工程測試-第2章 信號的描述與分析

1、第第2章章 信號的描述與分析信號的描述與分析2.1 2.1 概述概述2.2 2.2 信號的時域統(tǒng)計分析信號的時域統(tǒng)計分析2.3 2.3 信號的相關分析信號的相關分析2.4 2.4 信號的頻譜信號的頻譜2.5 2.5 模擬信號的數字化分析模擬信號的數字化分析2.6 Matlab2.6 Matlab在信號描述與分析中的應用在信號描述與分析中的應用2.1.1 信號的分類信號的分類從不同角度觀察信號，可以將其分為：從不同角度觀察信號，可以將其分為： 1 從信號描述上分從信號描述上分-確定性信號與非確定性信號；確定性信號與非確定性信號；2 從信號的幅值和能量上從信號的幅值和能量上-能量信號與功率信號；能

2、量信號與功率信號；3 從分析域上從分析域上-時限信號和頻限信號；時限信號和頻限信號；4 從連續(xù)性從連續(xù)性-連續(xù)時間信號與離散時間信號；連續(xù)時間信號與離散時間信號；5 從可實現(xiàn)性從可實現(xiàn)性 -物理可實現(xiàn)信號與物理不可實現(xiàn)信號物理可實現(xiàn)信號與物理不可實現(xiàn)信號。第第2章章 信號的描述與分析信號的描述與分析2.1 概述概述2.1.1 信號的分類信號的分類1. 確定性信號與隨機信號（非確定性信號）確定性信號與隨機信號（非確定性信號） 可以用明確數學關系式描述的信號稱為確定性信號。不能可以用明確數學關系式描述的信號稱為確定性信號。不能用數學關系式描述的信號稱為非確定性信號用數學關系式描述的信號稱為非確定性

3、信號(隨機信號隨機信號) 。1 確定性信號與隨機信號確定性信號與隨機信號 信號波形：信號波形：被測信號信號幅度隨時間的變化歷程稱為被測信號信號幅度隨時間的變化歷程稱為信號的波形。信號的波形。 信號的分類主要是依據信號波形特征來劃分的，在介信號的分類主要是依據信號波形特征來劃分的，在介紹信號分類前，先建立信號波形的概念。紹信號分類前，先建立信號波形的概念。振動弦振動弦(聲源聲源)聲級計聲級計記錄儀記錄儀0At信號波形圖：用被測物理量的強度作為縱坐標，用時間做橫坐標，信號波形圖：用被測物理量的強度作為縱坐標，用時間做橫坐標，記錄被測物理量隨時間的變化情況。記錄被測物理量隨時間的變化情況。1). 周

4、期信號周期信號 經過一定時間可以重復出現(xiàn)的信號經過一定時間可以重復出現(xiàn)的信號, 即有即有 x ( t ) = x ( t + nT )簡單周期信號簡單周期信號復雜周期信號復雜周期信號1 確定性信號與隨機信號確定性信號與隨機信號簡諧周期信號：簡諧周期信號：( )sin()x tAt復合周期信號：復合周期信號：( )sin3cosx ttt2). 非周期信號非周期信號 不會重復出現(xiàn)的信號不會重復出現(xiàn)的信號。 準周期信號準周期信號準周期信號準周期信號:由多個周期信號合成，但各周期信號的頻率不成由多個周期信號合成，但各周期信號的頻率不成公倍數，其合成信號不是周期信號。如：公倍數，其合成信號不是周期信號

5、。如：x(t) = sin(t)+sin(2.t)瞬態(tài)信號瞬態(tài)信號瞬態(tài)信號瞬態(tài)信號:持續(xù)時間有限的信號，如持續(xù)時間有限的信號，如 x(t)= e-Bt . Asin(2*pi*f*t)1 確定性信號與非確定性信號確定性信號與非確定性信號3). 隨機信號隨機信號(非確定性信號非確定性信號) 1 確定性信號與隨機信號確定性信號與隨機信號 不能用數學式描述，其幅值、相位變化不可不能用數學式描述，其幅值、相位變化不可預知，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機過程。預知，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機過程。 噪聲信號噪聲信號(平穩(wěn)平穩(wěn))噪聲信號噪聲信號(非平穩(wěn)非平穩(wěn))統(tǒng)計特性變異統(tǒng)計特性變異3) 3) 隨機信號隨機信號樣

6、本函數樣本函數 ：隨機信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄隨機信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄( )ix t隨機過程隨機過程 ：全部樣本函數的集合全部樣本函數的集合)(tx12( )( ),( ),( ),ix txtxtxt1111( )lim( )NxiNitx tN101lim( )dTxTx ttT集合平均：集合平均：時間平均：時間平均：集合平均和時間平均集合平均和時間平均111121( )( ),( ),( )nx txtxtxt=221222( )( ),( ),( )nx txtxtxt=12( )( ),( ),( )iiiinx txtxtxt=時間平均時間平均集合平

7、均集合平均平穩(wěn)隨機過程：平穩(wěn)隨機過程：是指其統(tǒng)計特征參數不隨時間而變化的隨機是指其統(tǒng)計特征參數不隨時間而變化的隨機過程，否則為非平穩(wěn)隨機過程。過程，否則為非平穩(wěn)隨機過程。 各態(tài)歷經（遍歷）隨機過程：各態(tài)歷經（遍歷）隨機過程：在平穩(wěn)隨機過程中，若任一單個在平穩(wěn)隨機過程中，若任一單個樣本函數的時間平均統(tǒng)計特征等于該過程的集合平均統(tǒng)計特征樣本函數的時間平均統(tǒng)計特征等于該過程的集合平均統(tǒng)計特征 噪聲信號噪聲信號(平穩(wěn)平穩(wěn))噪聲信號噪聲信號(非平穩(wěn)非平穩(wěn))統(tǒng)計特性變異統(tǒng)計特性變異2.1.1 信號的分類信號的分類2 能量信號與功率信號能量信號與功率信號 1). 能量信號能量信號 在所分析的區(qū)間（在所分析的

8、區(qū)間（-，），能量），能量J為有限值的信號為有限值的信號稱為能量信號，滿足條件：稱為能量信號，滿足條件： 一般持續(xù)時間有限的瞬態(tài)信號是能量信號。一般持續(xù)時間有限的瞬態(tài)信號是能量信號。2J( )xt dt 瞬態(tài)信號瞬態(tài)信號2). 功率信號功率信號 在所分析的區(qū)間（在所分析的區(qū)間（-，），能量），能量J不是有限值此時，不是有限值此時，研究信號的平均功率研究信號的平均功率P更為合適。更為合適。 一般持續(xù)時間無限的信號都屬于功率信號。一般持續(xù)時間無限的信號都屬于功率信號。212TPlim( )TTTx t dt 復雜周期信號復雜周期信號噪聲信號噪聲信號(平穩(wěn)平穩(wěn))2 能量信號與功率信號能量信號與功率信

9、號 J2.1.1 信號的分類信號的分類 3. 時限與頻限信號時限與頻限信號 1). 時域有限信號時域有限信號 在時間段在時間段 (t1，t2)內有定義，其外恒等于零內有定義，其外恒等于零 2). 頻域有限信號頻域有限信號 在頻率區(qū)間在頻率區(qū)間(f1，f2 )內有定義，其外恒等于零內有定義，其外恒等于零 三角脈沖信號三角脈沖信號正弦波幅值譜正弦波幅值譜4. 連續(xù)時間信號與離散時間信號連續(xù)時間信號與離散時間信號 1). 連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號:在所有時間點上有定義在所有時間點上有定義 2). 離散時間信號離散時間信號:在若干時間點上有定義在若干時間點上有定義幅值連續(xù)幅值連續(xù)幅值不連續(xù)幅值不連續(xù)采

10、樣信號采樣信號2.1.1 信號的分類信號的分類模擬信號連續(xù)信號量化信號信號采樣信號離散信號數字信號連續(xù)信號和離散信號連續(xù)信號和離散信號 5. 物理可實現(xiàn)信號與物理不可實現(xiàn)信號物理可實現(xiàn)信號與物理不可實現(xiàn)信號1).物理可實現(xiàn)信號物理可實現(xiàn)信號：又稱為單邊信號，滿足條件：又稱為單邊信號，滿足條件：t0時，時，x(t) = 0，即在時刻小于零的一側全為零。，即在時刻小于零的一側全為零。2). 物理不可實現(xiàn)信號物理不可實現(xiàn)信號：在事件發(fā)生前：在事件發(fā)生前(t0)就預制知信號。就預制知信號。2.1.1 信號的分類信號的分類 6.6.實信號和復信號實信號和復信號實信號：實信號：其在各時刻的函數值均為實數。

11、物理可實現(xiàn)的信號其在各時刻的函數值均為實數。物理可實現(xiàn)的信號都是時間的實數。都是時間的實數。復信號：復信號：由復數表達由復數表達jzxyj(cosjsin )zrre曲線位于復平面曲線位于復平面2.1.1 信號的分類信號的分類 2.1.2 信號的時域描述和頻域描述信號的時域描述和頻域描述2.1 概述概述 1. 信號的時域描述：信號的時域描述：以時間為獨立變量，反映信號以時間為獨立變量，反映信號幅值隨時間變化的關系。幅值隨時間變化的關系。圖圖1-4所示周期方波的時域表達式為所示周期方波的時域表達式為000( )()02( )02x tx tnTTAtx tTAt 0000141411( )sin

12、(21)sinsin3sin52135nAAx tnttttn0021,2,3, ;nT式中，2.1.2 信號的時域描述和頻域描述信號的時域描述和頻域描述2. 信號的頻域描述：信號的頻域描述：以頻率為獨立變量，反映信號以頻率為獨立變量，反映信號各頻率成分的幅值、相位與頻率之間的關系。各頻率成分的幅值、相位與頻率之間的關系。0141( )sin21nAx tntn幅頻譜幅頻譜相頻譜相頻譜2.1.2 信號的時域描述和頻域描述信號的時域描述和頻域描述3. 注意注意 (1)時域描述時域描述反映出信號瞬時值隨時間變化的情況；反映出信號瞬時值隨時間變化的情況； 頻域描述頻域描述反映信號的頻率組成及其幅值、

13、相角之大小。反映信號的頻率組成及其幅值、相角之大小。(2) 根據不同的需要，采用不同的描述方式根據不同的需要，采用不同的描述方式 如評定機器強度如評定機器強度時域描述，均方根值時域描述，均方根值 尋找振源尋找振源 頻域描述，振動信號的頻率分量頻域描述，振動信號的頻率分量(3) 頻率中每個信號都需同時用幅頻譜和相頻譜來描述。頻率中每個信號都需同時用幅頻譜和相頻譜來描述。 (對比表對比表1-1中兩個周期方波中兩個周期方波)(4) 兩種描述方法能相互轉換，而且包含同樣的信息量兩種描述方法能相互轉換，而且包含同樣的信息量。01lim( )dTxTx ttT1.均值均值：T樣本觀測時間。樣本觀測時間。均

14、值表示信號的均值表示信號的常值分量。常值分量。0Atx2.方差方差T樣本觀測時間。樣本觀測時間。方差表示信號的方差表示信號的波動分量波動分量 ，反映信號圍繞均值的波動程度反映信號圍繞均值的波動程度2201lim ( ) dTxxTx ttT噪聲信號噪聲信號(平穩(wěn)平穩(wěn))xs標準偏差3.均方值均方值T樣本觀測時間。樣本觀測時間。均方值表示信號的均方值表示信號的強度強度 2201lim( ) dTxTx ttT2rms01lim( ) dTTxx ttT均方根值，表示信號的功率均方根值，表示信號的功率 222xxx2x描述了信號的波動大小，描述了信號的波動大小，對應電信號中對應電信號中交流成分交流成

15、分的的功率功率；2x描述了信號的常值分量，描述了信號的常值分量，對應電信號中對應電信號中直流成分直流成分的的功率功率。02202201( )d1 ( ) d1( )dTxTxxTxx ttTx ttTx ttT 有限長的樣本記錄有限長的樣本記錄 代替代替 無限長的樣本函數：無限長的樣本函數：得到均值、方差、均方值的得到均值、方差、均方值的估計值估計值 02202201( )d1 ( ) d1( )dTxTxxTxx ttTx ttTx ttT 周期信號：周期信號： 1. 相關系數相關系數2. 自相關函數自相關函數3. 互相關函數互相關函數2.3 相關分析及其應用相關分析及其應用第第2章章 信號

16、的描述與分析信號的描述與分析相關：相關： 描述兩個信號（或一個信號不同時刻）取值描述兩個信號（或一個信號不同時刻）取值之間的線性關系或相似程度。之間的線性關系或相似程度。4. 相關函數的估計值相關函數的估計值2.3 相關分析及其應用相關分析及其應用 ()()xyxyxyE xy 1.相關系數相關系數描述描述x、y兩變量之間的相關程度的系數兩變量之間的相關程度的系數 2222xxyyxyxxyyExE xxE yx yExEy數學期望；隨機變量 的均值，隨機變量 的均值，隨機變量的標準差，根據柯西根據柯西-許瓦茲不等式，有許瓦茲不等式，有222xyxyExyExEy1xyxy的正負號表示一變量隨

17、另一變量的增加或減??；的正負號表示一變量隨另一變量的增加或減??； 越接近越接近1，相關性越大相關性越大越接近越接近0，相關性越小相關性越小1 相關系數相關系數xy1xyxy1xyxy10 xyxy0 xy2.自相關函數自相關函數1) 自相關函數的定義自相關函數的定義是某各態(tài)歷經隨機過程是某各態(tài)歷經隨機過程的一個樣本記錄的一個樣本記錄 tx x t TTxdttxtxTR01lim是是 x(t) 時移時移 后的樣本后的樣本 對各態(tài)歷經隨機信號及功率信號對各態(tài)歷經隨機信號及功率信號定義自相關函數定義自相關函數 為為 xR于是有于是有 202221lim( )TxTxxxxxx t x tdtTRt

18、x x t 、具有相同的均值和標準差具有相同的均值和標準差( )()()( )()( ( )( ()x tx txx tx tx tE x tx t 自相關系數自相關系數()xx tx 簡寫為2) 自相關函數具自相關函數具有的性質有的性質 xxR、均均 隨隨 而變化，且兩者成線性關系。而變化，且兩者成線性關系。物理意義物理意義：描述信號的現(xiàn)在值與過去值或將來值之間的關系。：描述信號的現(xiàn)在值與過去值或將來值之間的關系。 (1) 2222xxxxxR(2) 2(0)max( )xxxRR 22xxxxR 2)自相關函數具有的性質自相關函數具有的性質(4) 偶函數偶函數 ()( )xxRR 22xx

19、xxR 2( )0( )xxxR (3) 對隨機信號對隨機信號 ( )sin()x tAt0020021( )lim( ) ()d1 sin()sin ()dcos2TxTTRx t x ttTAtttTA2)自相關函數具有的性質自相關函數具有的性質(5) 周期函數的自相關函數仍為同頻率的周期函數。周期函數的自相關函數仍為同頻率的周期函數。 保留了幅值信息，丟失了相位信息。保留了幅值信息，丟失了相位信息。 2.自相關函數自相關函數3)3)自相關函數的工程應用自相關函數的工程應用 區(qū)別信號類型區(qū)別信號類型 工程中常會遇到各種不同類別的信號，這些信號的類型工程中常會遇到各種不同類別的信號，這些信號

20、的類型從其時域波形往往難以辨別，利用自相關函數則可以十分容從其時域波形往往難以辨別，利用自相關函數則可以十分容易地加以識別易地加以識別 。正弦波正弦波正弦波正弦波+隨機噪聲隨機噪聲正弦波的自相關函數正弦波的自相關函數 窄帶隨機噪聲窄帶隨機噪聲 寬帶隨機噪聲寬帶隨機噪聲 寬帶隨機噪聲寬帶隨機噪聲 窄帶隨機噪聲窄帶隨機噪聲正弦波的自相關函數正弦波的自相關函數正弦波加隨機噪聲的自相關函數正弦波加隨機噪聲的自相關函數窄帶隨機噪聲寬帶隨機噪聲3)3)自相關函數的工程應用自相關函數的工程應用 檢測混雜在隨機信號中的周期成分檢測混雜在隨機信號中的周期成分。正常機床噪聲的自相關函數正常機床噪聲的自相關函數 異

21、常機床噪聲的自相關函數異常機床噪聲的自相關函數 異常機床噪聲的自相關函數將出現(xiàn)規(guī)則、周期性的信號，其異常機床噪聲的自相關函數將出現(xiàn)規(guī)則、周期性的信號，其幅值比正常噪聲的幅值要大。通過將變速箱中各軸的轉速與自相幅值比正常噪聲的幅值要大。通過將變速箱中各軸的轉速與自相關函數波動的周期相比較，可確定缺陷軸的位置關函數波動的周期相比較，可確定缺陷軸的位置 。關于某一機械加工表關于某一機械加工表面粗糙度的波形面粗糙度的波形。3)3)自相關函數的工程應用自相關函數的工程應用 檢測混雜在隨機信號中的周期成分檢測混雜在隨機信號中的周期成分。 自相關函數圖呈現(xiàn)周自相關函數圖呈現(xiàn)周期性，表明造成表面粗期性，表明造

22、成表面粗糙度的原因中包含有某糙度的原因中包含有某種周期因素種周期因素。 并可找出該周期因素并可找出該周期因素的頻率的頻率 3. 互相關函數互相關函數1) 互相關函數的定義互相關函數的定義 01limTxyTRx t y tdtT兩個各態(tài)歷經過程的隨機信號兩個各態(tài)歷經過程的隨機信號x(t)和和y (t)的互的互相關函數相關函數 定義為定義為 xyR互相關系數互相關系數( )( )xyxyxyxyR 物理意義：物理意義：描述信號描述信號x(t)與信號與信號y(t)之間的相似程度之間的相似程度。2）性質）性質(1)( )xyxyxyxyxyR (2)0max( )()xyxyRR0( )( )y t

23、x t為相對的滯后時間 xyRyxyxyxyxyx0t02) 性質性質( )0 ,( )xyxyxyR (4) 可正可負的以可正可負的以 為自變量的非偶實值函數為自變量的非偶實值函數； xyRyxyxyxyxyx0t0(3)隨機信號隨機信號例題例題5-2 設有兩個周期信號設有兩個周期信號x(t)和和y (t) tytytxtxsinsin00 的相位差與時刻的相位角；相對于式中tytxttx0試求其互相關函數試求其互相關函數 xyR(5) 同頻相關，不同頻不相關。同頻相關，不同頻不相關。2）性質）性質解：解： 因為函數是周期信號，可以用一個共同周期內的平均因為函數是周期信號，可以用一個共同周期

24、內的平均值代替其整個歷程的平均值，故值代替其整個歷程的平均值，故 0000001lim1sinsin1cos2TxyTTRx t y tdtTxttdtTx y 此例可知，兩個同頻率的信號，其互相關函此例可知，兩個同頻率的信號，其互相關函數保留了圓頻率、幅值、及相位差值信息數保留了圓頻率、幅值、及相位差值信息同頻相關同頻相關例例5-3 若兩個周期信號的圓頻率不等若兩個周期信號的圓頻率不等試求其互相關函數試求其互相關函數 tytytxtx2010sinsin解：因為兩信號不具有共同的周期，所以有解：因為兩信號不具有共同的周期，所以有 TTTTxydtttyxTdttytxTR0210000sin

25、sin1lim1lim根據正余弦函數的正交性，可知根據正余弦函數的正交性，可知 0 xyR不同頻不相關不同頻不相關廣東工業(yè)大學機電工程學院廣東工業(yè)大學機電工程學院案例案例1：地下輸油管道漏損位置的探測地下輸油管道漏損位置的探測 3) 互相關分析的應用互相關分析的應用3 互相相關函數互相相關函數 (1)測試系統(tǒng)的滯后時間；測試系統(tǒng)的滯后時間；(2) 相關濾波：應用相關分析來濾除信號中的噪聲干擾、提相關濾波：應用相關分析來濾除信號中的噪聲干擾、提取有用信息的處理方法。取有用信息的處理方法。(3)信號源的確定。信號源的確定。/2Sv廣東工業(yè)大學機電工程學院廣東工業(yè)大學機電工程學院3) 互相關分析的應

26、用互相關分析的應用(4) 互相關測速互相關測速/dd案例案例1：鋼帶速度非接觸測量：鋼帶速度非接觸測量廣東工業(yè)大學機電工程學院廣東工業(yè)大學機電工程學院案例案例2：互相關測速：互相關測速互相關分析的應用互相關分析的應用/dvSS互相互相關分關分析儀析儀汽車速度的測量汽車速度的測量廣東工業(yè)大學機電工程學院廣東工業(yè)大學機電工程學院能量信號的相關函數能量信號的相關函數( )( ) ()dxRx t x tt( )( ) ()dxyRx t y tt 01lim0TxTRx t x tdtT4. 相關函數估計相關函數估計01( )( ) ()TxRx t x tdtT01( )( ) ()TxyRx t

27、 y tdtT實際上只能在有限的觀察時間實際上只能在有限的觀察時間T內內 TTxydttytxR0lim TTxdttxtxTR01lim 2.1.2 信號的時域描述和頻域描述信號的時域描述和頻域描述2.1 概述概述 1. 信號的時域描述：信號的時域描述：以時間為獨立變量，反映信號以時間為獨立變量，反映信號幅值隨時間變化的關系。幅值隨時間變化的關系。圖圖1-4所示周期方波的時域表達式為所示周期方波的時域表達式為000( )()02( )02x tx tnTTAtx tTAt 0000141411( )sin(21)sinsin3sin52135nAAx tnttttn0021,2,3, ;nT

28、式中，2.1.2 信號的時域描述和頻域描述信號的時域描述和頻域描述2. 信號的頻域描述：信號的頻域描述：以頻率為獨立變量，反映信號以頻率為獨立變量，反映信號各頻率成分的幅值、相位與頻率之間的關系。各頻率成分的幅值、相位與頻率之間的關系。0141( )sin21nAx tntn幅頻譜幅頻譜相頻譜相頻譜 1. 周期信號傅里葉級數的三角函數形式與單邊頻譜周期信號傅里葉級數的三角函數形式與單邊頻譜2.4 信號的頻譜信號的頻譜2.4.1 周期信號的頻譜周期信號的頻譜1)滿足狄里赫利條件的周期信號滿足狄里赫利條件的周期信號x(t)的傅里葉級數的三角函的傅里葉級數的三角函數展開式數展開式/20/2/20/2

29、/20/21( )2( )cos2( )sinTTTnTTnTax t dtTax tntdtTbx tntdtTww-=0001( )(cossin)nnnx taan t bn tww=+,.)3 , , 2 , 1( n狄里赫利條件狄里赫利條件 傅里葉在提出傅里葉級數時堅持認為，任何一個周期信號傅里葉在提出傅里葉級數時堅持認為，任何一個周期信號都可以展開成傅里葉級數，雖然這個結論在當時引起許多爭議，都可以展開成傅里葉級數，雖然這個結論在當時引起許多爭議，但持異議者卻不能給出有力的不同論據。直到但持異議者卻不能給出有力的不同論據。直到20年后年后(1829年年)狄狄里赫利才對這個問題作出了

30、令人信服的回答，狄里赫利認為，里赫利才對這個問題作出了令人信服的回答，狄里赫利認為，只有在滿足一定條件時，周期信號才能展開成傅里葉級數。只有在滿足一定條件時，周期信號才能展開成傅里葉級數。這這個條件被稱為個條件被稱為狄里赫利條件狄里赫利條件，其內容為，其內容為: 在一個周期內，周期信號在一個周期內，周期信號 x(t) 必須絕對可積；必須絕對可積； 在一個周期內，周期信號在一個周期內，周期信號 x(t) 只能有有限個極大值只能有有限個極大值 和極小值；和極小值； 在一個周期內，周期信號在一個周期內，周期信號 x(t) 只能有有限個不連續(xù)只能有有限個不連續(xù)點，而且，在這些不連點上，點，而且，在這些

31、不連點上， x(t) 的函數值必須是有的函數值必須是有限值。限值。1.1.周期信號傅里葉級數的三角函數形式與單邊頻譜周期信號傅里葉級數的三角函數形式與單邊頻譜 狄里赫利條件狄里赫利條件 - - 在一周期內，函數是絕對可積的，即在一周期內，函數是絕對可積的，即 應為有限值；應為有限值； 在一周期內，函數的極值數目為有限；在一周期內，函數的極值數目為有限； 在一周期內，函數在一周期內，函數f(t)或者或者為連續(xù)的，或者具有有限為連續(xù)的，或者具有有限個這樣的間斷點，即當個這樣的間斷點，即當t從較大的時間值和較小的時從較大的時間值和較小的時間值分別趨向間斷點時，函數具有兩個不同的有限的間值分別趨向間斷

32、點時，函數具有兩個不同的有限的函數值。函數值。 測試技術中的周期信號，大都滿足該條件。測試技術中的周期信號，大都滿足該條件。 dttfTtt|11lim()lim()f tf t1.1.周期信號傅里葉級數的三角函數形式與單邊頻譜周期信號傅里葉級數的三角函數形式與單邊頻譜2) 周期信號的單邊頻譜周期信號的單邊頻譜001( )cos()nnnx taAn twj=+,.)3 , , 2 , 1( n 周期信號是由一個或幾個、乃至無窮多個不同頻率的諧波周期信號是由一個或幾個、乃至無窮多個不同頻率的諧波疊加而成的。疊加而成的。 0001( )(cossin)nnnx taan t bn tww=+22

33、arctannnnnnnAababj=+= - 0 基頻基頻直流分量直流分量第第n次諧波次諧波101cos()Atwj+基波基波0nn=第第n次諧波的頻率次諧波的頻率1.1.周期信號傅里葉級數的三角函數形式與單邊頻譜周期信號傅里葉級數的三角函數形式與單邊頻譜 1.1.周期信號傅立葉級數的三角函數形式周期信號傅立葉級數的三角函數形式001( )cos()2nnnax tAnt22nnnbaAcosnnnaAsinnnnbA arctannnnba 1.1.周期信號傅立葉級數的三角函數形式周期信號傅立葉級數的三角函數形式001( )cos()2nnnax tAnt01012020( )cos()c

34、os(2).cos()2nnax tAtAtAnt基波分量基波分量 二次諧波二次諧波 n次諧波次諧波直流分量直流分量 2) 周期信號的周期信號的單邊頻譜單邊頻譜001( )cos()nnnx taAn twj=+,.)3 , , 2 , 1( n(1) 幅頻譜：幅頻譜：nnA nnj橫坐標橫坐標：n縱坐標縱坐標：nA(2)相頻譜：相頻譜：橫坐標橫坐標：n縱坐標縱坐標：nj1.1.周期信號傅里葉級數的三角函數形式與單邊頻譜周期信號傅里葉級數的三角函數形式與單邊頻譜 ,02( ), 02TAtx tTAt2022( )d0TTax ttT2022( )cosd0TnTax tnt tT202020

35、0202( )sind22 sindsind4, 1,3,5,2 (1 cos ) 0, 2,4,6,TnTTTbx tnt tTAnt tAnt tTTAnAnnnn求圖求圖2.122.12中周期方波的傅立葉級數及頻譜中周期方波的傅立葉級數及頻譜2) 周期信號的單邊頻譜周期信號的單邊頻譜 =224, 1,3,5, 0, 2,4,6,nnnAnAabnnarctan2nnnba 000000444( )cos()cos()cos()23252411 (sinsin3sin5)35AAAx ttttAttt求圖求圖2.122.12中周期方波的傅立葉級數及頻譜中周期方波的傅立葉級數及頻譜 求圖求圖

36、2.122.12中周期方波的傅立葉級數及頻譜中周期方波的傅立葉級數及頻譜000000444( )cos()cos()cos()23252411 (sinsin3sin5)35AAAx ttttAttt幅頻譜幅頻譜相頻譜相頻譜 000411( )(sinsin3sin5)35Ax tttt 2.2.周期信號傅立葉級數復指數形式與雙邊頻譜周期信號傅立葉級數復指數形式與雙邊頻譜0j00ecosjsinntntnt00jj0000011cos(cossin)(cossin)(ee)22ntntntntjntntjnt00jj00000jsin(cossin)(cossin)(ee)22ntntjntn

37、tjntntjnt00jj01jj( )ee222ntntnnnnnaababx t0001( )(cossin)2nnnax tantbnt歐拉公式歐拉公式 0j()2nnabX n0j()2nnabXn00jj0001( )()e()e2ntntnax tX nXn0(0)2Xa00jj0011()e()entntnnXnX n0j0( )()entnx tX n02j021()( )edTntTX nx ttT2.2.周期信號傅立葉級數復指數形式與雙邊頻譜周期信號傅立葉級數復指數形式與雙邊頻譜 2000()()Im()X nX nX n2Re00Im()arctan()nX nX nRe

38、2.2.周期信號傅立葉級數復指數形式與雙邊頻譜周期信號傅立葉級數復指數形式與雙邊頻譜02j021()( )edTntTX nx ttTj00()() enX nX n0, 1, 2, 3,n 0, 1, 2, 3,n 雙邊頻譜雙邊頻譜00()()X nXnnn 00Im()Re()X nX n實頻譜虛頻譜 2.2.周期信號傅立葉級數復指數形式周期信號傅立葉級數復指數形式,02( ), 02TAtx tTAt00002j0202jj202j0001()( )ed1 ()ed2ed2 (cos1)j22j, 1, 3, 5, j(1 cos ) 0, TntTTntntTTntX nx ttTA

39、edtAtTAtTATnnTAnAnnnn 0, 2, 4, 6,例例2.42.4求例求例2.32.3中周期方波的復指數形式的傅立葉級數和頻譜中周期方波的復指數形式的傅立葉級數和頻譜 0j0( )()entnx tX n0000-jj-j3j3j2j2j2j2( )eeee33ttttAAAAx t02, 1, 3, 5,() 0, 0, 2, 4, 6,AnX nnn , 1,3,5,2Im( )arctan , 1, 3, 5,Re ( )2 0, nnXnX 其他例例2.42.4求例求例2.32.3中周期方波的復指數形式的傅立葉級數和頻譜中周期方波的復指數形式的傅立葉級數和頻譜 2.2.

40、周期信號傅立葉級數復指數形式周期信號傅立葉級數復指數形式例例2.42.4求例求例2.32.3中周期方波的復指數形式的傅立葉級數和頻譜中周期方波的復指數形式的傅立葉級數和頻譜負頻率項完全是數學計算的結果，并沒有任何物理意義？負頻率項完全是數學計算的結果，并沒有任何物理意義？ 0000jjjj0jjjsin(ee)ee222ttttt0000jjjj0111cos(ee)ee222ttttt01()j2X01()j2X 01()2X01()2X，2.2.周期信號傅立葉級數復指數形式周期信號傅立葉級數復指數形式例例2.5畫出正弦和余弦函數的實、虛部頻譜圖畫出正弦和余弦函數的實、虛部頻譜圖 3.3.周

41、期信號的頻譜特點周期信號的頻譜特點 (1)離散性離散性:是離散譜，每一條譜是離散譜，每一條譜線表示一個諧波分量線表示一個諧波分量; 譜線的高譜線的高度代表幅值和相位的大小。度代表幅值和相位的大小。(2)諧波性諧波性:譜線只出現(xiàn)在基波及譜線只出現(xiàn)在基波及各次諧波的頻率處。各次諧波的頻率處。 (3)收斂性收斂性:滿足狄里赫利條件的滿足狄里赫利條件的周期信號，其諧波幅值隨諧波周期信號，其諧波幅值隨諧波頻率的增大而減小頻率的增大而減小 。因此，工程測量中沒有必要取因此，工程測量中沒有必要取次數過高的諧波分量。次數過高的諧波分量。信號的帶寬信號的帶寬:按諧波幅值下降的程度來定義按諧波幅值下降的程度來定義

42、 1.1.周期信號傅立葉級數（復習）周期信號傅立葉級數（復習）2022( )dTTax ttT2022( )cosdTnTax tnt tT2022( )sindTnTbx tnt tT三角函數形式三角函數形式001( )cos()2nnnax tAnt22nnnbaAarctannnnba 復指形式復指形式0j0( )()entnx tX n02200022222000022222j1 22()( )cosd( )sind 22111( )cosd( )sind( )(cossin)d1( )dTTnnTTTTTTTTTjntTabjX nx tnt tx tnt tTTx tnt tjx

43、tnt tx tntjnttTTTx t etT2000()()Im()X nX nX n2Re00Im()arctan()nX nX nRe 1.1.周期信號傅立葉級數（復習）周期信號傅立葉級數（復習）三角函數形式三角函數形式001( )cos()2nnnax tAnt復指形式復指形式0j0( )()entnx tX n01012020( )cos()cos(2).cos()2nnax tAtAtAnt00000000-j-j(1)-j2-j0000jj2j(1)j0000( )()e( (1)e.( 2)e()e(0)()e(2)e.(1)e()entntttttntntx tXnXnXX

44、XXXXnX n 1.1.周期信號傅立葉級數（復習）周期信號傅立葉級數（復習） 三角函數形式三角函數形式復指形式復指形式001( )cos()2nnnax tAnt0j0( )()entnx tX n 1.1.周期信號傅立葉級數（復習）周期信號傅立葉級數（復習） j ()( )( )( )( ) (cos ( )sin ( )( ) eXajbXjX 2.4 信號的頻譜信號的頻譜2.4.2 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜準周期信號準周期信號瞬變非周期信號瞬變非周期信號 除特別說明外，本書中提到的非周除特別說明外，本書中提到的非周期信號均指瞬變非周期信號期信號均指瞬變非周期信號 它們的頻譜是不

45、一樣的它們的頻譜是不一樣的1.準周期信號的頻譜準周期信號的頻譜離散性；離散性；(2) 收斂性：收斂性：003( )10sin()5sin( 5)44x ttt005105nA0054n34周期信號具有離散頻譜，但具有離散頻譜的不周期信號具有離散頻譜，但具有離散頻譜的不一定是周期信號。一定是周期信號。2.4.2 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜2. 瞬變非周期信號的頻譜瞬變非周期信號的頻譜周期信號的離散頻譜線的頻率間隔：周期信號的離散頻譜線的頻率間隔：02nnT非周期信號可看作是周期無限大的周期信號：非周期信號可看作是周期無限大的周期信號：則非周期信號的頻譜線的頻率間隔為則非周期信號的頻譜線的頻

46、率間隔為T lim2/0TnT所以所以瞬變非周期信號頻譜線是連續(xù)的瞬變非周期信號頻譜線是連續(xù)的非周期信號的頻域分析手段是非周期信號的頻域分析手段是傅立葉變換傅立葉變換。 2.4.2 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜 1)1)傅立葉變換傅立葉變換 00()( )limlimTTX nXX nTf02j02( )edTntTX nTx tt jedtXx tt j1ed2tx tX傅立葉變換傅立葉變換 傅里葉逆變換傅里葉逆變換 非周期信號頻譜密度非周期信號頻譜密度 02j021()( )edTntTX nx ttT周期信號頻譜周期信號頻譜 j ()( )Re( )Im( )( ) eXXjXX (

47、 )X通常情況下，通常情況下，是復數，可表示為是復數，可表示為 ( )X幅值譜密度，簡稱幅頻譜；幅值譜密度，簡稱幅頻譜；( ) 相位譜密度，簡稱相頻譜。相位譜密度，簡稱相頻譜。2. 瞬變非周期信號的頻譜瞬變非周期信號的頻譜2) 非周期信號頻譜密度非周期信號頻譜密度 jedtXx ttRe( )Im( )XX實譜密度虛譜密度傅立葉逆變換式也可以表示為三角函數形式傅立葉逆變換式也可以表示為三角函數形式 jj()1ed21ed211cos( )djsin( )d22ttx tXXXtXt 01( )cos( )dx tXt 瞬變非周期信號的三角函數形式瞬變非周期信號的三角函數形式 01( )cos(

48、 )dx tXt 矩形窗函數（矩形脈沖）的頻譜矩形窗函數（矩形脈沖）的頻譜 , 20, 2Atw tt 2jj2j2j2ededeejcossincossinj2222sin22 sinsinc222ttWx ttAtAAjjAAA 矩形窗函數（矩形脈沖）的頻譜矩形窗函數（矩形脈沖）的頻譜 sinc2WA矩形窗函數的頻譜矩形窗函數的頻譜 sinc( )x波形圖波形圖 3)3)傅立葉變換的性質傅立葉變換的性質 利用傅立葉變換的性質可利用傅立葉變換的性質可以由已知變換直接求得一以由已知變換直接求得一些末知變換些末知變換 已知信號已知信號x(t)的傅氏變換為的傅氏變換為1() ()XkkF x kt

49、那么利用尺度變換性質求得那么利用尺度變換性質求得x(kt)的傅氏變換為的傅氏變換為( ) ( )XF x t 4)4)傅立葉變換的條件傅立葉變換的條件 ( )x t(,) 在在范圍內滿足狄里赫利條件范圍內滿足狄里赫利條件( )x t( )dx tt 絕對可積，即絕對可積，即滿足這些條件的信號包括滿足這些條件的信號包括能量信號能量信號，例如例如矩形脈沖函數矩形脈沖函數、單邊指數衰減信號單邊指數衰減信號等。等。 1.1.單位脈沖函數單位脈沖函數, 0( ) 0, 0d= ttt( )d1tt1）定義：）定義： 1.1.單位脈沖函數單位脈沖函數2）乘積性：）乘積性： ( ) ( )(0) ( )f

50、ttft000( ) ()( ) ()f tttf ttt 1.1.單位脈沖函數單位脈沖函數3）篩選性：）篩選性： d0 d0t x ttt xtx 0000ddttx ttttx ttx t連續(xù)信號采樣的依據連續(xù)信號采樣的依據 4）與其他函數的卷積）與其他函數的卷積 ( )* ( )( ) ()d ( ) ()d( )x ttxtxtx t 000( )* ()( ) ()d ()x tttxttx tt 1.1.單位脈沖函數單位脈沖函數 1.1.單位脈沖函數單位脈沖函數5）頻譜）頻譜 ： j0( ) ( )( )ede1tXFttt均勻譜均勻譜 2.2.正、余弦函數的傅氏變換正、余弦函數的

51、傅氏變換00jj01sinj(ee)2ttt00jj01cos(ee)2ttt0j0e2 ()t 000001sinj2()2()2j ()()Ft =+-=+-000001cos2 ()2 ()2= ()()Ft =+-+- 2.2.正、余弦函數的傅氏變換正、余弦函數的傅氏變換 3.3.周期單位脈沖序列的傅氏變換周期單位脈沖序列的傅氏變換( )()()(1) ).(2 )()( )()(2 )(1) )()TnttnTtnTtnTtTtTttTtTtnTtnT0j0( )()ektTktX k0022jj022111()( )ed( )edTTktktTTTX kttttTTT0j1( )e

52、ktTktT0002( )()()kkXkkT 00e2 ()jt 3.3.周期單位脈沖序列的傅氏變換周期單位脈沖序列的傅氏變換 4.4.常用功率信號的傅氏變換常用功率信號的傅氏變換 周期函數：周期函數：狄里赫利條件狄里赫利條件 傅立葉級數傅立葉級數 頻率、幅值、相位都是隨機的頻率、幅值、相位都是隨機的幅頻譜和相頻譜分析幅頻譜和相頻譜分析簡諧信號周期信號復合周期信號確定性信號 準周期信號非周期信號瞬變信號各態(tài)歷經信號平穩(wěn)隨機信號 隨機信號非各態(tài)歷經信號非平穩(wěn)隨機信號時域無限信號，不具備絕對可積條件時域無限信號，不具備絕對可積條件傅里葉變換傅里葉變換不是周期信號不是周期信號傅立葉級數傅立葉級數瞬

53、時信號：瞬時信號：狄里赫利條件狄里赫利條件 +絕對可積絕對可積傅立葉變換傅立葉變換 隨機信號是時域無限信號，不具備絕對可積條件，不能直隨機信號是時域無限信號，不具備絕對可積條件，不能直接進行傅里葉變換。接進行傅里葉變換。 而是用隨機信號的自相關函數來進行傅里葉變換，得到的而是用隨機信號的自相關函數來進行傅里葉變換，得到的是功率譜密度函數。是功率譜密度函數。1.1.功率譜密度函數功率譜密度函數1)1)自功率譜密度函數自功率譜密度函數j( )( )edxxSRj1( )( )ed2xxRS自功率譜密度函數與自相關函數是傅里葉變換對自功率譜密度函數與自相關函數是傅里葉變換對隨機信號的頻譜隨機信號的頻

54、譜 2011(0)lim( )( )d2TxxTRx t dtST1)1)自功率譜密度函數自功率譜密度函數01( )lim( ) ()dTxTRx t x ttTj1( )( )ed2xxRS信號的平均功率信號的平均功率 雙邊功率譜雙邊功率譜 ( )xS( )2( ), (0)( )0, (0)xxxGSG單邊功率譜單邊功率譜 ( )xG1)1)自功率譜密度函數自功率譜密度函數j( )( )edxxSR實偶函數實偶函數 隨機信號的隨機信號的自功率譜密度函數自功率譜密度函數j( )( )edxxSRj1( )( )ed2xxRS01( )lim( ) ()dTxTRx t x ttT jedtX

55、x tt j1ed2tx tX確定信號之瞬時信確定信號之瞬時信號的傅立葉變換號的傅立葉變換( )( )x tf t1)1)自功率譜密度函數自功率譜密度函數 1.1.功率譜密度函數功率譜密度函數隨機信號的互功率譜密度函數隨機信號的互功率譜密度函數單邊功率譜單邊功率譜 ( )xyGj( )( )edxyxySRj1( )( )ed2xyxyRS( )2( ), (0)( )0, (0)xyxyxyGSG01( )lim( ) ()dTxyTRx t y ttT2）互功率譜密度函數）互功率譜密度函數傅里葉變換對傅里葉變換對物理意義物理意義：描述頻率域中兩個信號相關程度：描述頻率域中兩個信號相關程度

56、2.2.自功率譜的估計自功率譜的估計巴塞伐爾定理：巴塞伐爾定理： 在時域中信號的總能量等于在頻域中信號的總能量在時域中信號的總能量等于在頻域中信號的總能量 21( )lim( )xTSXT有限時間有限時間T的樣本記錄的樣本記錄 221( )( )2( )( )xxSXTGXT數字信號數字信號 221( )( )2( )( )xxS kX kNG kX kN3. 相干函數相干函數 2.物理意義物理意義 1)定義定義222|( )|( )(0( )1)( )( )xyxyxyxySSS頻譜內鑒定兩信號相關程度的指標頻譜內鑒定兩信號相關程度的指標 0不相干不相干1 完全相干完全相干01受到干擾或受到干擾或系統(tǒng)具有非線性系統(tǒng)具有非線性 對所有頻率，對所有頻率， 2( )xy 3.3.相干函數相干函數)(tx油壓脈動信號油壓脈動信號)(ty油壓管道振動信號油壓管道振動信號 過小過大工作量會很大丟失有用信息 模擬信號模擬信號：單位脈沖序列信號：單位脈沖序列信號：采樣信號采樣信號：( )( )( )( )()sTsnx tx ttx ttnT( )() ()sssnx tx nTtnT11( ) ( )( )(