選修4-5學案 §2.1.2不等式的證明(2)

1、選修 4-5學案 §2.1.2不等式的證明 (2綜合法與分析法 姓名 學習目標 : 1. 理解并掌握 綜合法與分析法 ;2. 知識情景 :1. 基本不等式:10. 如果 , a b R , 那么 222a b ab +. 當且僅當 a b =時 , 等號成立 .20. 如果 , a b R +,那么 2 a b +當且僅當 a b =時 , 等號成立 . 30. 如果 , , a b c R +, 那么 3a b c +, 當且僅當 a b c =時 , 等號成立 . 2. 均值不等式:如果 , a b R +, 那么22 ab a b a b + 常用推論:10. 20a ; 0;

2、 a 12(0 a a a+> 20. 2(0 a b ab b a+> 30. a c b b a c+(, , a b c R +. 3.不等式證明的基本方法 :10. 比差法 與 比商法 (兩正數(shù)時 . 20. 綜合法 和 分析法 .30. 反證法 、 換元法 、 放縮法 案例學習 :綜合法 :從 已知條件、不等式的性質(zhì)、基本不等式 等出發(fā) ,通過 邏輯推理 , 推導出所要證明的結(jié)論 . 這種證明方法叫做綜合法 . 又叫 由 .用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系 :12n A B B B B 例 1 , , 0, , a b c >已知 且不全相等 222222( ( ( 6

3、a b c b c a c a b abc +>求證 :例 212n 12n 12, , , R , 1, (1(1 (1 2n n a a a a a a a a a +=+ 已知 且 求證 :分析法 :從 要證的結(jié)論出發(fā) , 逐步尋求使它成立的充分條件 ,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實 (定義 、 公理或已證的定理 、 性質(zhì)等 , 從而得出要證的命題成立 , 這種證明方法叫做分析法 .這是一種執(zhí) .用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系 :例 3 例 4例 5 證明:. ( (22222bd ac d c b a +12 ( n B B B B A 結(jié) 步步尋求不等式 已 論 成立

4、的充分條件知 <求證 222222, , 0, a b b c c a a b c abc a b c +>+已知 求證 :選修 4-5練習 §2.1.2不等式的證明 (2 姓名 1、已知 , , 0, 0y x y x >>求證. 411yx y x +>+2、已知 , 0>>b a 求證 . a b a ->-3、已知 . 0, 0>>b a 求證:(1 . 4 (11+-b a b a (2 . 8 (333322b a b a b a b a +4、已知 d c b a , , , 都是正數(shù)。求證:(1; 2cd a

5、b d c b a + (2 . 4abcd d c b a +5、已知 c b a , , 都是互不相等的正數(shù),求證 . 9 (abc ca bc ab c b a >+6 c b a , , 是互不相等的正數(shù),且 1=abc . 求證 :27 1(1(1(>+a c c b b a .7 已知 a , b , m 都是正數(shù),并且 . b a <分別用 綜合法與分析法 求證 :. ba m b m a >+.8設 0, 0>>b a ,分別用 綜合法與分析法 求證 : . 2233ab b a b a +9(1已知 , a b 是正常數(shù) , a b , ,

6、 (0, x y +, 求證:222( a b a b x y x y +, 指出等號成立的條件; (2 利用 (1 的結(jié)論求函數(shù) 29( 12f x x x=+-(1(0, 2x 的最小值, 指出取最小值時 x 的值.答案 :例 1例 2 例 3 例 4 例 5 證明 (1 0 ( (22222+-+bd ac d c b a (202(222222222222+-+d b abcd c a d b d a c b c a (3 2222: 2, 0, ( 2b c bc a a b c abc +>+ 證明 2222 2, 0, ( 2a b ab c c a b abc +>

7、+ 2222 2, 0, ( 2c a ac b b c a abc +>+ 222222, , , , ( ( ( 6a b c a b c b c a c a b abc +>由于 不全相等 所以上述三個式子中至少有一個不 取等號把它們相加得 11212.1212: , 11,1, , , , , (1(1 (1 221,1,1.n n n n i i n a R a a a a a a R a a a a a a a a +=+= 證明 同理 由不等式的性質(zhì) 得時 所以原式在時取等號 22: ,991418, 1418,.<<+<+<<<&

8、lt; 證明 只需證 展開得 只需證成立 2222222222:(, , ( 2a b b c c a abc a b c x y z x yz+分析 要證的不等式可化為觀察上式 左邊各項是兩個字母的平方之積 右邊各項涉及三個字母 可以考慮用222222222222222222222222222222222222222: 2, 0, ( 22, 0, ( 22, 0, ( 22( 222(1, , 0, 0, 0,b c bc a a b c a bc c a ac b b c a b aca b ab c c a b c aba b b c c a a bc b ac c aba b b c

9、 c a abc a b c a b c a b c a b c a b b c +>+>+>+>+>>+ 證明 又 故 222c a abc a b c +數(shù)學驛站 b 2 c 2 + a 2 d 2 2abcd 0 (bc ad 2 0 （4） （5） （5）顯然成立。因此（1）成立。數(shù)學驛站 練習 6 a, b, c 是互不相等的正數(shù)，且 abc = 1 1 + a + b > 3 3 ab ,1 + b + c > 3 3 bc ,1 + c + a > 3 3 ca (1 + a + b(1 + b + c (1 + c + a

10、> 27 3 (abc = 27 2 7 證法一 要證（1） ，只需證 b( a + m > a (b + m （2） （3） 要證（2） ，只需證 bm > am 要證（3） ，只需證 b > a （4） 已知（4）成立，所以（1）成立。 上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。 證法二 因為 b > a, m 是正數(shù)，所以 bm > am 兩邊同時加上 ab 得 b( a + m > a (b + m 兩邊同時除以正數(shù) b(b + m 得（1） 。 8 證法一 分析法：數(shù)學驛站 要證 a + b a b + ab 成立. 3 3 2 2 只

11、需證 (a + b( a 2 ab + b 2 ab( a + b 成立， 又因 a + b > 0 ， 只需證 a ab + b ab 成立， 2 2 又需證 a 2ab + b 0 成立， 2 2 即需證 ( a b 2 0 成立. 而 ( a b 2 > 0 顯然成立. 由此命題得證。 證法二 綜合法 (a b 2 0 a 2 2ab + b 2 0 a 2 ab + b 2 ab 數(shù)學驛站 數(shù)學驛站 注意到 a > 0, b > 0 ，即 a + b > 0 ， 由上式即得 (a + b( a 2 ab + b 2 ab( a + b ， 從而 a + b a b + ab 成立。 3 3 2 2 議一議： 議一議：根據(jù)上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點嗎？ 9（1） ( a 2 b2 y x y x + ( x + y = a 2 + b 2 + a 2 + b 2 a 2 + b 2 + 2 a 2 b 2 = (a + b 2 ， x y x y x y a 2 b 2