讓初中學(xué)生利用幾何畫板學(xué)數(shù)學(xué)的一些嘗試

1、讓初中學(xué)生利用幾何畫板學(xué)數(shù)學(xué)的一些嘗試 王松萍 計算機的出現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的運用，信息時代的來臨，正在給教育帶來深刻的變化，教育技術(shù)的更新也更新了教學(xué)手段、教學(xué)方法。全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準指出，現(xiàn)代信息技術(shù)要“致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去”。幾何畫板是一個適用于幾何教學(xué)的軟件，它給人們提供了一個觀察幾何圖形的內(nèi)在關(guān)系，探索幾何圖形奧妙的環(huán)境。它以點、線、圓為基本元素，通過對這些基本元素的變換、構(gòu)造、測量、計算、動畫、跟蹤軌跡等，構(gòu)造出其它較為復(fù)雜的圖形。幾何畫板操作簡單，容易學(xué)，被譽為二十一世紀的動態(tài)幾何。我們學(xué)校把幾何畫板作為校本課程，

2、學(xué)生進入初中后，我們利用十課時左右的時間教學(xué)生掌握幾何畫板中的簡單作圖、變換、度量等基本功能，我們讓學(xué)生自己動手做課件、設(shè)計作品，試圖利用幾何畫板幫學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讓學(xué)生更樂意學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，收到了意想不到的效果。一、用幾何畫板設(shè)計圖案，使學(xué)生更樂意投入到現(xiàn)實的數(shù)學(xué)活動中去在全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準中增加了能靈活運用軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進行圖案設(shè)計，能運用任意一個三角形、四邊形或正六邊形這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設(shè)計。并將這些內(nèi)容貫穿在七年級到八年級的三冊書中。（北師大版數(shù)學(xué)（七年級上冊）第四章平面圖形及其位置關(guān)系第八節(jié)圖案設(shè)計，數(shù)學(xué)（七年級下冊）第五章三角形第三節(jié)圖案設(shè)計，第七章生活中的軸對稱第

3、四節(jié)利用軸對稱設(shè)計圖案，數(shù)學(xué)（八年級上冊）第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)第四節(jié)簡單的圖案設(shè)計，第四章四邊形性質(zhì)探索第七節(jié)平面圖形的密鋪）圖案設(shè)計豐富了學(xué)生對現(xiàn)實空間及圖形的認識，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，并且它有很強的現(xiàn)實意義，在服裝設(shè)計、家居裝修等領(lǐng)域都要用到圖案設(shè)計。案例1：北師大數(shù)學(xué)（八年級上冊）第四章四邊形性質(zhì)探索第七節(jié)平面圖形的密鋪中的“讀一讀”：用多邊形及其組合可以拼成許多漂亮的密鋪圖案。下面的圖案是現(xiàn)實生活中大量存在的密鋪圖案的一部分。欣賞這些圖案，你能發(fā)現(xiàn)哪些多邊形或其組合可以密鋪。，你能利用幾種多邊形，通過組合進行密鋪嗎？我要求每位學(xué)生設(shè)計一個密鋪的圖案，但收到的作業(yè)質(zhì)量不是很好，只有美術(shù)

4、功底較好的學(xué)生的作品還算可以。還發(fā)現(xiàn)學(xué)生用紙筆等傳統(tǒng)工具，不是很樂意去完成圖案設(shè)計作業(yè)。于是我就想利用學(xué)生已經(jīng)會用的幾何畫板，讓他們完成圖案設(shè)計的作業(yè)，沒想到這一改，竟使學(xué)生完成的作業(yè)美不勝收，即使是數(shù)學(xué)功底不好的學(xué)生，也完成的相當出色。以下是收集的一些同學(xué)的作品。在這里，學(xué)生自由發(fā)揮，利用反射、旋轉(zhuǎn)、圖形組合及色彩搭配等各種方法，充分展示了自己對幾何圖形的闡述。如最后一個圖案，學(xué)生的靈感來自本節(jié)“隨堂練習(xí)”第2題：利用習(xí)題3.7所得的“魚”形圖案能否進行密鋪？“魚”形圖案是由正三角形剪拼得到的，用“魚”形圖案可以密鋪得到漂亮的圖案，用正三角形也一定行。下圖是它的操作步驟，在第一步畫正三角形時

5、要用到“旋轉(zhuǎn)”，從第五步以后要用到“反射”，學(xué)生們在設(shè)計中體味到了“用數(shù)學(xué)”帶來的快樂。拖動第三步圖形中的任意一個點的位置，可以改變最終的圖案（如下圖），學(xué)生也體會到利用幾何畫板進行圖案設(shè)計的快捷與便利。二、運用幾何畫板開展探究，使學(xué)生更樂意投入到探索性的數(shù)學(xué)活動中去探究性學(xué)習(xí)是區(qū)別于直接接受性學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)形式，它是指學(xué)生在好奇心的驅(qū)使下，以問題為導(dǎo)向，有高度智力投入且內(nèi)容和形式都十分豐富的學(xué)習(xí)活動。目前，信息技術(shù)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用主要還停留在教師制作課件、學(xué)生接受學(xué)習(xí)的層面上。幾何畫板給學(xué)生提供了一個探究的平臺，能夠快速的度量線段的長度和角的度數(shù)，利用圖形中點的運動，能夠更直觀的讓學(xué)生觀察

6、變化、產(chǎn)生猜想、驗證結(jié)論。用幾何畫板進行探究性學(xué)習(xí)使學(xué)生成為真正的主人，從而形成研究數(shù)學(xué)的積極態(tài)度。案例2：北師大版數(shù)學(xué)（八年級下冊）第六章A組復(fù)習(xí)題第1題：將正方形的四個頂點用線段相連，什么樣的連法最短？研究發(fā)現(xiàn)，并非對角線最短，而是如圖的連法最短（即用線段AE，DE，EF，BF，CF把四個點連接起來）。如圖已知DAE=ADE=30°，AEF=BFE=120°，你能證明此時ABEF嗎？學(xué)生對如何“研究發(fā)現(xiàn)，并非對角線最短，而是如圖的連法最短”感興趣，問我：“到底是怎么研究發(fā)現(xiàn)的？我們初中生也能通過研究發(fā)現(xiàn)嗎？”我建議學(xué)生利用幾何畫板試一試，為什么連接正方形四個頂點的線段數(shù)

7、恰好是五條時長度和最??？點E、F為什么要擺在如圖的位置？1、如果用四條線段連接，一定要過中心在正方形ABCD所在平面上取一點M，度量AM、BM、DM、CM的長度，計算它們的和，拖動M點，觀察長度和的變化情況。學(xué)生很快猜得M為AC和BD的交點時，長度和最?。ó斦叫芜呴L為3cm時，長度和約為8.61cm）。這個猜測，很容易用“三角形兩邊之和大于第三邊”加以證明(證明過程略)。度量課本中圖形中的線段和（當正方形邊長為3cm時，長度和約為8.32cm）的情況，學(xué)生發(fā)現(xiàn)確實用五條線段連接比用四條要好。用六條線段呢？2、六條線段的情況可以轉(zhuǎn)化為五條線段通過多次嘗試，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，移動圖中的Q點，只引起兩條線

8、段長度PQ、QC的改變（移動O點或P點都會引起三條線段長度的改變），比較容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。當O、P不動時，通過拖動點Q，發(fā)現(xiàn)當P、Q、C三點共線時，長度和最小，這個結(jié)論也可以用“三角形兩邊之和大于第三邊”加以證明，從而發(fā)現(xiàn)，用六條線段連接的情況可以轉(zhuǎn)化為五條線段連接的情況。當用七條以上的線段連接正方形的頂點時，情況多種多樣，非常復(fù)雜。在學(xué)生們嘗試的幾種情況中，都能夠用固定一些點，變動一個點的方法，化曲為直，變?yōu)榫€段數(shù)較小的情況。本人認為，該問題的徹底解決，需要用到圖論的知識，這是我的初中學(xué)生力所不能及的。學(xué)生們在電腦上對各種情形進行嘗試后，雖然沒有列舉出所有的情況，但已經(jīng)確信用五條線段連接的情況比

9、用六條以上的線段連接要好（指的是連接正方形四個頂點的線段總長度的最小值最?。?。下面只要研究用五條線段連接的情況。3、結(jié)論是可以猜到的在五條線段連接正方形的四個頂點的情況中，學(xué)生們一時找不到觀察的方向，是問題中的“如圖已知DAE=ADE=30°，AEF=BFE=120°”給了他們靈感，要從角度方面觀察，從而想到度量角度。如圖（1），F(xiàn)點不動，拖動點E，通過多次嘗試，學(xué)生發(fā)現(xiàn)當AEF=DEF=AED時，線段和較?。ㄈ鐖D（2）。如圖（3），E點不動，拖動點F，發(fā)現(xiàn)當BFE=CFE=CFB時，線段和較小（如圖（4）。重復(fù)以上兩個步驟，經(jīng)過若干次的逐步調(diào)整，AEF、DEF、DEF、B

10、FE、CFE、CFB大致都是120°，此時線段和不再變?。ㄟ@與計算機的計算精度有關(guān)）。圖（2）中的點E就是ADF的費爾馬點，但學(xué)生不知道這個結(jié)論。事后我表揚了學(xué)生，“你們利用幾何畫板發(fā)現(xiàn)了法國大數(shù)學(xué)家費爾馬發(fā)現(xiàn)的結(jié)論費爾馬點到三角形三個頂點距離和最小”。學(xué)生們限于知識，還不能證明自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，但通過在幾何畫板上的數(shù)學(xué)實驗，學(xué)生們不再對課本上的說法“研究發(fā)現(xiàn)，并非對角線最短，而是如圖的連法最短”感到奇怪，而是深深體會到：“我也可以研究發(fā)現(xiàn)”。學(xué)生的探究活動也不是完美無缺的，學(xué)生們遺漏了用三條線段連接正方形的四個頂點的情況，最終學(xué)生也沒有給出一個完整的證明。但重要的是通過探究式活動培養(yǎng)了學(xué)生研究數(shù)學(xué)的自覺性和自信心，有些學(xué)生又對“用線段連接正三角形的三個頂點，連接正五邊形的五個頂點，什么時候線段的長度和最小”開展了探究。在這個內(nèi)容的備課中教師考慮的不是講什么、怎樣講，而是如何創(chuàng)設(shè)探究情境，如何組織學(xué)生進行協(xié)作學(xué)習(xí)和交流。一開始我就提醒學(xué)生從連接四點的線段數(shù)分類討論，讓學(xué)生明確了探究方向，降低了探究難度，也是探究活動能夠順利進行的關(guān)鍵。要使學(xué)生