附加題速成教材2

1、高三理科班數(shù)學附加題速成教材（一）基礎知識 參數(shù)極坐標1.極坐標定義：M是平面上一點，表示OM的長度，是，則有序實數(shù)實數(shù)對,叫極徑，叫極角；一般地，。2.常見的曲線的極坐標方程（1）直線過點M,傾斜角為常見的等量關系：正弦定理，；（2）圓心P半徑為R的極坐標方程的等量關系：勾股定理或余弦定理；3.參數(shù)方程：（1）圓的參數(shù)方程： （2）橢圓的參數(shù)方程：（3）直線過點M,傾斜角為的參數(shù)方程：即， 即注：，據銳角三角函數(shù)定義， 的幾何意義是有向線段的數(shù)量；如：將參數(shù)方程為參數(shù)化為普通方程為 將代入即可，但是；如：直線為參數(shù)被圓截得的弦長為_ 直線為，弦長.4. 極坐標和直角坐標互化公式： 或，的象限

2、由點(x,y)所在象限確定.（1）它們互化的條件則是：極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合. （2）將點變成直角坐標，也可以根據幾何意義和三角函數(shù)的定義獲得。5. 極坐標的幾個注意點：（1）極坐標和直角坐標轉化的必要條件是具有共同的坐標原點(極點) 如：已知圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），若是圓與軸正半軸的交點， 以圓心為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求過點的圓的切線的極坐標方程。 答案：（3）直角坐標和極坐標一般不要混合使用：如：已知某曲線的極坐標方程為。 （1）將上述曲線方程化為普通方程； （2）若點是該曲線上任意點，求的取值范圍。 （二）基本計算1.求點的極坐標：有序實數(shù)實數(shù)對,叫極徑

3、，叫極角； 如：點的直角坐標是，則點的極坐標為 提示：都是點的極坐標.2. 求曲線軌跡的方程步驟： （1）建立坐標系；（2）在曲線上取一點P；（3）寫出等式； （4）根據幾何意義用表示上述等式，并化簡（注意：）；（5）驗證。 如：長為的線段，其端點在軸和軸正方向上滑動，從原點作這條線段的垂線，垂足為， 求點的軌跡的極坐標方程（軸為極軸），再化為直角坐標方程.解：設點的極坐標為，則，且， ，點的軌跡的極坐標方程為.由可得，其直角坐標方程為.3.求軌跡方程的常用方法：直接法：直接通過建立、之間的關系，構成,是求軌跡最基本的方法.待定系數(shù)法：可先根據條件設所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù),代回

4、方程代入法(相關點法或轉移法). 如：從極點作圓的弦,求各弦中點的軌跡方程. 解:設所求曲線上的動點的極坐標為, 圓上的動點的極坐標為由題設可知, 將其代入圓的方程得:.定義法：如果能夠確定動點軌跡滿足某已知曲線定義,則可由曲線定義直接寫出方程.交軌法(參數(shù)法)：當動點坐標之間的關系不易直接找到,也沒有相關動點可用時,可考慮將、均用一中間變量(參數(shù))表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù)得普通方程.4.參數(shù)和極徑的幾何意義的運用：表示OM的長度；幾何意義是有向線段的數(shù)量；如：已知過點的直線與軸正半軸、軸正半軸分別交于A B兩點，則AB最小值為 答案：提示：設傾斜角為，則或AB=， 則， 令， 所以， 注

5、意：本題可以取傾斜角的補角為 5.參數(shù)方程的應用-求最值： 如：已知點是圓上的動點，（1） 求的取值范圍；（2） 若恒成立，求實數(shù)的取值范圍。答案（1）. （2） .如：在橢圓上找一點，使這一點到直線的距離的最小值.解：設橢圓的參數(shù)方程為， 當，即時，此時所求點為.典型例題1O1和O2的極坐標方程分別為（1）把O1和O2的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）求經過O1，O2交點的直線的直角坐標方程解（1）O1的直角坐標方程為；O2的直角坐標方程為（2）2求直線被圓截得的弦長解 23在極坐標系中，直線的方程為，求點到直線的距離解 2說明 設計極坐標的問題，一般采取首先將極坐標轉化為直角坐標，得出結論后再轉化為極坐標4已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)）和圓的極坐標方程：（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）判斷直線和C的位置關系解（1）直線的普通方程為；C的直角坐標方程為（2）直線和C相交5已知橢圓的極坐標方程為，點，為其左，右焦點，直線的參數(shù)方程為（1）求直線l和曲線C的普通方程；（2）求點，到直線的距離之和.解（1）直線普通方程為；曲線的普通方程為 （2）6已知M橢圓（a>b>0）上在第一象限的點，A（a，0）和B（0，b）是橢圓的兩個頂點，O為原點，求四邊形MAOB的面積的最大值。解說明 重點掌握極坐標方程與直角坐標方程