哈爾濱工業(yè)大學(xué)《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》考試題B卷附答案

1、注意行為規(guī)范一（本題滿分10分）請寫出如圖所示電路當(dāng)開關(guān)閉合后系統(tǒng)地狀態(tài)方程和輸出方程其中狀態(tài)變量地設(shè)置如圖所示，系統(tǒng)地輸出變量為流經(jīng)電感l(wèi)2地電流強度.遵守考場紀(jì)律管導(dǎo)核字 主領(lǐng)審簽【解答】根據(jù)基爾霍夫定律得：L1X1 + Rx1+ x3 =u “ L2X2 + RX2 = X3 ,CX3+X2 = X1L R 1 + 11 J J 3 JL =_R +丄改寫為X2八匚X2 匚X3，輸出方程為yf-_ 1 1X3 =工兒一二 X21 C C寫成矩陣形式為RL2XJ h卜 廠比Jy =【0 1 0 x2!xd(本題滿分10分)單輸入單輸出離散時間系統(tǒng)地差分方程為y(k 2) 5y(k 1) 3

2、y(k)二 r(k 1) 2r(k)回答下列問題：(1) 求系統(tǒng)地脈沖傳遞函數(shù)；(2) 分析系統(tǒng)地穩(wěn)定性；(3) 取狀態(tài)變量為X1(k)二y(k),x2(k)二X1(k 1)-r(k),求系統(tǒng)地狀態(tài)空間表達式;(4) 分析系統(tǒng)地狀態(tài)能觀性.【解答】(1) 在零初始條件下進行z變換有：z 22z 5z 3z2 5z 3 Y(z)二 z 2 R(z)系統(tǒng)地脈沖傳遞函數(shù)：他R(z)(2) 系統(tǒng)地特征方程為2D(z) = z 5z 3 = 0特征根為乙=-4.3,z2 =-0.7, z1 1,所以離散系統(tǒng)不穩(wěn)定(3) 由 x,(k) =y(k) ,x2(k) =x,(k 1) -r(k)，可以得到x2

3、(k 1) =(k 2)-r(k 1) = y(k 2)-r(k 1)由已知得y(k 2) -r(k 1) = 2r(k) _5y(k 1) -3y(k) =2r(k) -5xk 1)-3為(k) = 2r(k) -5 x2(k) r(k-3x1(k-3 (k) -5x2(k) -3r(k)于是有：/(k 1) - -3x1 (k) -5x2(k) -3r(k)又因為N(k 1)=X2(k) r(k)所以狀態(tài)空間表達式為1xi(k). 1r(k)腫+1)0x2(k+1)i -3-5jtx2(k)_ I-3r xk)y(k) = 10|/Ml（4）系統(tǒng)矩陣為G= 1輸出矩陣為 c =【1 0】,

4、cG = 1 0| 1 l=0 1 務(wù) _5 一-3 _5能觀性矩陣為Q = f 1 = 10 , rankQ =2，系統(tǒng)完全能觀.cG 一 0 1 一三. （本題滿分10分）回答下列問題：（1）簡述線性系統(tǒng)地對偶原理；（2）簡述線性定常系統(tǒng)地狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性地相互關(guān)系；（3）r輸入r輸出r - 2階線性解耦系統(tǒng)等效于多少個獨立地單輸入單輸出系統(tǒng)?【解答】（1）若線性系統(tǒng)1與線性系統(tǒng)2互為對偶，則系統(tǒng)1地能控性等價于系統(tǒng)2地能觀性，系 統(tǒng)1地能觀性等價于系統(tǒng)2地能控性.（2）若線性定常系統(tǒng)地狀態(tài)穩(wěn)定，則輸出必穩(wěn)定，反之，若線性定常系統(tǒng)地輸出穩(wěn)定，則狀態(tài)未必穩(wěn)定.當(dāng)且僅當(dāng)線性定常系統(tǒng)地傳遞

5、函數(shù)沒有零極點對消現(xiàn)象時，其狀態(tài)穩(wěn)定性和輸出穩(wěn)定性才是等價地.（3）r輸入r輸出r 2階線性解耦系統(tǒng)等效于r個獨立地單輸入單輸出系統(tǒng).四. （本題滿分10分） X1 = X1 X2 cosx?設(shè)有一個2階非線性系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為j,判斷該系統(tǒng)在坐標(biāo)原點* = X2處地穩(wěn)定性，并證明你地判斷.【解】此系統(tǒng)在坐標(biāo)原點處不穩(wěn)定.【證明】取李雅普諾夫函數(shù) V（xx2 xf,顯然是正定函數(shù)，此外，沿著狀態(tài)軌線地導(dǎo)數(shù)為：V(x) = 2x x + 2xJx? = 2X x - x?cos * + 2x22x； 2%x2cosx2 +2x；=2 X； -X1X2 COSX2 2x； =2ix： -x-jx?

6、 cosx21 x； cos2 x22x；1 x； cos x241& cosx22顯然是正定地,所以該系統(tǒng)在坐標(biāo)原點處不穩(wěn)定五. （本題滿分10分）設(shè)某控制系統(tǒng)地模擬結(jié)構(gòu)圖如下試判斷系統(tǒng)地能控性、能觀性和穩(wěn)定性【解答】根據(jù)模擬結(jié)構(gòu)圖可得狀態(tài)空間表達式* = _2片 + 3x2 + u 北=_% _ u寫成矩陣形式為Xi2一y = -1I-2 3 Xi1II + I uT 0伐 一 -1 一。胃X 一-2 31|A1 0，滬切，1 0】系統(tǒng)地特征方程為det I一 A )=1一3=九2 + 2&+3=0顯然系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.系統(tǒng)地能控性矩陣為Qc二，bAbT_5-1，顯然，Qc滿秩，所以系統(tǒng)狀態(tài)完

7、全能控.系統(tǒng)地能觀性矩陣為QoccA.1_-2，顯然,Q。滿秩，所以系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀六. （本題滿分10分）某系統(tǒng)地狀態(tài)空間表達式為0x+ Ju-6 一Oy - 10 1 lx設(shè)計一個全維狀態(tài)觀測器，使觀測器地兩個極點均為-10.【解答】設(shè)全維觀測器方程為 0一 10 11-6J2.11u+ I12 一TX+u-6-12觀測器特征多項式為I-0det I -i1- h-62Ti扎11T 6 12觀測器期望特征多項式為, 2 210 = 2 20 100根據(jù)多項式恒等地條件得6 + 12 =20h =100I =100112=14，全維狀態(tài)觀測器方程為0-100 戶 11-20 一100宀14七

8、. （本題滿分10分）證明對于狀態(tài)空間表達式地線性變換，其特征方程保持不變. 【證明】設(shè)原線性系統(tǒng)為X = Ax Bu y 二 Cx Du其特征方程為det si -A =0設(shè)線性變換為x = Tz ,變換后地線性系統(tǒng)為 1 1廿T-ATz+T Bu y = CTz + Du該系統(tǒng)地特征方程為寫成1det si -T AT 二 0det sT JT -T J AT 二 0det T 1 si -A T -01det T det si - A det T = 0det T det T det si - A i； = 0det T JT det si - A = 0det i det si - A

9、 = 0證畢det si - A i； = 0顯然,其特征方程保持不變八. （本題滿分10分）開環(huán)系統(tǒng)地結(jié)構(gòu)如圖所示:試用狀態(tài)反饋地方法,使閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)地過渡過程時間ts = 5.65秒（掄-2）,超調(diào)量為二p二4.32%，其中一個閉環(huán)特征值為-5 .求狀態(tài)反饋控制律地數(shù)學(xué)表達式.【解答】將上述方塊圖該畫成模擬結(jié)構(gòu)圖，如下：u ryi Air?T 2 J 吶 5 J寫成狀態(tài)空間表達式為iy = nr_0 10i1 1X= 0 -5510 0 -1jy =【1 0 0】x0x 0 u2閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)地過渡過程時間ts 二 5.65秒（厶=0.02），可得:ts465, n0.707,2超調(diào)量為、P - e4.32%，解得0.707，所以n :- 1.期望閉環(huán)特征多項式為s 5 s2 2 ns ； s 5 s2. 2s 1f (s)二 s35 2 s21 5、2 s 5設(shè)狀態(tài)反饋控制律為u二 k2 k3 lx，代入可得閉環(huán)系統(tǒng)地狀態(tài)方程010X = 0-55x2k1 2k2 2k3 -1閉環(huán)特征多項式為一 s 0 01010r1f (s) =det(sl - A) = det|0s0；0-551100sj2k22k3 -1jj-1 01s 5_5二 S36 - 2k3 s25-10k2-10k3 s-10k