34基本不等式

1、鹿邑縣高中：崔有亮20022002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo) 探究探究1：想一想？：想一想？思考：這會(huì)標(biāo)中含有思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？等關(guān)系？ 探究探究1：算一算？：算一算？abab22+ +問(wèn)問(wèn)2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形，是全等三角形，它們的面積是它們的面積是S=問(wèn)問(wèn)1：在正方形在正方形ABCD中中,AFBF,BGCG,CHDH,DEAE,設(shè)設(shè)AF=a,BF=b,則正方形的面積為則正方形的面積為S=，問(wèn)問(wèn)3：S與與S有什么

2、有什么樣的關(guān)系？樣的關(guān)系？ 22ab2ab從圖形中易得，從圖形中易得，s s,s s,即即222abab問(wèn)題問(wèn)題1 1：它們有相等的情況嗎？何時(shí)相等？它們有相等的情況嗎？何時(shí)相等？問(wèn)題問(wèn)題2 2：當(dāng)當(dāng) a,ba,b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，上式還成為任意實(shí)數(shù)時(shí)，上式還成 立嗎？立嗎？ 動(dòng)畫(huà)顯示：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即?dòng)畫(huà)顯示：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=ba=b時(shí)，正方形時(shí)，正方形EFGHEFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有 。22=2abab結(jié)論：結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a a、b b，我們有，我們有當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立

3、222aba b思考：思考：你能給出它的證明嗎？你能給出它的證明嗎？文字?jǐn)⑹鰹槲淖謹(jǐn)⑹鰹? 兩數(shù)的平方和不小于積的兩數(shù)的平方和不小于積的2倍倍。 類類 比比 聯(lián)聯(lián) 想想 推推 理理 論論 證證 (,)002ababab 探究探究2？（特別的）如果（特別的）如果 也可寫(xiě)成也可寫(xiě)成 ,abab用用和和代代替替 、 可可得得abab 2 2問(wèn)：?jiǎn)枺耗隳苡貌坏仁降男再|(zhì)直接推導(dǎo)嗎？你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)嗎？a0 ,b0 ,只要證 a+b （2）要證（2），只要證 a+b- 0（3）要證（3），只要證 （ - ） 20（4）顯然，（4）是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，（4）中的等號(hào)成立。 證明：要證 2a

4、bab（1）2 2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式2aba b（ 分析法 ）2 ab2 abab探究探究3？對(duì)基本不等式的幾何意義作進(jìn)一步探究（對(duì)基本不等式的幾何意義作進(jìn)一步探究（課課本第本第98頁(yè)的頁(yè)的“探究探究”）ABCDE如圖如圖,AB,AB是圓的直是圓的直徑，徑，C C是是ABAB上任一上任一點(diǎn)，點(diǎn)，AC=AC=a a,CB,CB= =b b, ,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C C作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦DEDE，連，連AD,BDAD,BD, ,則則CD=CD=, ,半徑半徑為為問(wèn)：?jiǎn)枺耗隳苡眠@個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?幾何意義：幾何意義：半徑不小于弦

5、的一半半徑不小于弦的一半abab2ba 概概 念念 是是 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)aba b2算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)a、 b 是兩個(gè)正數(shù)是兩個(gè)正數(shù) ，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)時(shí)“”號(hào)成立號(hào)成立 基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用v例例1：（：（1）用籬笆圍成一個(gè)面積為）用籬笆圍成一個(gè)面積為100m的矩的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？用籬笆最短。最短的籬笆是多少？解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為x m，寬為，寬為y m， 則則xy=100，籬笆的長(zhǎng)為，籬笆的長(zhǎng)為2（x+y）m. 2xyxy2

6、 100,xy 2()40 xy等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，此時(shí)時(shí)成立，此時(shí)x=y=10. 因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最短，時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是最短的籬笆是40m. 結(jié)論結(jié)論1 1：兩個(gè)正數(shù)積為定值，則和有最小值兩個(gè)正數(shù)積為定值，則和有最小值（2）用一段長(zhǎng)為）用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？大，最大面積是多少？2m解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為x m，寬為，寬為y m， 則則 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18矩形菜園的面積為矩形菜園的面積為xy2xyxy=18/2=9得得 xy 81當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=y,即即x=y=9時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立 因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9m時(shí)，菜園面積最大，最時(shí)，菜園面積最大，最大面積是大面積是812m結(jié)論結(jié)論2 2：兩個(gè)正數(shù)和為定值，則積有最大值兩個(gè)正數(shù)和為定值，則積有最大值v應(yīng)用要點(diǎn)：應(yīng)用要點(diǎn)：v 積定和小積定和小和定積大和定積大a與與b為正實(shí)數(shù)為正實(shí)數(shù)等號(hào)成立，等號(hào)成立，a與與b必須