法；兩個小集團排列，有 a2種排法。由分步計數(shù)原理得 a5a5a228800。十三、含約束條件問題合理分類與分步法例13、在一次演唱會上共10名演員，其中8人會唱歌，5人會跳舞，現(xiàn)要演出一個 2人唱歌2人伴舞的 節(jié)目，有多少種選派方法？分析：10名演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞，3人為全能演員。以選上唱歌人員為標準分三類， 每一類中再分步：只會唱歌的5人中沒有人選上唱歌人員，有種；只會唱歌的5人中只有1人選上唱歌人員，有 C5C；C：種；只會唱歌的5人中有2人選上唱歌人員，有 C；C；種。由分類計數(shù)原理得，2 2 1 1 2 2 2

21、 共有C3C3 C5C3C4 C5C5199種選派方法。解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步。做到分類標準明確，貫穿解題過程始終；每一類中分步層次清楚，不重不漏。本題還有如下分類標準：以 3個全能演員是否選上唱歌人員為標準；以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準；以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準。變式13、從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這 4人中必須既有男生又有女生，則 不同的選法共有 種。分析：以選上女生為標準分三類，每一類中再分步：選上女生1人，有c3c3種；選上女生2人，有Cfc：種；選上女生3人，有C33C：種。由分類計數(shù)

22、原理得，共有 C3C4 C3 C4 C3 C4 34種選派方 法。本題還可以選上男生為標準分三類。變式13、3成人2小孩乘船游玩，1號船最多乘3人，2號船最多乘2人，3號船只能乘1人，他們?nèi)?選2只船或3只船，但小孩不能單獨乘一只船，這3人共有多少種乘船方法？分析：分兩大類。第一大類為選 2只船，則只能選1號船和2號船。以1號船乘成人為標準，又可分為1 2 2 1兩小類：每一小類乘成人1人，有C3C2種；每二小類乘成人 2人，有C3C2種。第二大類為選3只船。以1 號船乘成人為標準，又可分為三小類，每一小類均有c2c； c；c；種。由分類計數(shù)原理得，共有C3C2 C3C2 3 C2C2 C2C

23、227種乘船方法。十四、簡單問題實際操作窮舉法例14、設(shè)有編號1，2，3，4，5的五個球和編號1，2，3，4，5的五個盒子，現(xiàn)將 5個球放入5個 盒子內(nèi)，要求每個盒子放 1個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，有多少種不同的放法？2分析：從5個球中取出2個與盒子對號，有 C5種取法；剩下3球3盒不對號，利用實際操作法。如果 剩下3，4，5號球，3，4，5號盒，3號球只能裝入4號或5號盒，有兩種裝法；當(dāng) 3號球裝4號盒時， 則4 ,5號球，只有1種裝法；同理3號球裝5號盒時，4 ,5號球有也只有1種裝法。由分步計數(shù)原理有 2Cf 種。變式14、同一寢室4人，每人寫一張賀年卡集中起來，然后

24、每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？分析：設(shè)甲、乙、丙、丁 4人，甲可拿乙、丙、丁的賀年卡。分三類。第一類：甲拿乙的，則乙可拿甲、丙、丁的，無論乙拿甲（或丙或?。┑?，丙、丁的拿法都唯一，有3種。第二類：甲拿丙的，則乙只能拿甲、丁的。若乙拿甲的，丙、丁的拿法唯一，有1種；若乙拿丁的，則丙拿甲丁拿乙或丙拿乙丁拿甲，有2種。小計有3種。第三類：與第二類同理，有 3種。由分類計數(shù)原理知，共有 3 3 3 9種。 十五、數(shù)字排序問題查字典法例15、由0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)的比324105大的數(shù)？分析：數(shù)字排序問題可用查字典法。從高位向低位查，依次求

25、出其符合要求的個數(shù)，根據(jù)分類計數(shù)原 理求出其總數(shù)。首位（十萬位）為 5或4，各有 A個；首位為3，萬位為5或4，各有 A個；首3 2位為3，萬位為2，千位為5，有A個；首位為3，萬位為2，千位為4，百位為5，有A個；首位154321為3，萬位為2，千位為4，百位為5，十位為1，有A個。共有2A5 2A4 A A2 A 297個。 變式15、用0, 1，2，3，4，5這六個數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù)，將這些數(shù)字從小到大排列起來， 第71個數(shù)是。分析：千位為1，個位為0，有A 12個；千位為1，個位為2，有A 12個；千位為1，個 位為4，有A2 12個；千位為2，個位為0，有A 12個；千位為2

26、，個位為4，有A： 12個； 千位為3，十位為0,個位為2 （或 4），各有3個。共66個。接下來有3102，3104，3120，3124， 3140，L，第 71 個數(shù)是 3140。十六、復(fù)雜問題分解與合成法分解與合成法是解排列組合問題的一種最基本的解題方法。把一個復(fù)雜問題分解成幾個小問題逐一解 決，然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu)，用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成。從而得到問題的答案。每 個比較復(fù)雜的問題，都要用到這種解題方法。例16、30030能被多少個不同的偶數(shù)整除？分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030 2 3 5 7 11 13。依題意可知：偶因數(shù)必先 取2，再從其余

27、5個因數(shù)中任取若干個組成乘積。所有的偶因數(shù)為：C5 Cf Cf C4 C|。變式16、正方體的8個頂點可連成多少對異面直線？分析：從8個頂點中任取4個頂點構(gòu)成四面體共有 C； 12 58個，每個四面體有3對異面直線，正方體的8個頂點可連成3 58 174對異面直線。十七、復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)法（化歸法） 例17、25人排成5 5方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的選法有多少種?0 0 0()0 0分析：將問題退化成 9人排成3 3方陣，現(xiàn)從中 選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少種 不同的選法？這樣每行（列）有且只有1人，從其中的一行中選取1人后，把這人所在的行列都

28、劃掉，如此繼 續(xù)下去，從3 3方隊中選3人的方法有C；C；C；種。再 從5 5方陣選出3 3方陣便可解決問題。從 5 5方隊3333111D、E五個字母，現(xiàn)從中取 5只，要求各字中選取3行3列，有C5C5選法。所以從5 5方陣選不在同一行也不在同一列的3人有C5C5C3C2G選法。變式17、某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)域組成,其中實線表示馬路，從 A走到B的最短路徑有多少種？分析：將問題退化成從 A走到B的最短路徑需要七步，四步向右三步向上，共有 C；（或C；） 35種。十八、復(fù)雜分類問題表格法 例18、有紅、黃、蘭色的球各 5只，分別標有A、B、C、母均有且三色齊備，則共有多少種不同的取法?分析：一些復(fù)雜的分類選取題，要滿足的條件比較多，無從入手，經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺漏的情況，用表格 法，則分類明確，能保證題中須滿足的條件，達到好的效果。紅111223黃123121321211取法c5c：c5c：c5c：c；c3c5C2c5C；十九、運算困難問題樹圖法例19、3人相互傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲的手中，則不同的傳球方式有 種？解析：此題不易用公式進行運算，用樹圖法會收到意想不到的結(jié)果。N 1064644 4 4 4 4 4 7甲 4 4 4 4 4 4 4 4 8