2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（廣東卷含解析）

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（廣東卷，含解析）一.選擇題：本大題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1若集合，則 A B C D【答案】【考點定位】本題考查一元二次方程、集合的基本運算，屬于容易題2若復(fù)數(shù) ( 是虛數(shù)單位 )，則 A B C D【答案】【解析】因為，所以，故選【考點定位】本題考查復(fù)數(shù)的基本運算，屬于容易題3下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是 A B C D【答案】【解析】令，則，即，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，而BCD依次是奇函數(shù)、偶函數(shù)、偶函數(shù)，故選【考點定位】本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于容易題4袋

2、中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球。從袋中任取2個球，所 取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為 A1 B. C. D. 【答案】【解析】從袋中任取個球共有種，其中恰好個白球個紅球共有種，所以恰好個白球個紅球的概率為，故選【考點定位】本題考查排列組合、古典概率的計算，屬于容易題5平行于直線且與圓相切的直線的方程是 A或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】【考點定位】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于容易題6若變量，滿足約束條件則的最小值為 A B. 6 C. D. 4【答案】【解析】不等式所表示的可行域如下圖所示，xyOAl由得，依題當目標函數(shù)直線：經(jīng)過時，取得

3、最小值即，故選【考點定位】本題考查二元一次不等式的線性規(guī)劃問題，屬于容易題7已知雙曲線：的離心率，且其右焦點，則雙曲線的方程為 A B. C. D. 【答案】【解析】因為所求雙曲線的右焦點為且離心率為，所以，所以所求雙曲線方程為，故選【考點定位】本題考查雙曲線的標準方程及其簡單基本性質(zhì)，屬于容易題8若空間中個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)的取值 A大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3【答案】【考點定位】本題考查空間想象能力、推理能力，屬于中高檔題第卷(共110分)二.填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.(一)必做題(913題)9在的展開式中，的

4、系數(shù)為 【答案】【解析】由題可知，令解得，所以展開式中的系數(shù)為，故應(yīng)填入【考點定位】本題考查二項式定理，屬于容易題10在等差數(shù)列中，若，則= 【答案】【解析】因為是等差數(shù)列，所以，即，故應(yīng)填入【考點定位】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及簡單運算，屬于容易題11設(shè)的內(nèi)角，的對邊分別為，若， ，則 【答案】【考點定位】本題考查正弦定理解三角形，屬于容易題12、某高三畢業(yè)班有人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了 條畢業(yè)留言（用數(shù)字作答）【答案】【解析】依題兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當于從人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了條畢業(yè)留言，故應(yīng)填入【考點定位】本題考查排列組合問題，屬于中

5、檔題13、已知隨機變量服從二項分布，若，則 【答案】【解析】依題可得且，解得，故應(yīng)填入【考點定位】本題考查二項分布的性質(zhì)，屬于容易題(二)選做題(1415題，考生從中選做一題)14(坐標系與參數(shù)方程選做題)已知直線的極坐標方程為，點的極坐標為 ，則點到直線的距離為 【答案】【解析】依題已知直線：和點可化為：和，所以點與直線的距離為，故應(yīng)填入【考點定位】本題考查極坐標與平面直角坐標的互化、點與直線的距離，屬于容易題15.（幾何證明選講選作題）如圖1，已知是圓的直徑，是圓的切線，切點為， ，過圓心做的平行線，分別交和于點和點，則 【答案】【考點定位】本題考查直線與圓、直角三角形的射影定理，屬于中檔

6、題三.解答題：本大題共6小題，滿分80分.16（本小題滿分12分） 在平面直角坐標系中，已知向量，。 （1）若，求tan x的值 （2）若與的夾角為，求的值?！敬鸢浮浚?）；（2）【考點定位】本題考查向量數(shù)量積的坐標運算、兩角和差公式的逆用、知角求值、值知求角等問題，屬于中檔題17（本小題滿分12分） 某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表。工人編號 年齡工人編號 年齡工人編號 年齡工人編號 年齡1 402 443 404 415 336 407 458 429 4310 3611 3112 3813 3914 4315 4516 3917 3818 3619 2720 4321 4122 3723

7、 3424 4225 3726 4427 4228 3429 3930 4331 3832 4233 5334 3735 4936 39（1）用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；（2）計算（1）中樣本的平均值和方差；（3）36名工人中年齡在與之間有多少人？所占的百分比是多少（精確到0.01）？【答案】（1），；（2），；（3），約占【考點定位】本題考查系統(tǒng)抽樣、樣本的均值與方差、樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計等知識，屬于中檔題18（本小題滿分14分） 如圖2，三角形所在的平面與長方形所在的平面垂直，.點是邊的中點，點、分別在線段、上，

8、且，.（1）證明：；（2）求二面角的正切值；（3）求直線與直線所成角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）；（3）【解析】（1）證明： 且點為的中點， ，又平面平面，且平面平面，平面， 平面，又平面， ；PABCDEFG（2） 是矩形， ，又平面平面，且平面平面，平面， 平面，又、平面， ， 即為二面角的平面角，在中， 即二面角的正切值為；（3）如下圖所示，連接， ，即， ， 為直線與直線所成角或其補角，在中，PABCDEFG由余弦定理可得， 直線與直線所成角的余弦值為【考點定位】本題考查直線與直線垂直、二面角、異面直線所成角等知識，屬于中檔題19（本小題滿分14分） 設(shè)，函數(shù)。 (1) 求的

9、單調(diào)區(qū)間 ； (2) 證明：在上僅有一個零點； (3) 若曲線在點處的切線與軸平行，且在點處的切線與直線平行（是坐標原點）,證明：【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】（1）依題， 在上是單調(diào)增函數(shù)；【考點定位】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、零點、不等式等知識，屬于中高檔題20（本小題滿分14分）已知過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，.（1）求圓的圓心坐標；（2）求線段的中點的軌跡的方程；（3）是否存在實數(shù)，使得直線與曲線只有一個交點：若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由得， 圓的圓心坐標為；（2）設(shè)，則 點為弦中點即， 即， 線段的中點的軌跡的方程為；（3）由（2）知點的軌跡是以為圓心為半徑的部分圓?。ㄈ缦聢D所示，不包括兩端點），且，又直線：過定點，LDxyOCEF當直線與圓相切時，由得，又，結(jié)合上圖可知當時，直線：與曲線只有一個交點【考點定位】本題考查圓的標準方程、軌跡方程、直線斜率等知識與數(shù)