因式分解法直接開平方法

1、解一元二次方程的算法解一元二次方程的算法本節(jié)內(nèi)容1.21.2.1 因式分解法，因式分解法， 直接開平方法直接開平方法大塘九年制學校 扶寧波 如何解如何解1.1節(jié)節(jié)問題一問題一中的方程：中的方程：探究探究 ( (35- -2x) )2- -900 = 0 可以用平方差公式，可以用平方差公式，把方程把方程的左邊因式的左邊因式分解分解 我們已經(jīng)會解一元一次方程，我們已經(jīng)會解一元一次方程， 首先，觀察方程首先，觀察方程的左邊，可不可以通過因式分的左邊，可不可以通過因式分解把它表示成兩個一次多項式的乘積？解把它表示成兩個一次多項式的乘積？ 自然會想：能不能把一元二次方程自然會想：能不能把一元二次方程降低

2、降低次數(shù)次數(shù)，轉化為若干個一元一次方程呢？，轉化為若干個一元一次方程呢？先把方程先把方程寫成寫成 ( (35- -2x) )2- -302=0.( (35- -2x) )2- -900 = 0 把此方程的左邊因式分解把此方程的左邊因式分解 ( (35- -2x+30)()(35- -2x- -30) )=0， 即即 ( (65- -2x)()(5- -2x) )=0. 因此，從方程因此，從方程得得 65- -2x=0或或 5- -2x=0 得得 x=32.5 或或 x=2.5.即方程即方程有兩個解，有兩個解，通常把它們記成通常把它們記成 x1=32.5，x2=2.5.其次，我們知道其次，我們知

3、道:“:“如果如果p q = 0，那么那么p=0或或q=0.”最后分別解最后分別解中的中的兩個一元一次方程兩個一元一次方程 對于對于問題一問題一， x2=2.5 符合題意，即人行道的寬度為符合題意，即人行道的寬度為2.5 m上述解一元二次方程的方法叫作上述解一元二次方程的方法叫作因式分解法因式分解法.( (35- -2x) )2- -900 = 0 容易看出容易看出 x1=32.5 不符合題意不符合題意( (為什么為什么?) )，應當舍去；應當舍去；方程方程還有其他解法嗎？還有其他解法嗎？ 動腦筋動腦筋 ( (35- -2x) )2- -900 = 0 這種解一元二次方程的方法，叫作這種解一元

4、二次方程的方法，叫作直接開平方法直接開平方法 把方程寫成把方程寫成( (35- -2x) )2=900，這表明這表明35- -2x是是900的平方根，的平方根，因此因此 或或 ，即即35- -2x=30 或或 35- -2x=- -30解得解得 x=2.5 或或 x=32.535 2900 x35 2900 x 舉舉例例例例1 解方程：解方程： 4x2 - -25=0. 原方程可以寫成原方程可以寫成 ( (2x) )2- -52 = 0，解解:( (解法一解法一) )把方程左邊因式分解，得把方程左邊因式分解，得 ( (2x+5)()(2x- -5) )=0.由此得出由此得出 2x+5=0 或或

5、 2x- -5=0.解得解得 ， 1 5 2x 2 5 2 x. 4x2 - -25=0.直接開平方，得直接開平方，得 或或254x 254x , ,即即 125522 xx. , , 原方程可以寫成原方程可以寫成 2254 x. 解解:( (解法二解法二) )可以直接開平方計算可以直接開平方計算舉舉例例例例2 解方程：解方程： ( (x+1) )2 - -2=0.原方程可以寫成原方程可以寫成解解:( (解法一解法一) )把方程左邊因式分解，得把方程左邊因式分解，得 =0.由此得出由此得出 或或 .22120 x() ()() ()解得解得 x1= ，x2= .1212xx ()()()()1

6、2 0 x 12 0 x 12 12 我們可以用因式分解法我們可以用因式分解法解這個方程。解這個方程。直接開平方，得直接開平方，得 = ，或或 = .原方程可以寫成原方程可以寫成 解解:( (解法二解法二) ) ( (x+1) )2 - -2=0. = .解得解得 x1= ，x2= .( (x+1) )222 ()()x+12 x+12 - -1+ 2 - -12 - - -我們可以用直接開平方我們可以用直接開平方法解這個方程。法解這個方程。小提示在解方程時，只要寫出一種解法就行在解方程時，只要寫出一種解法就行請同學自己小結這請同學自己小結這兩種解法，并應用兩種解法，并應用你的小結去解下面你的

7、小結去解下面的練習題的練習題 練習練習解下列方程：解下列方程：（1）9x2- -49=0； （2）36- -x2=0；（3）( (x+3) )2- -16=0； （4）( (1- -2x) )2- -3=0. 原方程可以寫成原方程可以寫成 62- -x2 = 0，（1） 9x2- -49=0 ，解解 原方程可以寫成原方程可以寫成 ( (3x) )2- -72 = 0，把方程左邊因式分解，得把方程左邊因式分解，得 ( (3x+7)()(3x- -7) )=0.由此得出由此得出 3x+7=0 或或 3x- -7=0.解得解得 ， 173x 273 x. （2） 36- -x2=0 ，解解把方程左邊

8、因式分解，得把方程左邊因式分解，得 ( (6+x)()(6- -x) )=0.由此得出由此得出 6+x=0 或或 6- -x=0.解得解得 ， 16x 26 x. （3） ( (x+3) )2- -16=0 ， 解解 原方程可以寫成原方程可以寫成 ( (x+3) )2- -42 = 0，把方程左邊因式分解，得把方程左邊因式分解，得 ( (x+3+ +4)()(x+3- -4) )=0.由此得出由此得出 x+7=0 或或 x- -1=0.解得解得 ， （4） ( (1- -2x) )2- -3=0 ，解解 原方程可以寫成原方程可以寫成 ( (1- -2x) )2- - = 0，把方程左邊因式分解

9、，得把方程左邊因式分解，得 ( (1- -2x+ )()(1- -2x- - ) )=0.由此得出由此得出 1- -2x+ =0 或或 1- -2x- - =0.解得解得 ， 23()()33332x 1x 11+ 32x 2132x - -如何解如何解1.1節(jié)問題二中的方程：節(jié)問題二中的方程： 動腦筋動腦筋 0.01 t 2- -2t = 0. 可以用提公因式法把方程可以用提公因式法把方程的左邊因式分解的左邊因式分解把方程把方程的左邊因式分解，得的左邊因式分解，得 t( (0.01t - -2) )= 0. 由此得出由此得出 t= 0 或或 0.01t - -2 = 0 解得解得 t1= 0

10、 ， t2= 200 . t1=0 表明小明與小亮第一次相遇表明小明與小亮第一次相遇；t2=200 表明經(jīng)過表明經(jīng)過200 s 小明與小亮再次相遇小明與小亮再次相遇 舉舉例例例例3 解下列方程：解下列方程： （1）5x2 + +15x=0； （2）x2=4x. （1）5x2 + +15x=0 把方程左邊因式分解，得把方程左邊因式分解，得 5x( (x+3) )= 0.解解:由此得出由此得出 5x=0 或或 x+ +3=0.解得解得 x1=0 ，x2= - -3. （2） x2 =4x 把方程左邊因式分解，得把方程左邊因式分解，得 x( (x- -4) )= 0.由此得出由此得出 x=0 或或

11、x- -4=0.解得解得 x1=0 ，x2= 4. 原方程可以寫成原方程可以寫成 x2 - -4x = 0.解解:說一說說一說 小剛在解例小剛在解例 3 第第( (2) )題的方程時，把方程兩題的方程時，把方程兩邊同除以邊同除以 x，得，得 x = 4. 這樣做對嗎？為什么？這樣做對嗎？為什么？ 不對，因為在方程不對，因為在方程x2=4x中，中，x可以為可以為0.如果方程兩邊如果方程兩邊除以除以x，而，而0不能作除數(shù)，所不能作除數(shù)，所以是不對的，還會造成增根以是不對的，還會造成增根.舉舉例例例例4 解下列方程：解下列方程： （1）x( (x- -5) )=3x； （2）2x( (5x- -1)

12、 )=3( (5x- -1) ). （1） x( (x- -5) )=3x 原方程可以寫成原方程可以寫成 x( (x- -5) )- -3x = 0.解解:由此得出由此得出 x =0 或或 x- -5- -3 = 0.解得解得 x1=0 ，x2= 8. 把方程左邊因式分解，得把方程左邊因式分解，得 x( (x- -5- -3) )= 0. （2） 2x( (5x- -1) )=3( (5x- -1) ) 把方程左邊因式分解，得把方程左邊因式分解，得 ( (5x- -1)()(2x- -3) )= 0.由此得出由此得出 5x- -1 = 0 或或 2x- -3 = 0. 原方程可以寫成原方程可以

13、寫成 2x( (5x- -1) )- -3( (5x- -1) )= 0.解解:解得解得 121352xx , . , .小提示 從例從例1至例至例4看到，解一元二次方程的基本方看到，解一元二次方程的基本方法之一是因式分解法，即通過移項使方程右邊為法之一是因式分解法，即通過移項使方程右邊為0，然后把左邊分解成兩個一次因式的乘積，從，然后把左邊分解成兩個一次因式的乘積，從而轉化成一元一次方程，進行求解而轉化成一元一次方程，進行求解練習練習1.解下列方程：解下列方程：（1）x2- -7x=0； （2）3x2= 5x .（1） x2- -7x=0 ，解解把方程左邊因式分解，得把方程左邊因式分解，得

14、x( (x- -7) )=0.由此得出由此得出 x = 0 或或 x- -7 = 0 .解得解得 x1=0 ， x2=7. （2） 3x2= 5x ， 原方程可以寫成原方程可以寫成 3x2- -5x = 0，把方程左邊因式分解，得把方程左邊因式分解，得 x( (3x- -5) )=0.由此得出由此得出 x = 0 或或 3x- -5 = 0.解得解得 ， 10 x 253 x. 解解2.解下列方程：解下列方程：（1）2x( (x- -1) )= 1- -x；（2）5x( (x+2) = 4x+8.（2） 5x( (x+2) )= 4x+8 ， 解解 原方程可以寫成原方程可以寫成 5x( (x+

15、 +2) )- -4( (x+2) )= 0，把方程左邊因式分解，得把方程左邊因式分解，得 ( (5x- -4)()(x+ +2) )=0.由此得出由此得出 5x- -4 = 0 或或 x+2 = 0.解得解得 ， . （1） 2x( (x- -1) )= 1- -x ，解解 原方程可以寫成原方程可以寫成 2x( (x- -1)+)+( (x- -1) )= 0，把方程左邊因式分解，得把方程左邊因式分解，得 ( (2x+1)()(x- -1) )= 0.由此得出由此得出 2x+1 = 0 或或 x- -1 = 0.解得解得 ， .145x 22x 21x 112x中考中考 試題試題例例1 方程方程( (x- -1)()(x+2) )=2( (x+2) )的根是的根是 . .移項，得移項，得( (x- -1)()(x+2) )- -2(