高等數(shù)學 9-2-2二重積分的計算法(2)_第1頁
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1、1 2 3 4 5 y 3x = 0 2 = 3 x 2 + y 2 = 4 y r = 4 sin x 3y = 0 x2 + y2 = 2 y 1 = 6 r = 2 sin 3 2 2 ( x + y dxdy = d D 6 4 sin 2 sin r 2 rdr = 15( 3 . 2 dxdy ,其中積分區(qū)域為 例 5 計算二重積分 D sin( x 2 + y 2 x2 + y 2 D = ( x, y | 1 x 2 + y 2 4 . 解 由對稱性，可只考慮第一象限部分， D = 4D1 D1 注意： 注意：被積函數(shù)也要有對稱性. D sin( x 2 + y 2 x2 +

2、y2 2 dxdy = 4 D1 sin( x 2 + y 2 x2 + y 2 dxdy = 4 d 0 2 1 sin r rdr = 4. r 例6 求曲線 ( x 2 + y 2 2 = 2a 2 ( x 2 y 2 和 x 2 + y 2 a 2 所圍成的圖形的面積. 解 根據(jù)對稱性有 D = 4D1 6 D1 在極坐標系下 x 2 + y 2 = a 2 r = a, ( x 2 + y 2 2 = 2a 2 ( x 2 y 2 r = a 2 cos 2 , 由 r = a 2 cos 2 ,得交點 A = (a, , 6 r=a 所求面積 = dxdy D = 4 dxdy D

3、1 = 4 d 6 a 2 cos 2 0 a rdr = a 2 ( 3 . 3 二、小結(jié) 二重積分在極坐標下的計算公式 f (r cos , r sin rdrd D = d 2 ( 1 ( f (r cos , r sin rdr. = d 2 0 ( 0 f (r cos , r sin rdr. f (r cos , r sin rdr. = d ( 0 （在積分中注意使用對稱性） 7 思考題 交換積分次序: I = 思考題解答 d 2 2 a cos 0 f (r , dr (a 0. D: 2 2 , 0 r a cos I = dr 0 a r a r arccos a arccos f ( r , d .

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