32平行線分線段成比例

1、平行線分線段成比例平行線分線段成比例本節(jié)內(nèi)容3.2 下圖是一架梯子的示意圖下圖是一架梯子的示意圖. .由生活常識(shí)可以知由生活常識(shí)可以知道：道：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若互相平行，且若AB=BC，則則A1B1=B1C1. .由此可以猜測(cè)：若兩條直線被一組平由此可以猜測(cè)：若兩條直線被一組平行線所截，如果在其中一條直線上截得的線段相等，行線所截，如果在其中一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等那么在另一條直線上截得的線段也相等. .這個(gè)猜測(cè)是這個(gè)猜測(cè)是真的嗎真的嗎？觀察觀察 如下圖所示，已知直線如下圖所示，已知直線abc，直線，直線l1，l2 被直線被直線a、

2、b、c截得的線段分別為截得的線段分別為AB，BC和和A1B1，B1C1，且，且AB=BC. 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)B作直線作直線l3l2 ，分別與直線，分別與直線a、c相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)A2、C2. .由于由于abc，l3l2，因此由，因此由“夾在兩平行線夾在兩平行線間的平行線段相等間的平行線段相等” 可知可知A2B =A1B1，BC2 = B1C1 . .在在BAA2和和BCC2中，中，ABA2=CBC2，BA=BC，BAA2=BCC2，因此因此 BAA2BCC2 . .從而從而 BA2= BC2，所以所以 A1B1 = B1C1. . 由此可以得到：由此可以得到：兩條直線被一組平行線所截，兩條直線被一組平

3、行線所截，如果在其中一條直線上截得的線段相等，那么在如果在其中一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等另一條直線上截得的線段也相等. .動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 如圖，任意畫(huà)兩條直線如圖，任意畫(huà)兩條直線l1，l2 ，再畫(huà)三條與，再畫(huà)三條與l1，l2相交的平行直線相交的平行直線a、b、c. .分別度量分別度量l1，l2被直線被直線a、b、c截得的線段截得的線段AB，BC，A1B1，B1C1的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度. .相等嗎相等嗎？任意平移直線任意平移直線c，再度量，再度量AB，BC，A1B1，B1C1的長(zhǎng)度，的長(zhǎng)度，與與ABBCA BB C1111與與還相等嗎還相等嗎？ABBCA BB C1111

4、 =A BB C1111ABBC下面我們來(lái)證明：下面我們來(lái)證明：假設(shè)假設(shè) ，則把線段，則把線段 二等分，分點(diǎn)為二等分，分點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線作直線da，交，交l2于點(diǎn)于點(diǎn)D1，如下圖，如下圖: :AB23ABBC把線段把線段BC三等分，三等分點(diǎn)為三等分，三等分點(diǎn)為E，F(xiàn)，分別過(guò)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作直線作直線ea，fa，分別交，分別交l2于點(diǎn)于點(diǎn)E1，F(xiàn)1. .由已知由已知 ， 得得 . .ABBC23ABBC1123由于由于 ，ADDBAB12.13BEEFFCBC因此因此 . .ADDBBEEFFC由于由于adbefc，因此因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1

5、. .從而從而.111111112233A BA DB CB E 類(lèi)似地，可以證明：直線類(lèi)似地，可以證明：直線abc，直線，直線 被被直線直線a、b、c截得的線段分別為截得的線段分別為AB，BC 和和A1B1 ，B1C1，若若 （其中（其中m，n是正整數(shù)），則是正整數(shù)），則ABmBCn.1111A BmB Cnl1，l2進(jìn)一步可以證明，若進(jìn)一步可以證明，若 （其中（其中k為無(wú)理數(shù)），則為無(wú)理數(shù)），則ABkBC.1111A BkB C，ABA BACAC1111BCB CABA B1111.1111BCB CACAC我們還可以得到：我們還可以得到：.1111ABA BBCB C從而從而結(jié)論結(jié)論兩

6、條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例. .由此，得到以下基本事實(shí)：由此，得到以下基本事實(shí)：我們把以上基本事實(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)為我們把以上基本事實(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)為平行線分線段成比例平行線分線段成比例. .動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋如圖，在如圖，在ABC 中，已知中，已知DEBC，則，則和和成立嗎成立嗎？為什么為什么？ ADAEDBECADAEABAC如圖，過(guò)點(diǎn)如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線作直線MN，使，使MNDE. . DEBC ， MNDEBC.同時(shí)還可以得到同時(shí)還可以得到 ，DBECADAE.DBECABAC因此因此AB，AC被一組平行線被一組平行線MN，DE，BC 所截，所截，則由

7、平行線分線段成比例可知，則由平行線分線段成比例可知，ADAEDBECADAEABAC結(jié)論結(jié)論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對(duì)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例應(yīng)線段成比例. .由此得到以下結(jié)論：由此得到以下結(jié)論： 舉舉例例例例 如圖，已知如圖，已知AA1BB1CC1，AB = 2，BC = 3， A1B1= 1.5，求，求 B1C1 的長(zhǎng)的長(zhǎng). .B C1121 53即即 ， 由平行線分線段成比例可知由平行線分線段成比例可知 ，解解ABA BBCB C1111因此因此.113 1 52 252B C練習(xí)練習(xí)如圖，如圖，AC，BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O ，直線，直線M

8、N過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)O，且且 BAMNCD. . 已知已知 OA=3，OB= 1，OD = 2，求，求OC的長(zhǎng)的長(zhǎng). .1. 則由平行線分線段成比例可知?jiǎng)t由平行線分線段成比例可知 ，解解所以所以BAMNCD，因?yàn)橐驗(yàn)镺CODOAOB3 261OA ODOC.OB如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)D，E分別在分別在ABC的邊的邊AB，AC上，且上，且DEBC. . 若若AB =3，AD = 2，EC =1.8，求，求AC 的長(zhǎng)的長(zhǎng). .2. 則由平行線分線段成比例可知?jiǎng)t由平行線分線段成比例可知 ，解解DEBC，ADAEABAC又又AEACEC,21 83AC.,AC23(1 8).ACAC.解得解得 5 4AC. .中考中考 試題試題例例 如圖，在如圖，在ABC中，中，DEBC，且，