2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題精品解析（湖南卷）

1、2015年高考湖南卷理數(shù)試題解析（精編版）（解析版）一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)=（ ）A. B. C. D.【答案】D.【考點(diǎn)定位】復(fù)數(shù)的計(jì)算.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念與基本運(yùn)算，屬于容易題，意在考查學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)代數(shù)形式四則運(yùn)算的掌握情況，基本思路就是復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算按“分母實(shí)數(shù)化”原則，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法進(jìn)行計(jì)算，而復(fù)數(shù)的乘法則是按多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行處理.2.設(shè)，是兩個(gè)集合，則“”是“”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C.

2、【考點(diǎn)定位】1.集合的關(guān)系；2.充分必要條件.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的關(guān)系與充分必要條件，屬于容易題，高考強(qiáng)調(diào)集合作為工具與其他知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合，解題的關(guān)鍵是利用韋恩圖或者數(shù)軸求解，充分，必要條件的判斷性問(wèn)題首要分清條件和結(jié)論，然后找出條件和結(jié)論之間的推出或包含關(guān)系.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出的( )A. B. C. D.【答案】B.【考點(diǎn)定位】1程序框圖；2.裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列求和背景下的程序框圖問(wèn)題，屬于容易題，解題過(guò)程中首先要弄清程序框圖所表達(dá)的含義，解決循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖問(wèn)題關(guān)鍵是列出每次循環(huán)后的變量取值情況，循環(huán)次數(shù)較多時(shí)，需總

3、結(jié)規(guī)律，若循環(huán)次數(shù)較少可以全部列出.4.若變量，滿足約束條件，則的最小值為（ ）A.-7 B.-1 C.1 D.2【答案】A.而可知當(dāng)，時(shí)，的最小值是，故選A.【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于容易題，在畫(huà)可行域時(shí)，首先必須找準(zhǔn)可行域的范圍，其次要注意目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線斜率的大小，從而確定目標(biāo)函數(shù)取到最優(yōu)解時(shí)所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，切忌隨手一畫(huà)導(dǎo)致錯(cuò)解.5.設(shè)函數(shù)，則是（ ）A.奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B. 奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)C. 偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) D. 偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)【答案】A.【考點(diǎn)定位】函數(shù)的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了以對(duì)數(shù)

4、函數(shù)為背景的單調(diào)性與奇偶性，屬于中檔題，首先根據(jù)函數(shù)奇偶性的判定可知其為奇函數(shù)，判定時(shí)需首先考慮定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇函數(shù)的必要條件，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，即可求解.6.已知的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為30，則（ ）A. B. C.6 D-6【答案】D.【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，屬于容易題，只要掌握的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)第項(xiàng)為，即可建立關(guān)于的方程，從而求解.7.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（ ）A.2386 B.2718 C.3413 D.4772附：若，則

5、，【答案】C.【考點(diǎn)定位】1.正態(tài)分布；2.幾何概型.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布與幾何概型等知識(shí)點(diǎn)，屬于容易題，結(jié)合參考材料中給出的數(shù)據(jù)，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，再利用幾何概型即可求解，在復(fù)習(xí)過(guò)程中，亦應(yīng)關(guān)注正態(tài)分布等相對(duì)冷門的知識(shí)點(diǎn)的基本概念.8.已知點(diǎn)，在圓上運(yùn)動(dòng)，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（ ）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B.【考點(diǎn)定位】1.圓的性質(zhì)；2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其幾何意義.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的幾何意義以及點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，屬于中檔題，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想求解最值，關(guān)鍵是把向量的模的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離

6、的最值問(wèn)題，即圓上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值.9.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，若對(duì)滿足的，有，則（ ）A. B. C. D.【答案】D.【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題，高考題對(duì)于三角函數(shù)的考查，多以為背景來(lái)考查其性質(zhì)，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵：一是會(huì)化簡(jiǎn)，熟悉三角恒等變形，對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)；二是會(huì)用性質(zhì)，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性，周期性，對(duì)稱性，奇偶性等.10.某工件的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工件通過(guò)切割，加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=）（ ）A

7、. B. C. D.【答案】A. 【考點(diǎn)定位】1.圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體；2.基本不等式求最值.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的最值問(wèn)題，與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，立意新穎，屬于較難題，需要考生從實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中提取出相應(yīng)的幾何元素，再利用基本不等式求解，解決此類問(wèn)題的兩大核心思路：一是化立體問(wèn)題為平面問(wèn)題，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)求解；二是建立目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，選擇合理的變量，或利用導(dǎo)數(shù)或利用基本不等式，求其最值.二填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11. .【答案】.【考點(diǎn)定位】定積分的計(jì)算.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的計(jì)算，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于容易題，定積分的計(jì)算通常有兩

8、類基本方法：一是利用牛頓-萊布尼茨定理；二是利用定積分的幾何意義求解.12.在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示，若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是 .【答案】.【考點(diǎn)定位】1.系統(tǒng)抽樣；2.莖葉圖.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣與莖葉圖的概念，屬于容易題，高考對(duì)統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)的考查，重點(diǎn)在于其相關(guān)的基本概念，如中位數(shù)，方差，極差，莖葉圖，回歸直線等，要求考生在復(fù)習(xí)時(shí)注意對(duì)這些方面的理解與記憶.13. 設(shè)是雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)，使線段的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則的離心率為 .【答案】.【考

9、點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于容易題，根據(jù)對(duì)稱性將條件中的信息進(jìn)行等價(jià)的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，在求解雙曲線的方程時(shí)，主要利用，焦點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程等性質(zhì)，也會(huì)與三角形的中位線，相似三角形，勾股定理等平面幾何知識(shí)聯(lián)系起來(lái).14. 設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，成等差數(shù)列，則 .【答案】.【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過(guò)程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.15. 已知，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍 是 .【答案】

10、.【考點(diǎn)定位】1.函數(shù)與方程；2.分類討論的數(shù)學(xué)思想.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)與方程等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題，表面上是函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，實(shí)際上是將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組有解的問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)與方程思想和轉(zhuǎn)化思想求解函數(shù)綜合問(wèn)題，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題巧妙的轉(zhuǎn)化為不等式組有解的參數(shù)，從而得到關(guān)于參數(shù)的不等式，此題是創(chuàng)新題，區(qū)別于其他函數(shù)與方程問(wèn)題數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的解法，從另一個(gè)層面將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，綜合考查學(xué)生的邏輯推理能力.三解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟16.（1）如圖，在圓中，相交于點(diǎn)的兩弦，的中點(diǎn)分別是，直線與直線相交于點(diǎn)，證明：（1

11、）；（2）【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析. 【考點(diǎn)定位】1.垂徑定理；2.四點(diǎn)共圓；3.割線定理.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于容易題，平面幾何中圓的有關(guān)問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)，解題時(shí)要充分利用圓的性質(zhì)和切割線定理，相似三角形，勾股定理等其他平面幾何知識(shí)點(diǎn)的交匯.（）已知直線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1） 將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2） 設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線與曲線C 的交點(diǎn)為，求的值.【答案】（1）；（2）.的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，則由參數(shù)的幾何意義即知，.【考點(diǎn)定位】1.極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的

12、互相轉(zhuǎn)化；2.直線與圓的位置關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互相轉(zhuǎn)化以及直線與圓的位置關(guān)系，屬于容易題，在方程的轉(zhuǎn)化時(shí)，只要利用，進(jìn)行等價(jià)變形即可，考查極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程，實(shí)為考查直線與圓的相交問(wèn)題，實(shí)際上為解析幾何問(wèn)題，解析幾何中常用的思想，如聯(lián)立方程組等，在極坐標(biāo)與參數(shù)方程中同樣適用.（）設(shè)，且.（1）；（2）與不可能同時(shí)成立.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.【考點(diǎn)定位】1.基本不等式；2.一元二次不等式；3.反證法.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的證明與反證法等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題，第一小問(wèn)需將條件中的式子作等價(jià)變形，再利用基本不等式即可求解，第二小問(wèn)

13、從問(wèn)題不可能同時(shí)成立，可以考慮采用反證法證明，否定結(jié)論，從而推出矛盾，反證法作為一個(gè)相對(duì)冷門的數(shù)學(xué)方法，在后續(xù)復(fù)習(xí)時(shí)亦應(yīng)予以關(guān)注.17.設(shè)的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且為鈍角.（1）證明：；（2）求的取值范圍.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】【考點(diǎn)定位】1.正弦定理；2.三角恒等變形；3.三角函數(shù)的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等變形等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題，高考解答題對(duì)三角三角函數(shù)的考查主要以三角恒等變形，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用正余弦定理解三角形為主，難度中等，因此只要掌握基本的解題方法與技巧即可，在三角函數(shù)求值問(wèn)題中，一般運(yùn)用恒等變換，將未知角變換為已知角

14、求解，在研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)問(wèn)題時(shí)，一般先運(yùn)用三角恒等變形，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式求解，對(duì)于三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目，要注意通過(guò)正余弦定理以及面積公式實(shí)現(xiàn)邊角互化，求出相關(guān)的邊和角的大小.18.某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒(méi)有紅球，則不獲獎(jiǎng).（1）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；（2）若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（

15、2）詳見(jiàn)解析.【考點(diǎn)定位】1.概率的加法公式；2.離散型隨機(jī)變量的概率分布與期望.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布與期望以及概率統(tǒng)計(jì)在生活中的實(shí)際應(yīng)用，這一直都是高考命題的熱點(diǎn)，試題的背景由傳統(tǒng)的摸球，骰子問(wèn)題向現(xiàn)實(shí)生活中的熱點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，并且與統(tǒng)計(jì)的聯(lián)系越來(lái)越密切，與統(tǒng)計(jì)中的抽樣，頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)綜合的試題逐漸增多，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注.19.如圖，已知四棱臺(tái)上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和6的正方形，且底面，點(diǎn)，分別在棱，BC上.（1）若P是的中點(diǎn)，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）. 【考點(diǎn)定位】1.空間向量的運(yùn)用；2.

16、線面垂直的性質(zhì)；3.空間幾何體體積計(jì)算.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)以及空間幾何體體積計(jì)算，屬于中檔題，由于空間向量工具的引入，使得立體幾何問(wèn)題除了常規(guī)的幾何法之外，還可以考慮利用向量工具來(lái)解決，因此有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，可以建立空間直角坐標(biāo)系，借助于向量知識(shí)來(lái)解決，在立體幾何的線面關(guān)系中，中點(diǎn)是經(jīng)常使用的一個(gè)特殊點(diǎn)，無(wú)論是試題本身的已知條件，還是在具體的解題中，通過(guò)找“中點(diǎn)”，連“中點(diǎn)”，即可出現(xiàn)平行線而線線平行是平行關(guān)系的根本，在垂直關(guān)系的證明中線線垂直是核心，也可以根據(jù)已知的平面圖形通過(guò)計(jì)算的方式證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直.20.已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓

17、的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦的長(zhǎng)為.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，且與同向（）若，求直線的斜率（）設(shè)在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，證明：直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形【答案】（1）；（2）（i），（ii）詳見(jiàn)解析. 【考點(diǎn)定位】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓位置關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于較難題，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵：（1）結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，如焦點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸，等；（2）當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線時(shí)，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)關(guān)系，找準(zhǔn)題設(shè)條件中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯”出來(lái)，有時(shí)不一定要把結(jié)果及時(shí)求出來(lái)，可能需要整體代換到后面的計(jì)算中去，從而減少計(jì)算量.21.已知，函數(shù)，記為的從小到大的第個(gè)極值點(diǎn)，證明：（1）數(shù)列是等比數(shù)列（2）若，則對(duì)一切，恒成立.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析. 【考