第3章復(fù)變函數(shù)的積分

1、第3章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)變函數(shù)積分、柯西積分定理與解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的積分本質(zhì)上是二元函數(shù)的第二類線積分. 積分時(shí)用到3-1 設(shè)是，從到的一周，則（ ）. （A） （B） （C） （D） 解 故 選（D）. 3-2 （ ）. （A） （B） （C） （D） 解 原式 選（D）. 這些題均可用留數(shù)做，在這里是為了熟悉柯西積分公式及復(fù)合閉路定理. 3-3 （ ）. （A）0 （B） （C） （D）解 ，在內(nèi)被積函數(shù)有2個奇點(diǎn)：和，故原式 選（B）. 3-5 （ ）.（A）0 （B） （C） （D） 解 和都是奇點(diǎn)，故 原式. 選（C）. 高階導(dǎo)數(shù)公式. 3-6 （ ）.（A） （B）

2、（C） （D） 解 原式 選（C）.用二階導(dǎo)數(shù)算. 3-7 （ ）. （A）0 （B） （C） （D） 解 原式 選（D）. 二階導(dǎo)數(shù)公式及3-8 設(shè)，試求及的值. 解 又 ，故 ,故將化為再做積分. 3-9 計(jì)算，其中是常數(shù). 解 設(shè)，則于是 若 時(shí)，原式當(dāng) 時(shí)，原式3.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù) 3-11 如果是解析函數(shù)，試證：（1）也是解析函數(shù).（2）是的共軛調(diào)和函數(shù). 證 （1）是解析函數(shù). （2）為解析函數(shù)，故是的共軛調(diào)和函數(shù). 注意解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系. 3-12 求的共軛調(diào)和函數(shù).解 ，故，故是調(diào)和函數(shù)，以下求.由C-R條件得可用以下三種方程求. 1.（湊全微分法）故 2.（偏積

3、分法） 故 因此 3.（線積分法）由于是全微分表示式，故 3-13 設(shè)是上半平面的解析函數(shù)，求 解 ，求，用偏積分法：，故故 是實(shí)常數(shù)）或 ，其中，是實(shí)常數(shù). 這里有兩個待定的函數(shù).首先要是調(diào)和函數(shù)，而是的共軛調(diào)和函數(shù).3-14 若解析且，求實(shí)函數(shù)及.解 ，調(diào)和，故由C-R條件，而 因此 由得由得，故，； 3-15 設(shè)解析，且，求 解 故解析函數(shù)的虛部為0，從而有 是實(shí)常數(shù)，于是由此 （是復(fù)常數(shù)） 通過做這些題，熟悉解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系.3-16 設(shè)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，且在上，證明 證 （） 用關(guān)于解析函數(shù)的柯西積分公式來證明調(diào)和函數(shù)的平均值公式，使證明過程簡單. 3-17 如果是區(qū)域

4、內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，為內(nèi)以為圓心的正向圓周：，它的內(nèi)部全含于，試證：（1）即調(diào)和函數(shù)在任一點(diǎn)的值，等于它在圓周上的平均值.（2） 證 （1）由柯西公式：在上，故由于即的實(shí)部，故有 (2) 這個積分實(shí)際是在圓域：上的平均值. 3-18 如果在區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)的正向圓周：，它的內(nèi)部全含于，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，證明 證 被積函數(shù)為，由于，表示是圓外一點(diǎn)，故在圓內(nèi)處處解析，因此至此，得出的一種積分表示式.3-19 條件如上題，證明 證 由及 ，得 便是所要證明的結(jié)論. 泊松積分公式作為圓內(nèi)調(diào)和函數(shù)，在圓上滿足已知條件的泊松問題的解即的已知的）的解.3-20 證明泊松（Poisson）積分公式：這里，是調(diào)和函數(shù)，這個公式表示：調(diào)和函數(shù)在圓內(nèi)（）任一