運(yùn)用Matlab分析機(jī)械振動(dòng)定稿

1、. . . . 本科畢業(yè)論文題目: 運(yùn)用Matlab分析機(jī)械振動(dòng) 學(xué)院： 物理與電子科學(xué)學(xué)院 運(yùn)用Matlab分析機(jī)械振動(dòng)摘要:日常生活中所說(shuō)的振動(dòng)是一種周期性的運(yùn)動(dòng)。所謂周期性運(yùn)動(dòng)是指在時(shí)間上具有重復(fù)性或往復(fù)性的一種運(yùn)動(dòng)，是遍與自然界與社會(huì)科學(xué)界的一種運(yùn)動(dòng)方式。在物理學(xué)中，廣義地說(shuō)凡是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的物理量，在某一數(shù)值附近做周期性的變化，都叫做振動(dòng).本文主要是例舉了關(guān)于振動(dòng)的典型實(shí)例，用Matlab語(yǔ)言編制計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行仿真以達(dá)到研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)以與振動(dòng)的合成，振動(dòng)的能量等目的，并在文章的最后簡(jiǎn)要地介紹了共振的危害與應(yīng)用。關(guān)鍵字: Matlab語(yǔ)言 演示 振動(dòng) 周期性 頻率 合成 能量 共振 混沌

2、現(xiàn)象 目 錄一振動(dòng)的概念與分類11.1狹義的振動(dòng)11.1.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的概念11.1.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征11.2廣義的振動(dòng)與振動(dòng)的分類2二不同類型的振動(dòng)合成與運(yùn)用Matlab模擬演示32.1振動(dòng)方向一樣，頻率一樣的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成32.2 Matlab模擬振動(dòng)方向一樣，頻率略有差異振動(dòng)合成的“拍”現(xiàn)象42.3二個(gè)振動(dòng)方向互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成7三運(yùn)用Matlab演示典型實(shí)例分析簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量轉(zhuǎn)換73.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)械能73.2 小球單擺的能量分析與Matlab演示：73.3Matlab演示彈簧振子：83.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量曲線12四阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)與位移共振154.1阻尼振動(dòng)154.2受

3、迫振動(dòng)184.3位移共振21五、“不守規(guī)矩”的擺·混沌行為：225.1什么是“混沌”現(xiàn)象225.2依賴初值的兩種情況22六、振動(dòng)的危害226.1生產(chǎn)中接觸到的振動(dòng)源226.2振動(dòng)引起的共振在歷史事件中引起的危害226.3振動(dòng)對(duì)人體器官的影響23七、共振創(chuàng)造了世界24致2626 / 29一振動(dòng)的概念與分類1.1狹義的振動(dòng)1.1.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的概念狹義的振動(dòng)指的是機(jī)械振動(dòng)，即力學(xué)系統(tǒng)中的振動(dòng)。振動(dòng)(或機(jī)械振動(dòng))指的是物體在平衡位置附近往復(fù)運(yùn)動(dòng)。（琴弦、鐘鼓、機(jī)械鐘表的擺輪、發(fā)動(dòng)機(jī)座、高聳的煙囪和固體晶格點(diǎn)陣的分子和原子都在振動(dòng)）振動(dòng)是以波的形式傳播的，機(jī)械振動(dòng)的傳播即機(jī)械波。簡(jiǎn)諧振動(dòng)是指質(zhì)

4、點(diǎn)在線性回復(fù)力作用下圍繞平衡位置的運(yùn)動(dòng)。1.1.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征（1）簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程中應(yīng)該掌握的一些基本概念：振幅A：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體離開(kāi)平衡位置最大位移的絕對(duì)值A(chǔ)。振動(dòng)的周期T：物體做一次完全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。頻率f：?jiǎn)挝粫r(shí)間物體所作的完全振動(dòng)的次數(shù)。圓頻率:一秒鐘對(duì)應(yīng)的圓心角。一次全振動(dòng)對(duì)應(yīng)的圓心角就是2（即360度）。相位：當(dāng)振幅和頻率一定時(shí)決定振動(dòng)物體在任意時(shí)刻相對(duì)平衡位置的位移和速度的物理量。相位概念的重要性還在于比較兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)之間在“步調(diào)”上的差異。設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，它們的振動(dòng)表達(dá)式為： 它們的相位差為： （2）以彈簧振子為例描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)：彈簧自由伸展時(shí)，滑塊的位置為

5、原點(diǎn)O（即平衡位置）， 表示位移： 平衡位置O點(diǎn)線XXXXV圖1-1-2 彈簧陣子由牛頓第二定律知： 由上式易知簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程: 其解的形式為: 1.2廣義的振動(dòng)與振動(dòng)的分類從廣義上說(shuō)振動(dòng)是指描述系統(tǒng)狀態(tài)的參量（如位移、電壓）在其基準(zhǔn)值上下交替變化的過(guò)程。電磁振動(dòng)習(xí)慣上稱為振蕩。力學(xué)系統(tǒng)能維持振動(dòng)，必須具有彈性和慣性：由于彈性，系統(tǒng)偏離其平衡位置時(shí)，會(huì)產(chǎn)生回復(fù)力，促使系統(tǒng)返回來(lái)位置；由于慣性，系統(tǒng)在返回平衡位置的過(guò)程中積累了動(dòng)能，從而使系統(tǒng)越過(guò)平衡位置向另一側(cè)運(yùn)動(dòng)。正是由于彈性和慣性的相互影響，才造成系統(tǒng)的振動(dòng)。（1）按系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)自由度分，有單自由度系統(tǒng)振動(dòng)（如鐘擺的振動(dòng)）和多自由度系統(tǒng)振

6、動(dòng)。有限多自由度系統(tǒng)與離散系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)，其振動(dòng)由常微分方程描述；無(wú)限多自由度系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)（如桿、梁、板、殼等）相對(duì)應(yīng)，其振動(dòng)由偏微分方程描述。（2）方程中不顯含時(shí)間的系統(tǒng)稱自治系統(tǒng)；顯含時(shí)間的稱非自治系統(tǒng)。（3）按系統(tǒng)受力情況分，有自由振動(dòng)、衰減振動(dòng)和受迫振動(dòng)。（4）按彈性力和阻尼力性質(zhì)分，有線性振動(dòng)和非線性振動(dòng)。（5）振動(dòng)還可分為確定性振動(dòng)和隨機(jī)振動(dòng)，后者無(wú)確定性規(guī)律。（如車輛行進(jìn)中的顛簸）二不同類型的振動(dòng)合成與運(yùn)用Matlab模擬演示2.1振動(dòng)方向一樣，頻率一樣的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成合簡(jiǎn)諧振動(dòng)的分振動(dòng)方程為：振動(dòng)矢量合成如圖示：圖2-1振動(dòng)矢量合成 用旋轉(zhuǎn)矢量合成 合振幅矢量 合振動(dòng)保持原振動(dòng)方

7、向不變。 合振動(dòng)方程 由此易知：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)振動(dòng)方向一樣、頻率一樣的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，合振動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。Matlab模擬編程如下：%兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成clear %清除變量a1=input('請(qǐng)輸入第一個(gè)振動(dòng)的振幅:); %第一個(gè)振動(dòng)的振幅%a1=0.03; %參考值phi1=input('請(qǐng)輸入第一個(gè)振動(dòng)的初相的度數(shù):');%第一個(gè)振動(dòng)的初相%phi1=0; %參考值phi1=phi1*pi/180; %化為弧度a2=input('請(qǐng)輸入第二個(gè)振動(dòng)的振幅:'); %第二個(gè)振動(dòng)的振幅%a2=0.04; %參考值phi2=input(

8、9;請(qǐng)輸入第二個(gè)振動(dòng)的初相的度數(shù):'); %phi1=0;90; phi2=phi2*pi/180; wt=linspace(0,4*pi); x1=a1*cos(wt+phi1); x2=a2*cos(wt+phi2); x=x1+x2; figure plot(wt,x1,'-.',wt,x2,'-',wt,x,'LineWidth',2)%畫振動(dòng)曲線set(gca,'XTick',(0:8)*pi/2) %設(shè)置橫坐標(biāo)刻度grid on %加網(wǎng)格fs=16; %字體大小title('同一直線上簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成&#

9、39;,'FontSize',fs)%顯示標(biāo)題2.2 Matlab模擬振動(dòng)方向一樣，頻率略有差異振動(dòng)合成的“拍”現(xiàn)象二個(gè)振動(dòng)方向一樣、頻率略有差異的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)不為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，產(chǎn)生“拍”現(xiàn)象拍頻為（為兩分振動(dòng)頻率）“拍”現(xiàn)象合振動(dòng)圖像如下所示：x1tx2tx3t圖2-2“拍”現(xiàn)象振動(dòng)合成 Matlab演示“拍”現(xiàn)象：%拍的形成clear %清除變量d=10; %分母%d=15; %分母t=0:0.01:60; %時(shí)間向量w1=pi/2; %第一個(gè)角頻率dw=pi/d; %角頻率之差w2=w1+dw; %第二個(gè)角頻率x1=cos(w1*t); %第一個(gè)位移x2=cos(w2*

10、t); %第二個(gè)位移x=x1+x2; %合位移figure %創(chuàng)建圖形窗口subplot(3,1,1) %選擇子圖plot(t,x1,t,x2,'-','LineWidth',2) %畫位移曲線grid on %加網(wǎng)格leg1='itxrm_1/itArm=cositomegarm_1itt'%第一個(gè)圖例字符串leg2='itxrm_2/itArm=cositomegarm_2itt'%第二個(gè)圖例字符串legend(leg1,leg2) %圖例tit='(itomegarm_1=pi/2,Deltaitomegarm=pi

11、/',num2str(d),')'%標(biāo)題一部分fs=16; %字體大小title('拍的形成' tit,'FontSize',fs) %加標(biāo)題%xx1=cos(dw*t/2); %調(diào)幅線xx1=cos(w2-w1)*t/2); %調(diào)幅線(同上)%xx2=cos(w1+dw/2)*t); %無(wú)調(diào)幅的振動(dòng)線xx2=cos(w2+w1)*t/2); %無(wú)調(diào)幅的振動(dòng)線(同上)subplot(3,1,2) %選擇子圖plot(t,xx2,t,xx1,'r-','LineWidth',2) %畫曲線grid on %加

12、網(wǎng)格leg1='cos(itomegarm_2' %圖例字符串的第一部分leg2='itomegarm_1)ittrm/2' %圖例字符串的第二部分legend(leg1,'+',leg2,leg1,'-',leg2)%圖例subplot(3,1,3) %選擇子圖plot(t,x1+x2,t,2*xx1,'r-',t,-2*xx1,'m-','LineWidth',2)%畫曲線grid on %加網(wǎng)格xlabel('ittrm/s','FontSize'

13、;,fs) %標(biāo)記橫坐標(biāo)ylabel('itx/Arm=itxrm_1/itAit+itxrm_2/itA','FontSize',fs)%標(biāo)記縱坐標(biāo)2.3二個(gè)振動(dòng)方向互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成（1）若二振動(dòng)頻率一樣，合振動(dòng)軌跡一般為一橢圓. （2）若二振動(dòng)頻率成整數(shù)比，合振動(dòng)軌跡為規(guī)則的穩(wěn)定的閉合曲線，稱利薩如圖但若不成整數(shù)比，軌跡為不閉合的復(fù)雜曲線.三運(yùn)用Matlab演示典型實(shí)例分析簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量轉(zhuǎn)換3.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)械能彈簧振子或扭擺振動(dòng)系統(tǒng)中線性回復(fù)力為彈性力（或力矩），它們是保守力（或力矩），所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的總機(jī)械能是簡(jiǎn)諧振

14、動(dòng)的動(dòng)能與勢(shì)能之和現(xiàn)以單擺、彈簧振子為例討論振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能的變化。3.2 小球單擺的能量分析與Matlab演示：?jiǎn)螖[的周期： 最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差：最高點(diǎn)時(shí)動(dòng)能為0，最低點(diǎn)時(shí)勢(shì)能為0所以振動(dòng)的能量為： 抽象的問(wèn)題具體化，運(yùn)用Matlab演示單擺如下：%制作動(dòng)畫%掛擺橫梁plot(-0.2;0.2,0;0,'color','y','linestyle','-',.'linewidth',10);%畫初始位置的單擺g=0.98; %重力加速度,可以調(diào)節(jié)擺的擺速l=1;theta0=pi/4;x0=l*sin(t

15、heta0);y0=(-1)*l*cos(theta0);axis(-0.75,0.75,-1.25,0);axis('off'); %不顯示坐標(biāo)軸%創(chuàng)建擺錘head=line(x0,y0,'color','r','linestyle','.',.'erasemode','xor','markersize',40);%創(chuàng)建擺桿body=line(0;x0,0;y0,'color','b','linestyle','

16、;-',.'erasemode','xor');%擺的運(yùn)動(dòng)t=0;dt=0.01;while 1t=t+dt;theta=theta0*cos(sqrt(g/l)*t);x=l*sin(theta);y=(-1)*l*cos(theta);set(head,'xdata',x,'ydata',y);set(body,'xdata',0;x,'ydata',0;y);drawnow;end3.3Matlab演示彈簧振子：彈簧振子的彈性勢(shì)能：彈簧振子的動(dòng)能： 彈簧振子的總機(jī)械能： 因?yàn)?,均較易

17、進(jìn)行計(jì)算，所以計(jì)算動(dòng)能時(shí)常用綜上所述易知：任何簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能均可用下式計(jì)算簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但動(dòng)能和彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅與機(jī)械能的關(guān)系。理想彈簧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)Matlab編程如下:%理想彈簧陣子簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)%Clearrectangle('position',12,8.5,2,0.3,'FaceColor',0.5,0.3,0.4);axis(0,15,-1,10);%畫頂板hold onplot(13,13,7,8.5,'r','linewidth',2);%畫直線y=2:.2:7;M=length(

18、y);x=12+mod(1:M,2)*2;x(1)=13;x(end-3:end)=13;D=plot(x,y); %彈簧C=0:.1:2*pi;r=0.35;t1=r*sin(C);F1=fill(13+r*cos(C),2+t1,'r');% 球set(gca,'ytick',0:2:9);set(gca,'yticklabels',num2str(-1:3');plot(0,15,3.3,3.3,'black');H1=plot(0,13,3.3,3.3,'y');% 句柄黃線Q=plot(0,3.8

19、,'color','r');% 運(yùn)動(dòng)曲線;td=;yd=;T=0;text(2,9,'理想中的彈簧振子簡(jiǎn)諧振動(dòng)','fontsize',16);set(gcf,'doublebuffer','on');while T<12;pause(0.2);Dy=(3/2-1/2*sin(pi*T)*1/2;Y=-(y-2)*Dy+7;Yf=Y(end)+t1;td=td,T;yd=yd,Y(end);set(D,'ydata',Y);set(F1,'ydata',Yf,&

20、#39;facecolor',rand(1,3);set(H1,'xdata',T,13,'ydata',Y(end),Y(end);set(Q,'xdata',td,'ydata',yd) ;T=T+0.1;End3.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量曲線能量曲線： 總機(jī)械能： 彈性勢(shì)能能： 動(dòng)能： 能量曲線如下圖所示：Ex圖3-4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量曲線彈性勢(shì)能與動(dòng)能的平均值： 簡(jiǎn)諧振動(dòng)中勢(shì)能與動(dòng)能的平均值相等且等于總機(jī)械能的一半。以彈簧振子為例運(yùn)用Matlab模擬能量曲線：%彈簧振子的動(dòng)能,勢(shì)能和機(jī)械能曲線clear %清除變量n=4; %

21、周期的個(gè)數(shù)t=linspace(0,2*pi)*n; %時(shí)間向量x=cos(t); %振子位置v=-sin(t); %速度ek=v.2; %動(dòng)能ep=x.2; %勢(shì)能figure %建立圖形窗口subplot(2,1,1) %子圖plot(t,x,t,v,'-','LineWidth',2) %畫位移和速度曲線grid on %加網(wǎng)格axis tight %緊貼坐標(biāo)軸fs=16; %字體大小title('簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移和速度','FontSize',fs)%顯示標(biāo)題xlabel('itomegat','Fo

22、ntSize',fs) %標(biāo)記橫軸legend('位移itx/A','速度itv/omegaA')%圖例set(gca,'XTick',(0:2*n)*pi) %設(shè)置橫坐標(biāo)刻度線text(0,0,'itomegarm=(itk/mrm)1/2','FontSize',fs)%顯示角頻率subplot(2,1,2) %子圖plot(t,ek,'-',t,ep,'-.',t,ek+ep,'LineWidth',2)%畫能量曲線grid on %加網(wǎng)格axis ti

23、ght %緊貼坐標(biāo)軸title('簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量','FontSize',fs) %顯示標(biāo)題xlabel('itomegat','FontSize',fs) %標(biāo)記橫軸legend('動(dòng)能itT/Erm_0','勢(shì)能itV/Erm_0','機(jī)械能itE/Erm_0')%圖例text(0,0.5,'itErm_0=itkArm2/2','FontSize',fs)%顯示能量單位set(gca,'XTick',(0:2*n)*pi) %設(shè)置

24、橫坐標(biāo)刻度線四阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)與位移共振4.1阻尼振動(dòng)以上討論均假設(shè)質(zhì)點(diǎn)或剛體的振動(dòng)不受任何阻力，由于能量守恒，它們將永遠(yuǎn)振動(dòng)下去。然后事實(shí)上，振動(dòng)系統(tǒng)都受阻力作用，如無(wú)外界能量補(bǔ)償，振動(dòng)幅將不斷減小而歸于靜止。振動(dòng)系統(tǒng)因受阻力作振幅減小的運(yùn)動(dòng)，叫做阻尼振動(dòng)。設(shè) 阻力 由牛頓第二定律得 令 由此可得其動(dòng)力學(xué)方程 根據(jù)阻尼因數(shù)之不同，可將此方程解出三種可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)： x（1）欠阻尼狀態(tài) t 得質(zhì)點(diǎn)的解 圖4-1-1欠阻尼狀態(tài)x（2）臨界阻尼 t得質(zhì)點(diǎn)的解 圖4-1-2臨界阻尼狀態(tài)xt（3）過(guò)阻尼狀態(tài) 得質(zhì)點(diǎn)的解 圖4-1-3過(guò)阻尼狀態(tài)運(yùn)用Matlab語(yǔ)言模擬阻尼運(yùn)動(dòng)：%阻尼運(yùn)動(dòng)的類型clea

25、r %清除變量t=0:0.25:20; %固有角頻率與時(shí)間的乘積w0t向量(約化時(shí)間向量)%b=0:0.5:1.5; %阻尼因子與固有角頻率的倍數(shù)向量(約化阻尼因子向量)b=0:0.25:1.25; %阻尼因子與固有角頻率的倍數(shù)向量(約化阻尼因子向量)n=length(b); %曲線條數(shù)b(b=1)=1+eps; %將1值改為1加小量B,T=meshgrid(b,t); %約化阻尼因子和約化時(shí)間矩陣W=sqrt(1-B.2); %準(zhǔn)角頻率矩陣X=exp(-B.*T).*(cos(W.*T)+B./W.*sin(W.*T);%位移函數(shù)矩陣V=-exp(-B.*T).*sin(W.*T)./W;

26、%速度函數(shù)矩陣%A=sqrt(B.2-1); %參數(shù)矩陣%X=exp(-B.*T).*(A+B).*exp(A.*T)+(A-B).*exp(-A.*T)/2./A;%位移函數(shù)矩陣(效果一樣)%X=exp(-B.*T).*(cosh(A.*T)+B./A.*sinh(A.*T);%位移函數(shù)矩陣(效果一樣)%V=-exp(-B.*T).*sinh(A.*T)./A; %速度函數(shù)矩陣(效果一樣)f1=figure; %創(chuàng)建圖形窗口%plot(t,X,'LineWidth',2) %畫位移曲線族plot(t,X(:,1),'o-',t,X(:,2),'d-&#

27、39;,t,X(:,3),'s-',t,X(:,4),'p-',. t,X(:,5),'h-',t,X(:,6),'<-') %畫位移曲線族fs=16; %字體大小xlabel('itomegarm_0itt','FontSize',fs)%標(biāo)記橫坐標(biāo)ylabel('itx/A','FontSize',fs) %標(biāo)記縱坐標(biāo)title('質(zhì)點(diǎn)在不同阻尼下的運(yùn)動(dòng)曲線','FontSize',fs)%標(biāo)題legend(repmat(&#

28、39;itbeta/omegarm_0:',n,1),num2str(b')%加圖例txt='itbeta/omegarm_0 小于1為欠阻尼,等于1為臨界阻尼,大于1為過(guò)阻尼'%文本text(0,-0.7,txt,'FontSize',fs) %顯示文本grid on %加網(wǎng)格f2=figure; %創(chuàng)建圖形窗口%plot(t,V,'LineWidth',2) %畫速度曲線族plot(t,V(:,1),'o-',t,V(:,2),'d-',t,V(:,3),'s-',t,V(:,4

29、),'p-',. t,V(:,5),'h-',t,V(:,6),'<-') %畫位移曲線族xlabel('itomegarm_0itt','FontSize',fs)%標(biāo)記橫坐標(biāo)ylabel('itv/omegarm_0itA','FontSize',fs)%標(biāo)記縱坐標(biāo)title('質(zhì)點(diǎn)在不同阻尼下的速度曲線','FontSize',fs)%標(biāo)題grid on %加網(wǎng)格legend(repmat('itbeta/omegarm_0:

30、9;,n,1),num2str(b')%加圖例pause %暫停,可取圖X1=; %位移矩陣清空V1=; %速度矩陣清空X2=; %位移矩陣清空V2=; %速度矩陣清空f(shuō)or i=1:n %按曲線循環(huán) tm,XV=ode45('P5_7fun',t,1;0,b(i);%計(jì)算位移和速度 X1=X1,XV(:,1); %連接位移矩陣 V1=V1,XV(:,2); %連接速度矩陣 s='D2x+',num2str(2*b(i),'*Dx+x'%微分方程字符串sx=dsolve(s,'x(0)=1','Dx(0)=0

31、9;); %微分方程的符號(hào)解sv=diff(sx); %求速度的符號(hào)解x=subs(sx,'t',t); %位移v=subs(sv,'t',t); %速度 X2=X2,x' %連接位移矩陣 V2=V2,v' %連接速度矩陣end %結(jié)束循環(huán)figure(f1) %重開(kāi)圖形窗口hold on %保持圖像plot(t,X1,'.',t,X2,'*') %畫位移曲線figure(f2) %重開(kāi)圖形窗口hold on %保持圖像plot(t,V1,'.',t,V2,'*') %畫速度曲線%阻

32、尼運(yùn)動(dòng)的二階微分方程的函數(shù)function f=fun(t,x,flag,b)f= x(2); %速度 -2*b*x(2)-x(1); %加速度4.2受迫振動(dòng)設(shè)質(zhì)點(diǎn)受到三種力：彈性力-kx，阻尼力，周期性外力，亦稱驅(qū)動(dòng)力根據(jù)牛頓第二定律得，受迫振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：令 ，得 解方程得： 開(kāi)始時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅較小，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后，阻尼振動(dòng)即可忽略不計(jì)，質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行由上式第二項(xiàng)所決定的與驅(qū)動(dòng)力同頻率的振動(dòng)，稱受迫振動(dòng)的穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)，可表示如下：將此式帶入方程得 ，xot圖4-2 受迫振動(dòng)自暫態(tài)發(fā)展為穩(wěn)定振動(dòng).本圖所示初始條件為t=0,初始條件影響暫態(tài)過(guò)程，不影響穩(wěn)態(tài)振動(dòng)Matlab編程演示受迫振動(dòng)如下：

33、%物體在平衡點(diǎn)從靜止開(kāi)始的受迫振動(dòng)曲線(用解析式)clear %清除變量b=input('請(qǐng)輸入約化阻尼因子(01):'); %鍵盤輸入約化阻尼因子%b=0.1; %參考值if b<=0|b>=1 return,end %不符合條件則不向下執(zhí)行程序w=sqrt(1-b2); %約化阻尼圓頻率s='請(qǐng)輸入約化驅(qū)動(dòng)力圓頻率(約化阻尼圓頻率為',num2str(w),'):'%提示字符串W=input(s); %鍵盤輸入約化驅(qū)動(dòng)力圓頻率%W=2;6;1;0.6; %參考值if W=1 W=1-eps;end %如果為1則改小一點(diǎn)tm=30;

34、 %最大時(shí)間t=0:0.001:tm; %時(shí)間向量a1=sqrt(w2*(W2-1)2+b2*(W2+1)2)/w/(W2-1)2+4*b2*W2);%阻尼振幅phi=atan2(b*(W2+1),w*(W2-1); %阻尼振動(dòng)初相a2=1/sqrt(W2-1)2+4*b2*W2); %等幅振動(dòng)振幅PHI=atan2(-2*b*W,1-W2); %等幅振動(dòng)初相x1=a1*exp(-b*t).*cos(w*t+phi); %阻尼振動(dòng)函數(shù)x2=a2*cos(W*t+PHI); %等幅振動(dòng)函數(shù)x=x1+x2; %合成振動(dòng)xm=max(abs(x); %最大值%-figure %創(chuàng)建圖形窗口subpl

35、ot(3,1,1) %選子圖plot(t,x1,'LineWidth',2) %畫曲線grid on %加網(wǎng)格axis(0,tm,-xm,xm) %設(shè)置曲線圍fs=12; %字體大小title('減幅振動(dòng)的位移時(shí)間曲線','FontSize',fs)%標(biāo)題ylabel('itxrm_1/itArm_0','FontSize',fs)%標(biāo)記縱坐標(biāo)txt='itbeta/omegarm_0=',num2str(b);%阻尼因子字符串txt=txt,',itomega/omegarm_0='

36、;,num2str(w);%連接阻尼圓頻率text(0,xm,txt,'FontSize',fs) %標(biāo)記阻尼因子和阻尼圓頻率subplot(3,1,2) %選子圖plot(t,x2,'LineWidth',2) %畫曲線grid on %加網(wǎng)格axis(0,tm,-xm,xm) %設(shè)置曲線圍title('等幅振動(dòng)的位移時(shí)間曲線','FontSize',fs)%標(biāo)題ylabel('itxrm_2/itArm_0','FontSize',fs)%標(biāo)記縱坐標(biāo)txt='itOmega/omegar

37、m_0=',num2str(W);%驅(qū)動(dòng)力圓頻率字符串text(0,xm,txt,'FontSize',fs) %標(biāo)記驅(qū)動(dòng)力圓頻率subplot(3,1,3) %選子圖plot(t,x,'LineWidth',2) %畫曲線grid on %加網(wǎng)格axis(0,tm,-xm,xm) %設(shè)置曲線圍txt='itArm_0=itFrm_0/itmomegarm_02'%振幅文本text(0,xm,txt,'FontSize',fs) %標(biāo)記振幅文本title('受迫振動(dòng)的位移時(shí)間曲線','FontSiz

38、e',fs)%標(biāo)題xlabel('itomegarm_0itt','FontSize',fs)%標(biāo)記橫坐標(biāo)ylabel('itx/Arm_0','FontSize',fs) %標(biāo)記縱坐標(biāo)4.3位移共振任何物體產(chǎn)生振動(dòng)后，由于其身的構(gòu)成、大小、形狀等物理特性，原先以多種頻率開(kāi)始的振動(dòng)，漸漸會(huì)固定在某一頻率上振動(dòng)，這個(gè)頻率叫做該物體的"固有頻率"，因?yàn)樗c該物體的物理特性有關(guān)。所以當(dāng)人們從外界再給這個(gè)物體加上一個(gè)振動(dòng)（稱為策動(dòng)）時(shí)，如果策動(dòng)力的頻率與該物體的固有頻率正好一樣，物體振動(dòng)的振幅達(dá)到最大，這種現(xiàn)象

39、叫做"共振"。 任何物體自身存在振動(dòng)，當(dāng)一個(gè)物體接受到另一個(gè)物體的振蕩頻率時(shí)，又巧好與這個(gè)物體的振蕩頻率一樣時(shí)會(huì)產(chǎn)生共振。共振危害極大可以使大橋、房屋以與其它的建筑物瞬間倒塌，甚至還危與到人類的心臟使血管破裂而亡。下面簡(jiǎn)要介紹一下位移共振：當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率取某值時(shí)，振幅獲得極大值。振動(dòng)系統(tǒng)受迫振動(dòng)時(shí)，其振幅達(dá)到極大值的現(xiàn)象叫做位移共振。將式用微分法關(guān)于極大值的判據(jù)，可求出共振驅(qū)動(dòng)力的圓頻率為：亦稱位移共振條件。Ao圖4-3由于阻尼存在，位移共振時(shí)受迫振動(dòng)的頻率不等于驅(qū)動(dòng)力頻率，僅當(dāng)阻尼無(wú)限小時(shí)，共振頻率無(wú)限接近固有頻率，產(chǎn)生極激烈的共振五、“不守規(guī)矩”的擺·混沌行為：

40、5.1什么是“混沌”現(xiàn)象動(dòng)力學(xué)方程形如：的擺動(dòng)現(xiàn)象稱為混沌擺。與受迫振動(dòng)有所區(qū)別的是出現(xiàn)了非線性項(xiàng)，因此這扭擺稱為受周期驅(qū)動(dòng)的非線性振子。非線性系統(tǒng)的混沌行為是自然界普遍和重要的物理現(xiàn)象 振子的運(yùn)動(dòng)是“循規(guī)蹈矩”的，但與之相對(duì)比的是，這里的扭擺當(dāng)參量取某些值時(shí)，卻表現(xiàn)出“不守規(guī)矩”的行為。長(zhǎng)期行為不可預(yù)測(cè)，呈現(xiàn)隨機(jī)性。扭擺的這種行為稱為混沌行為或混沌運(yùn)動(dòng)，也稱作混沌。5.2依賴初值的兩種情況依賴初值的兩種情況：牛頓力學(xué)研究的運(yùn)動(dòng)是依賴初值的。當(dāng)今。混沌研究表明，運(yùn)動(dòng)對(duì)初值的依賴本應(yīng)該分為兩類：一類是一般的依賴初值；這類運(yùn)動(dòng)，給定初值，之前和之后的運(yùn)動(dòng)是完全確定的，這類運(yùn)動(dòng)是可“重現(xiàn)”，可“預(yù)報(bào)

41、”的。另一類是敏感地依賴初值；“運(yùn)動(dòng)依賴敏感初值”意味著初值有預(yù)測(cè)不出的微小微差，隨著時(shí)間演化，兩次運(yùn)動(dòng)間的偏離卻可以觀測(cè)得到，并且還變化不定，也就是說(shuō)對(duì)于敏感依賴初值的運(yùn)動(dòng)。即便在實(shí)驗(yàn)中給予“一樣的”初值（注意： “一樣的”表示兩次初值相差如此之小，以致測(cè)量不出兩次初值的不同）兩次運(yùn)動(dòng)也并不重復(fù)，即敏感依賴初值的運(yùn)動(dòng)是不可重復(fù)出現(xiàn)的，不可預(yù)報(bào)的。六、振動(dòng)的危害6.1生產(chǎn)中接觸到的振動(dòng)源 （1）鑿巖機(jī)、鉚釘機(jī)、風(fēng)鏟等風(fēng)動(dòng)工具；( 2 ) 砂輪機(jī)、拋光機(jī)、研磨機(jī)、電鉆、電鋸、林業(yè)用油鋸等電動(dòng)工具； （3）摩托車、燃機(jī)車、船舶等運(yùn)輸工具； （4）收割機(jī)、拖拉機(jī)、脫粒機(jī)等農(nóng)業(yè)機(jī)械。6.2振動(dòng)引起的共

42、振在歷史事件中引起的危害 1831年，一隊(duì)騎兵通過(guò)英國(guó)曼徹斯特附近的一座吊橋。突然，隨著一聲巨響，大橋斷裂崩塌了，人與馬紛紛墜入河中，導(dǎo)致死傷慘重。無(wú)獨(dú)有偶，過(guò)了半個(gè)多世紀(jì)，1906年，俄國(guó)首都彼得格勒也有一支全副武裝的沙皇軍隊(duì)，步伐整齊的通過(guò)愛(ài)記華特大橋時(shí)，大橋莫名其妙的倒塌了，當(dāng)時(shí)情景狼狽不堪。 兩件事情發(fā)生的方式小異，人們對(duì)此覺(jué)得特別震驚，并隨即對(duì)此進(jìn)行了調(diào)查。通過(guò)當(dāng)時(shí)一大批頂尖物理學(xué)家的研究發(fā)現(xiàn)，在沒(méi)有敵人破壞，又不是橋的質(zhì)量問(wèn)題時(shí)，肇事者正是這些受害者自己。由于他們步伐整齊產(chǎn)生的周期頻率碰巧接近橋的固有頻率，激起了大橋的共振，結(jié)果造成了橋斷人亡的大事故！6.3振動(dòng)對(duì)人體器官的影響(

43、1) 條件反射潛伏期改變；交感神經(jīng)功能亢進(jìn)；血壓不穩(wěn)、心律不齊等；如觸覺(jué)、溫?zé)嵊X(jué)、痛覺(jué)等皮膚感覺(jué)功能下降，特別是振動(dòng)感覺(jué)，最早出現(xiàn)遲鈍。 （2）40300Hz的振動(dòng)能引起周圍毛細(xì)血管力和形態(tài)的變化，癥狀表現(xiàn)為末梢血管痙攣、腦血流圖異常等；心臟方面會(huì)出現(xiàn)心律不齊、心動(dòng)過(guò)緩等病癥。( 3) 振動(dòng)會(huì)引起肌電圖異常、握力下降、肌肉萎縮、肌纖維顫動(dòng)和疼痛等病癥。（4）小于40Hz的大振幅振動(dòng)容易引起骨關(guān)節(jié)的變動(dòng)，通過(guò)X光，可清晰的觀察到骨貿(mào)形成、骨質(zhì)疏松、骨關(guān)節(jié)變形和骨關(guān)節(jié)壞死等癥狀。( 5)振動(dòng)引起的聽(tīng)力變化，則以125250Hz頻段的聽(tīng)力下降最為明顯，然而在初期仍以高頻段聽(tīng)力損失為主，隨后才會(huì)出現(xiàn)低

44、頻段聽(tīng)力下降。振動(dòng)和噪聲有聯(lián)合作用。（6）長(zhǎng)期處于振動(dòng)工作環(huán)境的人可會(huì)患發(fā)局部振動(dòng)病。局部振動(dòng)病是以末梢循環(huán)障礙為主的疾病，也會(huì)影響肢體神經(jīng)與運(yùn)動(dòng)功能。發(fā)病部位多表現(xiàn)于上肢末端，典型性為發(fā)作性手指變白（亦稱白指）。我國(guó)1957年就將局部振動(dòng)病定為職業(yè)病。( 7 )眾所周知，振動(dòng)頻率、加速度與振幅才是影響振動(dòng)作用的因素。然而人體只會(huì)對(duì)頻率在11000Hz圍的振動(dòng)產(chǎn)生振動(dòng)感覺(jué)。振動(dòng)頻率在發(fā)病過(guò)程中起重要作用。頻率在30300Hz圍的振動(dòng)主要是引起末梢血管痙攣，白指。頻率一樣時(shí)，危害隨著加速度的增大而增大。而振幅大，頻率低的振動(dòng)主要作用于前庭器官，且會(huì)使臟發(fā)生移位。頻率一定時(shí)，振幅越大對(duì)機(jī)體影響越大

45、。這是寒冷振動(dòng)病發(fā)病的重要外部病因之一，寒冷會(huì)導(dǎo)致血流量減少，血液循環(huán)發(fā)生改變，造成局部供血不足，促進(jìn)振動(dòng)病發(fā)生。接觸振動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，振動(dòng)病發(fā)病率越高。增長(zhǎng)工間休息時(shí)間對(duì)預(yù)防振動(dòng)病具有積極意義。 人對(duì)振動(dòng)的敏感程度與身體部位有關(guān)。人體站立時(shí)對(duì)垂直振動(dòng)敏感；躺臥時(shí)對(duì)水平振動(dòng)敏感。有的作業(yè)要采取強(qiáng)制體位，甚至胸腹部或下肢部位貼振動(dòng)體，這樣造成的振動(dòng)危害就更大了。加工部件硬度大時(shí)，人體所受危害大也會(huì)相應(yīng)增大，沖擊力大的振動(dòng)容易導(dǎo)致骨關(guān)節(jié)發(fā)生病變。七、共振創(chuàng)造了世界有利必有弊，世界上的任何事物都逃不過(guò)自然規(guī)律，振動(dòng)不只是能給人們帶來(lái)危害，而且只要人們運(yùn)用得當(dāng)，振動(dòng)還能給人們帶來(lái)莫大的好處。共振篩和垂直輸送器就是利用振動(dòng)的共振原理最典型的例子。 振動(dòng)中的共振是物理學(xué)上的一個(gè)運(yùn)用頻率非常高的專業(yè)術(shù)語(yǔ)。共振在聲學(xué)中稱為“共鳴”，它是指物體因共振而發(fā)聲的現(xiàn)象；共振在電學(xué)