福州01-12年中考數(shù)學(xué)試題分類解析專題4：圖形的變換

1、選擇題1. （2001年福建福州4分）某校計(jì)劃在校園內(nèi)修建一座周長(zhǎng)為12米的花壇，同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)出正三角形、正方形和圓共三種圖案，其中使花壇面積最大的圖案是【】 A. 正三角形B. 正方形 C. 圓D. 不能確定【答案】C?！究键c(diǎn)】圓的認(rèn)識(shí)?！痉治觥扛鶕?jù)周長(zhǎng)分別求得正三角形，正方形，圓的面積，從而比較可得到面積最大的是什么形狀：當(dāng)設(shè)計(jì)成正三角形，則邊長(zhǎng)是4米，高是米，則面積是平方米；當(dāng)設(shè)計(jì)成正方形時(shí)，邊長(zhǎng)是3米，則面積是9平方米；當(dāng)設(shè)計(jì)成圓時(shí)，半徑是米，則面積是平方米。這三個(gè)數(shù)中最大，使花壇面積最大的圖案是圓。故選C。2. （2004年福建福州4分）下列圖形中能夠用來(lái)作平面鑲嵌的是【 】A、正八邊

2、形B、正七邊形 C、正六邊形D、正五邊形【答案】C?！究键c(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪），多邊形內(nèi)角和定理?！痉治觥繋缀螆D形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角。因此，A、正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為：180°360°÷8=135°，不能整除360°，不能密鋪；B、正七邊形每個(gè)內(nèi)角為：180°360°÷7=900÷7，不能整除360°，不能密鋪；C、正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°，能整除360°，能密鋪；D、正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是108°，不能整除36

3、0°，不能密鋪。故選C。3. （2005年福建福州大綱卷3分）如圖，小亮拿一張矩形紙圖（1），沿虛線對(duì)折一次得圖（2），下將對(duì)角兩頂點(diǎn)重合折疊得圖（3），按圖（4）沿折痕中點(diǎn)與重合頂點(diǎn)的連線剪開(kāi)，得到三個(gè)圖形，這三個(gè)圖形分別是【 】A都是等腰梯形 B都是等邊三角形C兩個(gè)直角三角形，一個(gè)等腰三角形 D兩個(gè)直角三角形，一個(gè)等腰梯形5. （2007年福建福州3分）只用下列一種正多邊形不能鑲嵌成平面圖案的是【 】A正三角形 B正方形C正五邊形D正六邊形【答案】C?！究键c(diǎn)】平面鑲嵌（密鋪），多邊形內(nèi)角和定理?！痉治觥糠謩e求出各個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再利用鑲嵌應(yīng)符合一個(gè)內(nèi)角度數(shù)能整除360

4、°即可作出判斷：A正三角形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180°÷360°，是360°的約數(shù)，能鑲嵌平面，不符合題意；B正方形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為360°÷490°，是360°的約數(shù)，能鑲嵌平面，不符合題意；C正五邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為3×180°÷5108°，不是360°的約數(shù)，不能鑲嵌平面，符合題意；D正六邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為4×180°÷6120°，是360°的約數(shù)，能鑲嵌平面，不符合題意。故選C。8. （2009年福建

5、福州4分）如圖，正五邊形FGHMN是由正五邊形ABCDE經(jīng)過(guò)位似變換得到的，若AB:FG=2:3，則下列結(jié)論正確的是【】.A2DE=3MN， B3DE=2MN， C 3A=2F D2A=3F9. （2009年福建福州4分）如圖，是以等邊三角形ABC一邊AB為半徑的四分之一圓周， P為上任意一點(diǎn)，若AC=5，則四邊形ACBP周長(zhǎng)的最大值是【】.A 15 B 20 C15+ D15+【答案】C?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，圓心角、弧、弦的關(guān)系，勾股定理?！痉治觥坑捎贏C和BC值固定，點(diǎn)P在弧AD上，而B(niǎo)是圓心，所以PB的長(zhǎng)也是定值，因此，只要AP的長(zhǎng)為最大值。當(dāng)P的運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，AP最長(zhǎng)為5。四邊形ACBP

6、周長(zhǎng)的最大值是5×3+5=15+5。故選C。10. （2010年福建福州4分）下面四個(gè)立體圖形中，主視圖是三角形的是【 】ABCD【答案】C?！究键c(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖?！痉治觥空业綇恼婵此玫降膱D形為三角形即可：A、主視圖為長(zhǎng)方形，不符合題意；B、主視圖為圓，不符合題意；C、主視圖為三角形，符合題意；D、主視圖為長(zhǎng)方形，不符合題意。故選C。12. （2011年福建福州4分）如圖，在長(zhǎng)方形格中，每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2，寬為1，A、B兩點(diǎn)在格格點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在格格點(diǎn)上，以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形面積為2，則滿足條件的點(diǎn)C個(gè)數(shù)是【 】 A、2B、3 C、4D、5【答案】C?！究键c(diǎn)】格點(diǎn)問(wèn)

7、題，三角形的面積?！痉治觥扛鶕?jù)三角形ABC的面積為2，可知三角形的底邊長(zhǎng)為4，高為1，或者底邊為2，高為2，可通過(guò)在正方形格中畫(huà)圖得出結(jié)果，C點(diǎn)所有的情況如圖所示：故選C。二、填空題1. （2002年福建福州3分）如圖：四邊形ABCD是正方形，曲線DA1B1C1D1叫做“正方形的漸開(kāi)線”，其中的圓心依次按A、B、C、D循環(huán)，它依次連接取AB1，則曲線的長(zhǎng)是 （結(jié)果保留）【答案】?！究键c(diǎn)】新定義，正方形的性質(zhì)。【分析】根據(jù)“正方形的漸開(kāi)線”的定義，分別為半徑為1，2，7，8的圓弧，因此，曲線DA1B1C2D2的長(zhǎng)是。2. （2004年福建福州3分）圖中是一幅“蘋果圖”，第一行有1個(gè)蘋果，第二行有

8、2個(gè)，第三行有4個(gè)，第四行有8個(gè)，你是否發(fā)現(xiàn)蘋果的排列規(guī)律？猜猜看，第六行有 個(gè)蘋果、第十行有 個(gè)（可用乘方形式表示）3. （2005年福建福州大綱卷4分）如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（ab），把剩下的部分拼成一個(gè)梯形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，驗(yàn)證了公式 【答案】?！究键c(diǎn)】平方差公式的幾何背景?！痉治觥孔髨D中陰影部分的面積是a2b2，右圖中梯形的面積是（2a+2b）（ab）=（a+b）（ab），根據(jù)面積相等得：。4. （2006年福建福州課標(biāo)卷4分）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為3，以直線AB為軸，將正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的主視圖（正視圖）的周長(zhǎng)是 【答案】18。

9、【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，幾何體的三視圖?！痉治觥繉⒄叫涡D(zhuǎn)一周，所得圓柱的底面半徑和高都是3，則圓柱的主視圖（正視圖）是邊長(zhǎng)為6和3的矩形。所以圓柱的主視圖（正視圖）的周長(zhǎng)是。6. （2011年福建福州4分）以數(shù)軸上的原點(diǎn)O為圓心，3為半徑的扇形中，圓心角AOB=90°，另一個(gè)扇形是以點(diǎn)P為圓心，5為半徑，圓心角CPD=60°，點(diǎn)P在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)，如圖如果兩個(gè)扇形的圓弧部分（和）相交，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是 【答案】42?！究键c(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系，勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸?！痉治觥?jī)缮刃蔚膱A弧相交，實(shí)數(shù)的取值范圍界于D、A兩點(diǎn)重合和與交于點(diǎn)B時(shí)的范圍內(nèi)。當(dāng)A、D兩點(diǎn)重合時(shí)，如圖

10、PO=PDOA=53=2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)與交于點(diǎn)B時(shí)，如圖連接PB，則由勾股定理，得PO=，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為。則實(shí)數(shù)的取值范圍是42。三、解答題1. （2004年福建福州13分）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E是DC中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且CF=1，在AEF中作正方形A1B1C1D1，使邊A1B1在AF上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)C1、D1分別在EF和AE上（1）請(qǐng)直接寫出圖中兩直角邊之比等于1：2的三個(gè)直角三角形（不另添加字母及輔助線）；（2）求AF的長(zhǎng)及正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，取出AEF，將EC1D1沿直線C1D1、C1FB1沿直線C1B1分別向正方形A1B1C1

11、D1內(nèi)折疊，求小正方形A1B1C1D1未被兩個(gè)折疊三角覆蓋的四邊形面積【答案】解：（1）RtCEF、RtADE、RtAEF、RtAA1D1、RtED1C1、RtC1B1F（寫出其中三個(gè)即可）。（2）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，CF=1，BF=3。AF= =5。過(guò)E作EMAF，垂足為M，交D1C1于N，則EM=2。四邊形A1B1C1D1是正方形，D1C1AF。D1C1EAFE。設(shè)正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為x，則。解得x=。正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為。（3）D1C1=，EN=2。，C1B1=，B1F=。如圖，1=2，1+4=90°，2+3=90°，3=4。E1點(diǎn)在C1F1

12、上。又， 。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），勾股定理，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。（3）如何說(shuō)明EC1D1沿直線C1D1、C1FB1沿直線C1B1分別向正方形A1B1C1D1內(nèi)折疊以后兩個(gè)三角形的交界處既不重疊又沒(méi)有空隙是一個(gè)難點(diǎn)，比較容易忽略，值得引起重視下面給出一種另解供參考：由E1C1D1、C1B1F1分別由EC1D1、C1FB1折疊而成，可得3=4、1=2，因?yàn)檎叫蜛1B1C1D1中有D1C1B1=90°，所以4+1=180°90°=90°，即2+3=90°=D1C1B1，從而C1E1與C1F1重合在一條直線上（或三點(diǎn)C1、E

13、1、F1在一條直線上）。2. （2005年福建福州大綱卷13分）已知，如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，BC=5cm，CD=6cm，DCB=60°，ABC=900等邊三角形MPN（N為不動(dòng)點(diǎn)）的邊長(zhǎng)為acm，邊MN和直角梯形ABCD的底邊BC都在直線l上，NC=8cm將直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得圖形，翻折二次得圖形，如此翻折下去（1）將直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此時(shí)等邊三角形的邊長(zhǎng)a2cm，這時(shí)兩圖形重疊部分的面積是多少？（2）將直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積，這時(shí)

14、等邊三角形的邊長(zhǎng)a至少應(yīng)為多少？（3）將直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積的一半，這時(shí)等邊三角形的邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？【分析】（1）因?yàn)镈CB=60°，PMN也是等邊三角形，這樣容易知道EQN也是等邊三角形，易求QN=2，所以求兩圖形重疊部分的面積就可以求出。（2）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)MN=QN+HQ+MH，其中只要求MH，利用已知解RtKHM即可。 （3）若現(xiàn)在重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積的一半，如圖首先判斷MQ的大小，梯形ABCD的面積可以直接求出；然后設(shè)MQ為x，根據(jù)已知條件可以得到關(guān)于x的方程

15、，解方程就可以得到題目的結(jié)果。3. （2006年福建福州大綱卷8分）一串有趣的圖案按一定規(guī)律排列，請(qǐng)仔細(xì)觀察，按此規(guī)律畫(huà)出的第10個(gè)圖案是 ；在前16個(gè)圖案中有 個(gè)“”；第2008個(gè)圖案是 .【答案】解：；5；?！究键c(diǎn)】探索規(guī)律題（圖形的變化類）?！痉治觥吭搱D案是循環(huán)類，3個(gè)一循環(huán)，因此， 10÷3=31，第10個(gè)圖案與第1個(gè)圖案相同，是。 16÷3=51，在前16個(gè)圖案中有5個(gè)。 2008÷3=6691，第2008個(gè)圖案與第1個(gè)圖案相同，是。4. （2006年福建福州大綱卷8分）一串有趣的圖案按一定規(guī)律排列，請(qǐng)仔細(xì)觀察，按此規(guī)5. （2007年福建福州12分）如

16、圖，直線ACBD，連接AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成、四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接PA，PB，構(gòu)成PAC，APB，PBD三個(gè)角（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0°角）（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第部分時(shí)，求證：APB=PAC+PBD；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第部分時(shí)，APB=PAC+PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在第部分時(shí)，全面探究PAC，APB，PBD之間的關(guān)系，并寫出動(dòng)點(diǎn)P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論選擇其中一種結(jié)論加以證明 選擇(a) 證明：如圖a，設(shè)BP與AC相交于點(diǎn)M， ACBD，PMC=PBD 。又PMC=P

17、AMAPM ,PBD=PACAPB?！究键c(diǎn)】平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用?！痉治觥浚?）延長(zhǎng)BP交直線AC于點(diǎn)E，由平行和三角形外角性質(zhì)可證。 （2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第部分時(shí)，延長(zhǎng)BP交直線AC于點(diǎn)F，ACBD，PFA=1800PBD。APB=PAFPFA , PAF=1800PAC，APB =1800PAC1800PBD=3600（PACPBD）。APB =PACPBD不成立。（3）分動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)、在射線BA上、在射線BA的左側(cè)三種情況討論。6. （2008年福建福州13分）如圖，已知ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)

18、動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t=2時(shí)，判斷BPQ的形狀，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作QRBA交AC于點(diǎn)R，連接PR，當(dāng)t為何值時(shí)，APRPRQ QR=RC=QC=62t。7. （2009年福建福州12分）如圖，等邊ABC邊長(zhǎng)為4，E是邊BC上動(dòng)點(diǎn)，EHAC于H，過(guò)E作EFAC，交線段AB于點(diǎn)F，在線段AC上取點(diǎn)P，使PE=EB設(shè)EC=x（0x2）（1）請(qǐng)直接寫出圖中與線段EF相等的兩條線段（不再另外添加輔助線）；（2）Q是線段

19、AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形EFPQ是平行四邊形時(shí)，求平行四邊形EFPQ的面積（用含x的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)（2）中的平行四邊形EFPQ面積最大值時(shí)，以E為圓心，r為半徑作圓，根據(jù)E與此時(shí)平行四邊形EFPQ四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，求相應(yīng)的r的取值范圍【答案】解：（1）BE、PE、BF三條線段中任選兩條。 （2）在RtCHE中，CHE90°，C60°，EC=x，EH。又PQ=EF=BE=4x，。（3），且0x2，當(dāng)x2時(shí)，有最大值。此時(shí)E、F、P分別為ABC三邊BC、AB、AC的中點(diǎn)，且點(diǎn)C、 點(diǎn)Q重合，平行四邊形EFPQ是菱形。過(guò)E點(diǎn)作EDFP于D，EDEH。當(dāng)E與四條邊交點(diǎn)的總個(gè)

20、數(shù)是2個(gè)時(shí)， ；當(dāng)E與四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是4個(gè)時(shí)，r； 當(dāng)E與四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是6個(gè)時(shí)，；當(dāng)E與四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是3個(gè)時(shí)，r2時(shí)；當(dāng)E與四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是0個(gè)時(shí)，r2時(shí)?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，平行的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)最值，菱形的判定和性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，分類思想的應(yīng)用?！痉治觥浚?）由已知和平行和等邊三角形的性質(zhì)，知BE=PE=BF，三條線段中任選兩條即可。 （2）用x表示出EH和EF的長(zhǎng)即可求出平行四邊形EFPQ的面積。（3）應(yīng)用二次函數(shù)最值求出平行四邊形EFPQ面積最大值時(shí)點(diǎn)E的位置，判斷出四邊形EFPQ是菱形，

21、從而分別得出結(jié)論。8. （2010年福建福州13分）如圖，在ABC中，C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H（1）求證：；（2）設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值；（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線QC勻速運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFPQ與ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式【答案】解：（1）證明：四邊形EFPQ是矩形，EFQP。AEFABC。又ADBC，AHEF。（2）由（1）得，。EQ=HD=AD

22、AH=8。0，058，當(dāng)x=5時(shí)，S矩形EFPQ有最大值，最大值為20。（3）如圖1，由（2）得EF=5，EQ=4，C=45°，NPC是等腰直角三角形。PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9。分三種情況討論：如圖2，當(dāng)0t4時(shí)，設(shè)EF、PF分別交AC于點(diǎn)M、N，則MFN是等腰直角三角形。FN=MF=t。如圖3，當(dāng)4t5時(shí)，則ME=5t，QC=9t，。如圖4，當(dāng)5t9時(shí)，設(shè)EQ交AC于點(diǎn)K，則KQ=QC=9t。綜上所述：S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。所以本題要分三種情況討論：當(dāng)0t

23、4時(shí)，重合部分的面積是矩形EFPQ與等腰RtFMN（設(shè)AC與FE、FP的交點(diǎn)為M、N）的面積差，F(xiàn)M的長(zhǎng)即為梯形移動(dòng)的距離，由此可得到S、t的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)4t5時(shí)，重合部分是個(gè)梯形，可用t表示出梯形的上下底，進(jìn)而由梯形的面積公式求得S、t的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)5t9時(shí)，重合部分是個(gè)等腰直角三角形，其直角邊的長(zhǎng)易求得，即可得出此時(shí)S、t的函數(shù)關(guān)系式。9. （2011年福建福州12分）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O（1）如圖1，連接AF、CE求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長(zhǎng)；（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出

24、發(fā)，沿AFB和CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周即點(diǎn)P自AFBA停止，點(diǎn)Q自CDEC停止在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為、(單位:,),，已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求與滿足的數(shù)量關(guān)系式【答案】解：（1）證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC。CAD=ACB，由題意得，以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上分三種情況：i）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在AF上、Q點(diǎn)在CE上時(shí)，AP=CQ，即,得；ii）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上時(shí)，AQ=CP