電動(dòng)力學(xué)復(fù)習(xí)總結(jié)第三章_穩(wěn)恒磁場(chǎng)

1、第三章 穩(wěn)恒磁場(chǎng)一、 填空題1、 已知半徑為圓柱形空間的磁矢勢(shì)(柱坐標(biāo)),該區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度為（ ）.2、 穩(wěn)恒磁場(chǎng)的能量可用矢勢(shì)表示為（ ）. 3、 分析穩(wěn)恒磁場(chǎng)時(shí),能夠中引如磁標(biāo)勢(shì)的條件是（ ）.在經(jīng)典物理中矢勢(shì)的環(huán)流表示（ ）.4、 無(wú)界空間充滿均勻介質(zhì),該區(qū)域分布有電流,密度為,空間矢勢(shì)的解析表達(dá)式（ ）5、 磁偶極子的矢勢(shì)等于（ ）；標(biāo)勢(shì)等于（ ）.6、 磁偶極子在外磁場(chǎng)中受的力為（ ）,受的力矩（ ）.7、 電流體系的磁矩等于（ ）.8、 無(wú)界空間充滿磁導(dǎo)率為均勻介質(zhì),該區(qū)域分布有電流,密度為,空間矢勢(shì)的解析表達(dá)式（ ）. 二、 選擇題1、 線性介質(zhì)中磁場(chǎng)的能量密度為A. B. C

2、. D. 2、 穩(wěn)恒磁場(chǎng)的泊松方程成立的條件是A介質(zhì)分區(qū)均勻 B.任意介質(zhì) C.各向同性線性介質(zhì) D.介質(zhì)分區(qū)均勻且3、 引入磁場(chǎng)的矢勢(shì)的依據(jù)是A.; B.; C. ; D. 4、 電流處于電流產(chǎn)生的外磁場(chǎng)中, 外磁場(chǎng)的矢勢(shì)為,則它們的相互作用能為A. B. C. D. 5、 對(duì)于一個(gè)穩(wěn)恒磁場(chǎng)，矢勢(shì)有多種選擇性是因?yàn)锳.的旋度的散度始終為零; B.在定義時(shí)只確定了其旋度而沒(méi)有定義散度; C. 的散度始終為零; 6、 磁偶極子的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)分別等于A. B. C. D. 7、 用磁標(biāo)勢(shì)解決靜磁場(chǎng)問(wèn)題的前提是A.該區(qū)域沒(méi)有自由電流分布 B. 該區(qū)域是沒(méi)有自由電流分布的單連通區(qū)域 C. 該區(qū)域每一點(diǎn)滿

3、足 D. 該區(qū)域每一點(diǎn)滿足. 三、 問(wèn)答題1、 在穩(wěn)恒電流情況下，導(dǎo)電介質(zhì)中電荷的分布有什么特點(diǎn)？2、 判定下述說(shuō)法的正確性，并說(shuō)明理由：（1） 不同的矢勢(shì)，描述不同的磁場(chǎng)；（2） 不同的矢勢(shì)，可以描述同一磁場(chǎng)；（3） 的區(qū)域，也為零。3、 在空間充滿介質(zhì)與無(wú)介質(zhì)兩種情況下，若電流分布相同，它們的磁場(chǎng)強(qiáng)度是否相同？4、 由，,有人認(rèn)為靜磁場(chǎng)的能量密度是，有人認(rèn)為是，你怎么認(rèn)為，為什么？。5、 試比較靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)。6、 描述磁場(chǎng)B的、滿足的矢勢(shì)，是什么性質(zhì)的矢量場(chǎng)？它是否是唯一的？理由是什么？7、 我們知道，在J=0的區(qū)域，磁場(chǎng)強(qiáng)度滿足，如果我們把它表示成，此方程仍能成立。試述這樣引入所存在的

4、問(wèn)題。8、 磁標(biāo)勢(shì)微分方程是否說(shuō)明存在真正的磁荷?9、 對(duì)于直長(zhǎng)導(dǎo)線的磁場(chǎng)，在什么樣的區(qū)域可以引入磁標(biāo)勢(shì)？10、 試用磁荷觀點(diǎn)與分子電流觀點(diǎn)求一個(gè)磁化矢量為的永磁體在空間激發(fā)的磁場(chǎng)，并證明所得結(jié)果是一致的。答：依磁荷觀點(diǎn)：整個(gè)空間中由引入，即可表為，其中依分子電流觀點(diǎn)：，而依照題意有：，即：且比較知，所得結(jié)果是一致的。11、 試說(shuō)明：分布于有限區(qū)域的電流系，在時(shí)，其矢勢(shì)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：因有限區(qū)域的電流系可以分成許多閉合流管，時(shí)，其失勢(shì)場(chǎng)主要由閉合流管的磁偶極勢(shì)和場(chǎng)決定即： =12、 我們知道，對(duì)于閉合電流圈，在場(chǎng)點(diǎn)離其很遠(yuǎn)的情況下，其矢勢(shì)和場(chǎng)由其磁偶極勢(shì)和場(chǎng)所決定。因此，在上述條件下，人們

5、常說(shuō)小閉合電流圈與一磁偶極子等效。試問(wèn)，當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)離電流圈不是很遠(yuǎn)時(shí)，閉合電流能否與某種分布的磁偶極子等效？I3-12圖解：設(shè)電流線圈電流為I.當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)離電流圈不是很遠(yuǎn)時(shí)，閉合電流的場(chǎng)不能等效為一個(gè)磁偶極子的場(chǎng)，但閉合電流的磁場(chǎng)可看作線圈所圍的一個(gè)曲面上許多載電流I的無(wú)限小線圈組合而成,如圖,磁場(chǎng)就是許多無(wú)限小線圈的磁場(chǎng)矢量和.如圖3-1213、 有一很長(zhǎng)的柱面，表面有均勻分布的電流沿軸向流動(dòng)，有人為了求柱面內(nèi)長(zhǎng)度為的一段柱體之中的磁場(chǎng)能量，使用了如下的公式：按此公式，由于柱內(nèi)，因此磁場(chǎng)能。試問(wèn)這樣做對(duì)否？為什么？解：這樣做顯然是不對(duì)的，因?yàn)榇艌?chǎng)能量應(yīng)為， 僅對(duì)總能量有意義，并非能量密度。14、 如

6、何對(duì)小電流圈在遠(yuǎn)處的矢勢(shì)作多極展開(kāi)？試證明展開(kāi)式的第一項(xiàng)，第二項(xiàng)可表為，其中。解：對(duì)小電流圈在遠(yuǎn)處的矢勢(shì)，時(shí)，則又: 所以 對(duì)于一個(gè)閉合流管，有：式中，與積分變量無(wú)關(guān)，且為線圈上各點(diǎn)坐標(biāo)，則又由（全微分繞閉合回路的線積分為零）得所以，其中。15、 磁場(chǎng)矢勢(shì)的展開(kāi)中，這說(shuō)明什么？試與電多極距比較.答: 電勢(shì)多極展開(kāi):矢勢(shì)多極展開(kāi): 可見(jiàn),磁場(chǎng)和電場(chǎng)不同，展開(kāi)式中不含磁單極項(xiàng)。這是磁單極不存在的必然結(jié)果.16、 簡(jiǎn)述阿哈羅諾夫玻姆效應(yīng)的結(jié)果答:在不存在磁場(chǎng)的區(qū)域, 矢勢(shì),矢勢(shì)可以對(duì)電子發(fā)生作用, 哈羅諾夫玻姆效應(yīng)表明矢勢(shì)和具有可觀測(cè)的物理效應(yīng)。哈羅諾夫玻姆效應(yīng)是量子力學(xué)現(xiàn)象.17、 試證明在似穩(wěn)條

7、件下，每個(gè)瞬時(shí)有：（1）對(duì)無(wú)分支交流電路，電路各處的電流強(qiáng)度是相等的；（2）對(duì)有分支的交流電路，在分支點(diǎn)處基爾霍夫第一定律仍然成立。解：在似穩(wěn)條件滿足時(shí)，電磁場(chǎng)的波動(dòng)性可以忽略，推遲效應(yīng)可以忽略，場(chǎng)與場(chǎng)源的關(guān)系近似地看作瞬時(shí)關(guān)系，位移電流,所以場(chǎng)方程變?yōu)?對(duì)兩邊取散度得:：無(wú)分支電路，任選兩處A，B.AB段電路可由S1截面，表面，S2截面圍成一閉合曲面，則由似穩(wěn)條件有由A，B任意性知：電路各處電流強(qiáng)度相同。多分支電路，設(shè)匯集于節(jié)點(diǎn)處的各支路橫截面為S1, S2. Sn, 總表面為同理則有：即:即分支點(diǎn)處基爾霍夫第一定律仍然成立。四、 計(jì)算和證明1、 試用表示一個(gè)沿z方向的均勻恒定磁場(chǎng)，寫出的兩

8、種不同表示式，證明二者之差為無(wú)旋場(chǎng)。解：是沿 z 方向的均勻恒定磁場(chǎng)，即 ，由矢勢(shì)定義得；三個(gè)方程組成的方程組有無(wú)數(shù)多解，如：， 即：；， 即：解與解之差為則這說(shuō)明兩者之差是無(wú)旋場(chǎng)2、 均勻無(wú)窮長(zhǎng)直圓柱形螺線管，每單位長(zhǎng)度線圈匝數(shù)為n，電流強(qiáng)度I，試用唯一性定理求管內(nèi)外磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：根據(jù)題意，取螺線管的中軸線為 z 軸。本題給定了空間中的電流分布，故可由 求解磁場(chǎng)分布，又 J 只分布于導(dǎo)線上，所以 dl1)螺線管內(nèi)部：由于螺線管是無(wú)限長(zhǎng) r理想螺線管，所以其內(nèi)部磁場(chǎng)是 O z均勻強(qiáng)磁場(chǎng)，故只須求出其中軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度，即可知道管內(nèi)磁場(chǎng)。由其無(wú)限長(zhǎng)的特性，不 I妨取場(chǎng)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立柱坐標(biāo)系

9、。， 取的一小段，此段上分布有電流2)螺線管外部：由于螺線管無(wú)限長(zhǎng)，不妨就在過(guò)原點(diǎn)而垂直于軸線的平面上任取一點(diǎn)為場(chǎng)點(diǎn)，其中。 3、 設(shè)有無(wú)限長(zhǎng)的線電流I沿z軸流動(dòng)，在z<0空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，z>0區(qū)域?yàn)檎婵?，試用唯一性定理求磁感?yīng)強(qiáng)度，然后求出磁化電流分布。解：設(shè)z>0區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度為，；z<0區(qū)域?yàn)?，由?duì)稱性可知 和均沿方向。由于的切向分量連續(xù)，所以。由此得到，滿足邊值關(guān)系，由唯一性定理可知，該結(jié)果為唯一正確的解。 以 z 軸上任意一點(diǎn)為圓心，以 r 為半徑作一圓周，則圓周上各點(diǎn)的大小相等。根據(jù)安培環(huán)路定理得：，即， ，(z>0)；，(z&l

10、t;0)。在介質(zhì)中 所以，介質(zhì)界面上的磁化電流密度為：總的感應(yīng)電流：，電流在 z<0 區(qū)域內(nèi)，沿 z 軸流向介質(zhì)分界面。4、 設(shè)x<0半空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，x>0空間為真空，今有線電流I沿z軸流動(dòng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流分布。解：假設(shè)本題中的磁場(chǎng)分布仍呈軸對(duì)稱，則可寫作 它滿足邊界條件：及。由此可得介質(zhì)中：由 得： 在x<0 的介質(zhì)中 ，則： 再由 可得，所以， （沿 z 軸）5、 某空間區(qū)域內(nèi)有軸對(duì)稱磁場(chǎng)。在柱坐標(biāo)原點(diǎn)附近已知，其中為常量。試求該處的。提示：用，并驗(yàn)證所得結(jié)果滿足。解：由于B具有對(duì)稱性，設(shè)， 其中 ，即：，（常數(shù)）。當(dāng)時(shí)，為有限，所以 ；，即：

11、 （1）因?yàn)椋?，即 （2）直接驗(yàn)證可知，（1）式能使（2）式成立，所以，(c為常數(shù))6、 兩個(gè)半徑為a的同軸圓形線圈，位于面上。每個(gè)線圈上載有同方向的電流I。（1）求軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度。（2）求在中心區(qū)域產(chǎn)生最接近于均勻常常時(shí)的L和a的關(guān)系。提示：用條件解：1） 由畢薩定律，L 處線圈在軸線上 z 處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為， 同理，-L 處線圈在軸線上 z 處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：，。所以，軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度： （1）2）因?yàn)?，所以 ；又因?yàn)?，所?，。代入（1）式并化簡(jiǎn)得： 將 z=0 帶入上式得：， 7、 半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體上有恒定電流均勻分布于截面上，試解矢勢(shì)的微分方程。設(shè)導(dǎo)體的

12、磁導(dǎo)率為，導(dǎo)體外的磁導(dǎo)率為。解：矢勢(shì)所滿足的方程為： 自然邊界條件：時(shí)，有限。邊值關(guān)系：；選取柱坐標(biāo)系，該問(wèn)題具有軸對(duì)稱性，且解與 z 無(wú)關(guān)。令，代入微分方程得：；解得：；由自然邊界條件得，由 得：，由 并令其為零，得：，。；8、 假設(shè)存在磁單極子，其磁荷為，它的磁場(chǎng)強(qiáng)度為。給出它的矢勢(shì)的一個(gè)可能的表示式，并討論它的奇異性。解： 由 得： (1) 令 ,得: , (2)顯然 滿足(1) 式，所以磁單極子產(chǎn)生的矢勢(shì)討論： 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故的表達(dá)式在具有奇異性，此時(shí)不合理。9、 將一磁導(dǎo)率為，半徑為的球體，放入均勻磁場(chǎng)內(nèi)，求總磁感應(yīng)強(qiáng)度和誘導(dǎo)磁矩m。解：根據(jù)題意，以球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)，取

13、H0的方向?yàn)?，此球體被外加磁場(chǎng)磁化后，產(chǎn)生一個(gè)附加磁場(chǎng)，并與外加均勻場(chǎng)相互作用，最后達(dá)到平衡，呈現(xiàn)軸對(duì)稱。本題所滿足的微分方程為： （1）自然邊界條件：為有限；。銜接條件：在處滿足 及 由自然邊界條件可確定方程組（1）的解為：； 由兩個(gè)銜接條件，有：比較的系數(shù)，解得：； ，即：，（），（）在R<R0區(qū)域內(nèi)，10、 有一個(gè)內(nèi)外半徑為和的空心球，位于均勻外磁場(chǎng)內(nèi)，球的磁導(dǎo)率為，求空腔內(nèi)的場(chǎng)，討論時(shí)的磁屏蔽作用。解：根據(jù)題意，以球心為原點(diǎn)，取球坐標(biāo)，選取H0的方向?yàn)椋谕鈭?chǎng)H0的作用下，空心球被磁化，產(chǎn)生一個(gè)附加磁場(chǎng)，并與原場(chǎng)相互作用，最后達(dá)到平衡，B的分布呈現(xiàn)軸對(duì)稱。磁標(biāo)勢(shì)的微分方程為： ；

14、 ； 自然邊界條件：為有限；。銜接條件： ； ； 由軸對(duì)稱性及兩個(gè)自然邊界條件，可寫出三個(gè)泛定方程的解的形式為：； ； 因?yàn)榉憾ǚ匠痰慕馐前旬a(chǎn)生磁場(chǎng)的源H0做頻譜分解而得出的，分解所選取的基本函數(shù)系是其本征函數(shù)系。在本題中源的表示是：所以上面的解中， ，解的形式簡(jiǎn)化為： ； ； 代入銜接條件得：， ， 。解方程組得：，。從而，空間各點(diǎn)磁標(biāo)勢(shì)均可確定?？涨粌?nèi)：當(dāng)時(shí)，所以。即空腔中無(wú)磁場(chǎng)，類似于靜電場(chǎng)中的靜電屏蔽。11、 設(shè)理想鐵磁體的磁化規(guī)律為，其中是恒定的與無(wú)關(guān)的量。今將一個(gè)理想鐵磁體做成的均勻磁化球（為常值）浸入磁導(dǎo)率為的無(wú)限介質(zhì)中，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流分布。解：根據(jù)題意，取球心為原點(diǎn)，建

15、立球坐標(biāo)系，以M0的方向?yàn)?，本題具有軸對(duì)稱的磁場(chǎng)分布，磁標(biāo)勢(shì)的微分方程為： ； 自然邊界條件：為有限；。銜接條件： ； 由軸對(duì)稱性及兩個(gè)自然邊界條件，可寫出拉普拉斯方程通解的形式為：； ； 代入銜接條件，比較各項(xiàng)的系數(shù)，得：，；， ，由此 又 ，（其中）將B的表達(dá)式代入，得：12、 將上題的永磁球置入均勻外磁場(chǎng)中，結(jié)果如何？解：根據(jù)題意假設(shè)均勻外場(chǎng)的方向與M0的方向相同，定為坐標(biāo) z 軸方向。磁標(biāo)勢(shì)的微分方程為： ； 自然邊界條件：為有限；。銜接條件： ； 解得滿足自然邊界條件的解是：，代入銜接條件，得：解得： ，其中 ，13、 有一個(gè)均勻帶電的薄導(dǎo)體殼其半徑為，總電荷為，今使球殼繞自身某一直徑以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，求球內(nèi)外的磁場(chǎng)。提示：本題通過(guò)解或的方程都可以解決，也可以比較本題與§5例2的電流分布得到結(jié)果。解：根據(jù)題意，取球體自轉(zhuǎn)軸為 z 軸，建立球坐標(biāo)系。磁標(biāo)勢(shì)的微分方程為： ； 自然邊界條件：為有限；。銜接條件： ； 其中 是球殼表面自由面電流密度。解得滿足自然邊界條件的解是：，代入銜接條件