橢圓型方程的有限差分法ppt課件

1、第第2章章 橢圓型方程的有限差分法橢圓型方程的有限差分法1 差分逼近的基本概念差分逼近的基本概念.,; 0,)2 . 1 ()(,)() 1 . 1 (,22為給定常數(shù)上的連續(xù)函數(shù)為其中邊值問題考慮二階常微分方程的qbafqbuaubxafqudxudLu區(qū)間剖分區(qū)間剖分 .,./ )(, 2 , 1 , 0,稱為步長(zhǎng)，間距稱為網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）的一個(gè)網(wǎng)格剖分，于是我們得到區(qū)間等分，分點(diǎn)為分成將區(qū)間hxbaINabhNiihaxNbaii微分方程離散微分方程離散( (差分方程）差分方程）.)3 . 1 (),()(12)()()(2)() 1 . 1 (344222211點(diǎn)取值表示括號(hào)內(nèi)函數(shù)在其

2、中展式可得，由的解離散化，對(duì)充分光滑在節(jié)點(diǎn)現(xiàn)在將方程iiiiiiiixhOdxxudhdxxudhxuxuxuTaylorux)5 . 1 (),()(12)()4 . 1 (),()()()()()(2)() 1 . 1 (3442211hOdxxudhuRuRxfxuxqhxuxuxuxiiiiiiiiii其中寫成可將方程于是在.)6 . 1 ()()().(),()6 . 1 ( ,2) 1 . 1 ()(.)(211的截?cái)嗾`差為差分方程稱，記式中的差分方程：，則得逼近方程若舍去的二階無(wú)窮小量是足夠小，當(dāng)uRxfLuxffxqqfuqhuuuuLuRhuRhiiiiiiiiiiiiiih

3、ii.)()7 . 1 ()()(截?cái)嗾`差所引起的代替微分算子是用差分算子，截?cái)嗾`差LLuRLuxuLuRhiiihi.)2 . 1 (),1 . 1 ()9 . 1 (),8 . 1 (.)()9 . 1 (.,)8 . 1 ( , 1, 2 , 1,2, 1, 2 , 1)6 . 1 (0211式此格式稱為中心差分格的差分方程或差分格式為逼近稱的近似于是它的解的線性代數(shù)方程組：于加上邊值條件就得到關(guān)時(shí)成立，當(dāng)差分方程iiNiiiiiiihixxxuuuuNifuqhuuuuLuNi.1,)8 . 1 (:121階方程組因此它是個(gè)數(shù)的的個(gè)數(shù)等于網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)方程注意NxxxN2 一維差分格式一維差

4、分格式., 0)(,)2 . 2()(,)() 1 . 2(,)(min1為給定常數(shù)其中考慮兩點(diǎn)邊值問題：baCfqrpxpbaCpbuaubxafqudxdurdxdupdxdLu積法直接差分化法、有限體兩種方法：我們將介紹差分格式的直接差分化直接差分化 ., 2 , 1,:,1110NixxxINbaIbxxxxaNiiiNi個(gè)小區(qū)間：分成將區(qū)間個(gè)節(jié)點(diǎn)：首先取.,max,01211的集合表示內(nèi)點(diǎn)和界點(diǎn)的集合表示網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)為最大網(wǎng)格步長(zhǎng)。用稱的一個(gè)網(wǎng)格剖分，記于是得到區(qū)間bxaxIxxxIhhxxhINhNhiiiii.,), 2 , 1)(21,2121232101211對(duì)偶剖分的一個(gè)網(wǎng)格剖

5、分，稱為又構(gòu)成點(diǎn)稱為半整數(shù)點(diǎn)，則由節(jié)，的中點(diǎn)取相鄰節(jié)點(diǎn)babxxxxxxaNixxxxxNNiiiiii點(diǎn)取值。表示括號(hào)內(nèi)函數(shù)其中展式可得，由為此，對(duì)充分光滑的解離散化，在節(jié)點(diǎn)方程其次用差商代替微商將iiiiiiiiiiixhodxudhhdxduhhxuxuTaylorux)3 . 2(),(2)()() 1 . 2(2221111)4 . 2(),(24),(24)()()(33322132133221121hodxudphdxduphodxudphdxduphxuxuxpiiiiiiiiii)5 . 2(),(24)()()(33312211121hodxudphdxduphxuxuxp

6、iiiiiii)6 . 2(),()12)(4)(),(12)(2)()()()()()(22)4 . 2()5 . 2(2331221233121211121112111hodxudphhdxdupdxdhhdxdupdxdhodxudphhdxdupdxduphhhxuxuxphxuxuxphhhhiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii，得，并除以減由滿足方程：邊值問題的解知?jiǎng)t由令)(,)6 . 2(),3 . 2(),(),(),(),(2121xuxffxqqxrrxppiiiiiiii)7 . 2(),()()()()()()()(2)(11112111211uRfxu

7、qxuxuhhrhxuxuphxuxuphhxuLiiiiiiiiiiiiiiiiiiiih.)2 . 2(),1 . 2(),()8 . 2(),()21121)(41)()(22233221的差分方程便得逼近邊值問題的截?cái)嗾`差，舍去為差分算子其中uRLhodxudrdxudpdxdupdxdhhuRihiiiiii)10. 2(,)9 . 2(, 1, 1,2011112111211NiiiiiiiiiiiiiiiiiiihuuNifuquuhhrhuuphuuphhuL有限體積法有限體積法 恒律具有形式上的熱量守內(nèi)任一小區(qū)間程，則在方一根桿上的穩(wěn)定溫度場(chǎng)如果把它看作是分布在，考慮守恒型微

8、分方程：,)13. 2()()()()2()1(xxbaxfuxqdxdupdxdLu)15. 2()()()14. 2(,)()(,)()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1(，其中或dxduxpxWfdxqudxxWxWfdxqudxdxdxdupdxdxxxxxxxxxx 把微分方程寫成積分守恒型后，最高階微商由二階降到一階，從而可減弱對(duì)函數(shù)光滑性的要求。,)()15. 2()()14. 2( ,)()(,)14. 2(2121212121212121)2()1(恒連續(xù)流量”化是不合適的。但“熱進(jìn)一步差分允許有間斷點(diǎn)，由考慮到則對(duì)偶單元取特別于xWxpfd

9、xqudxxWxWxxxxiiiixxxxiiii,)()(,)()()15. 2(111iixxiiiidxxpxWuuxxxpxWdxdu積分，得再沿改寫成故將)18. 2(,2)17. 2(.)(1)16. 2(,1112121211iiiixxxxiiiiiiiudhhqudxxpdxhahuuaWiiii又利用中矩形公式，得)21. 2(.)(2)20. 2(,)(21,)(21)14. 2()18. 2(),16. 2(21211111111iixxiiiiiiiiiiiiiiiiiidxxfhhhhudhhhuuahuua，即得守恒型差分方程代到將)22. 2(),(),(),(

10、)21. 2()19. 2(),17. 2(,2121iiiiiiiiixffxqqdxppafqp，從而和計(jì)算式光滑，則可用中矩形公及右端如果系數(shù))23. 2(),(21),(21,22121212111iiiiiiiiiiifffqqdppppa也可用梯形公式，此時(shí)3 矩形網(wǎng)的差分格式矩形網(wǎng)的差分格式條件之一：在邊界上滿足下列邊值，其邊界為分段光滑曲線是平面上一有界區(qū)域，方程考慮GGyxyxfuPoisson) 1 . 3(),(),(321) 1 . 3()(),() 1 . 3()(),() 1 . 3()(),(第三邊值問題第二邊值問題第一邊值問題yxkunuyxnuyxu連續(xù)函數(shù)。

11、都是及其中0),(),(),(),(),(yxkyxyxyxyxf3.13.1 五點(diǎn)差分格式五點(diǎn)差分格式, 1, 0, 1, 0,.)(,2121222121jjhyiihxhhhhhyx直線：作兩族與坐標(biāo)軸平行的和軸方向的步長(zhǎng)軸和取定沿. 11,),(),().,(),(),(2121jjiihyyhxxyxyxjiyxjhihiiiijijiji或如果是相鄰的和說兩個(gè)節(jié)點(diǎn)或記為稱為網(wǎng)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)，兩族直線的交點(diǎn)否則稱為非正則內(nèi)點(diǎn)。就稱為正則內(nèi)點(diǎn)相鄰點(diǎn)都屬于的四個(gè)若內(nèi)點(diǎn)的網(wǎng)點(diǎn)的集合是代替域就則令點(diǎn)為界點(diǎn)交點(diǎn)集合，并稱如此的的與或表示網(wǎng)線以并稱如此節(jié)點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)集合，表示所有屬于以;,),(

12、.,.),(hjihhhhjihjihGyxGGGGGyyxxGGyxG)2 . 3(,)2 . 3(),(),(,),(,),()2 . 3( ,22,),(221,1,21, 1, 1hhhjiijjihijjihhhijijjiijjijiijjiijhyyxxjifuyxffyxfuyxufujiufhuuuhuuuuuuyxyx可簡(jiǎn)寫成則差分方程表示網(wǎng)格函數(shù)，上的網(wǎng)函數(shù)。若以表示節(jié)點(diǎn)式中，則得用二階中心差商代替方向分別為正則內(nèi)點(diǎn)，沿現(xiàn)在假定) 3 . 3(),(),(360),(12),(),(),(2),(6166444222211111hOxyxuhxyxuhxyxuhyxuyx

13、uyxuTaylorjijijijijiji展式利用)4 . 3(),(),(360),(12),(),(),(2),(6266444222211122hOyyxuhyyxuhyyxuhyxuyxuyxujijijijijiji.) 1 . 3(),()5 . 3(),(),(),(121),(),()(2444224421的光滑解是方程其中的截?cái)嗾`差可得差分算子uhOhOyyxuhxyxuhyxuyxuuRjijijihjiijh故稱為五點(diǎn)差分格式。其四個(gè)鄰點(diǎn)上的值，及在中只出現(xiàn)由于差分方程),()2 . 3(jiu(i,j)(i,j-1)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j)7 . 3

14、()(41),(0)6 . 3(.4)(41)2 . 3(,1,1, 1, 121,1, 1, 121jijijijiijijjijijijiijuuuuuLaplaceffhuuuuuhhh則有方程若簡(jiǎn)化為則差分方程特別取正方形網(wǎng)格：)(),(12),(),(121),()(),(12),(),()(121),()(),(),(121),(),()4 . 3(),3 . 3(422422222222224224222222222222224442244211111hOyxyxuhhyyxfhxyxfhyxfhOyxyxuhhyyxuxyxuyhxhyxuhOyyxuhxyxuhyxuyxuj

15、ijijijijijijijijijijijih兩式相加，則得若將注).(),(),(2),(),(),(2),(2),(),(2),(1)(),(),(2),(),(21111111111112221222211224hOyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuhhhOhyxuyxuyxuyxyxujijijijijijijijijijixxjixxjixxji 又).(),(),(121),(),(),(),(),(),(),(),(),(2),(4121),(42222222111111111111122212221hOyyxfhxyxfhyxfyxuyxuyxuyxuyx

16、uyxuyxuyxuyxuhhhhyxujijijijijijijijijijijijijih因此).(),(),(121),),(2412142222222111111111111, 122212221hOyyxfhxyxfhfuuuuuuuuuhhhhujijiijjijijijijijijijiijijh其截?cái)嗾`差的階為格式：到逼近方程的九點(diǎn)差分舍去截?cái)嗾`差項(xiàng)，便得., 1, 0,)21()21(.2121, 221, 121點(diǎn)的交點(diǎn)為對(duì)偶剖分的界點(diǎn)，直線與邊界內(nèi)部者為對(duì)偶剖分的內(nèi)交點(diǎn)屬于其和行于坐標(biāo)軸的直線作兩族平記對(duì)偶剖分為此我們需要作五點(diǎn)格式現(xiàn)在用有限體積法推導(dǎo)Gjiyyxxhjy

17、hixiijiABCD.),(),(),(),(:),(2121212121212121稱為控制體積為頂點(diǎn)的矩形域，表示以用，考慮對(duì)偶剖分的網(wǎng)點(diǎn)對(duì)于任一正則內(nèi)點(diǎn)ABCDGyxDyxCyxByxAyxijjijijijiji)8 . 3(.) 1 . 3(ijGijfdxdydsnuPoissonGreenPoissonG方程的積分守恒形式：得到公式，并利用方程積分于向量的方向角。處的切線上為有向曲線弧、其中的取正向的邊界曲線。是其中有有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在上及函數(shù)圍成，由分段光滑的曲線閉區(qū)域設(shè)),(),(),()coscos()(),(),( yxLyxyxDLdsQPQdyPdxdxdyyP

18、xQyxQyxPLDLLD高等數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)過高等數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)過Green公式：公式：21, 1121,21, 1121,:.,hhuuhhuuhhuuhhuudsnuGunuijjiijjiijjiijjiij則代替外法向?qū)?shù)分，再用中心差商公式代替沿四邊的線積用中矩形的外法向?qū)?shù)沿矩形表示式中.)2 . 3()9 . 3(,22:,),8 . 3(221,1,21, 1, 121一致它和即得五點(diǎn)差分格式并除以以此式代入ijjiijjijiijjifhuuuhuuuhh3.2 3.2 邊值條件的處理邊值條件的處理)11. 3().,(),(,.,)10. 3().,(*iiijhiihhhyxuyxGyxu時(shí)便令當(dāng)因表示界點(diǎn)集