常見的個離散動態(tài)系統(tǒng)模型

1、常見的三個離散動態(tài)系統(tǒng)模型要理解并預(yù)測由差分方程 X" =Axn所描述的動態(tài)系統(tǒng)的長期行為或演化,關(guān)鍵在于掌握矩陣A的特征值與特征向量在本節(jié)中，我們將通過應(yīng)用實例來介紹矩陣對角化在離散動 態(tài)系統(tǒng)模型中的應(yīng)用這些應(yīng)用實例主要針對生態(tài)問題，是因為相對于物理問題或工程問題 它們更容易說明和解釋，但實際上動態(tài)系統(tǒng)在許多科學(xué)領(lǐng)域中都會出現(xiàn)分布圖示引言教師職業(yè)轉(zhuǎn)換預(yù)測問題區(qū)域人口遷移預(yù)測問題捕食者與被捕食者系統(tǒng)內(nèi)容小結(jié)課堂練習習題4-5例題選講例1(E01)(教師職業(yè)轉(zhuǎn)換預(yù)測問題)某城市有15萬人具有本科以上學(xué)歷，其中有 1.5萬人是教師，據(jù)調(diào)查，平均每年有10%的人從教師職業(yè)轉(zhuǎn)為其他職業(yè)，只有

2、1%的人從其他職業(yè)轉(zhuǎn)為教師職業(yè)，試預(yù)測10年以后這15萬人中還有多少人在從事教育職業(yè)。用Xn表示第n年后做教師職業(yè)和其他職業(yè)的人數(shù)，則X0 =1.513.5 '用矩陣A=(aj)=卩.9° 0.01 j表示教師職業(yè)和其他職業(yè)間的轉(zhuǎn)移，其中電.10 0.99 丿=0.90表示每年有 90%的人原來是教師現(xiàn)在還是教師；a?" =0.10表示每年有10%的人從教師職業(yè)轉(zhuǎn)為其他職業(yè)。顯然0.011.5 1.485 1D (=I0,99 AJ3.5 丿 *3.515 丿即一年以后，從事教師職業(yè)和其他職業(yè)的人數(shù)分別為1.485萬和13.515萬。又2八nX2 二 AX1 =A

3、X0 ,Xn = Xn 4 = A X0 ,所以X10二A10X0,為計算A10先需要把A對角化。x1 =Ax00.90©.10E -a = -0.9-0.1-0.01九一0.99一0.9)( ' 0.99) 0.001 二 2 1.89 0.8 9 10.0 0 1Y2 -1.89，0.890 =0/'1 =1, j.2 =0.89 ,'1 = /-2，故A可對角化.P2令 P =（Pl, p2）=廣11 ,一11IP-*AP =A =0.89，A”P，A10”0p，而 p A-1們11=11、111101 丿 11Q0-1丿_ 10 111 丫10 丫11

4、 丫1.5、X10 =PA P-X0:|一火101 1-UJ3.5 J11Q00.89 丿 *0-10 0.311817 1011 QO1 Y 1.51.5425 ii i=i1 丿Q3.5 丿 Q3.4575 丿所以10年后，15萬人中有1.54萬人仍是教師，有13.45萬人從事其他職業(yè)。例2 （區(qū)域人口遷移預(yù)測問題）使用§ 3.7中的人口遷移模型的數(shù)據(jù)，忽略其它因素對人口規(guī)模 的影響，計算2022年的人口分布.解遷移矩陣M*0.95©050.12、的全部特征值是 人=1, ?吃=0.83,其對應(yīng)的特征向量0.88 丿分別是2.4，p2 =2.41 ''1

5、 0 '1 0、-令 P =（P1, P2 ）=，有 PJMP =，則 M = PPU T0.83 丿,0 0.83 丿因為='2,故M可對角化.因2002年的初始人口為X0_ 5000000-7800000,故對2022年,有x20 =Mx19 -=M20xPM20P4x02.41 丫1T八0°20 24 1 ' 500000089381450.83201-178000003861855將I =1代入（E A） x=0，得其對應(yīng)特征向量將j =0.89代入（E _A） x=0，得其對應(yīng)特征向量例3 （捕食者與被捕食者系統(tǒng)）某森林中，貓頭鷹以鼠為食記貓頭鷹和鼠

6、在時間 n的數(shù)量為Xn = n ，其中n是以月份為單位的時間，On是研究區(qū)域中的貓頭鷹，Mn是鼠的Z丿數(shù)量（單位：千）假定生態(tài)學(xué)家已建立了貓頭鷹與鼠的自然系統(tǒng)模型：O 卅=0.4On +0.3MM書=pOn +1.2M其中p是一個待定的正參數(shù)第一個方程中的0.4On表明，如果沒有鼠做食物，每個月只有40%的貓頭鷹可以存活，第二個方程中的1.2M n表明，如果沒有貓頭鷹捕食，鼠的數(shù)量每個月會增加20%.如果鼠充足，貓頭鷹的數(shù)量將會增加0.3Mn，負項- pOn用以表示貓頭鷹1000 p只）.當捕的捕食所導(dǎo)致野鼠的死亡數(shù)（事實上，平均每個月一只貓頭鷹吃掉鼠約Xn 二 PAP 如。'2<

7、;160.55n1301.051x°c10.55nc21.05n'6 '<13j假定c20，則對總夠大的n , 0.55n趨于0，進而Xn:c2p2 = C2 1.05n食參數(shù)p =0.325時，則兩個種群都會增長.估計這個長期增長率及貓頭鷹與鼠的最終比值0.40.3、解 當p =0.325時，（1）的系數(shù)矩陣 A =，求得A的全部特征值c 0.325 1.2 y2%、0.55，花=1.05，其對應(yīng)的特征向量分別是pi =,P2 =<13,'26、初始向量 X0 =C1P1 +C2P2 .令 P=（P1,P2 ）=，當n H0時，貝yJ 13n越大（2）式的近似程度越高，故對于充分大的nXn十禿 01.05=1.05Xn訂3丿（3）式的近似表明，最后Xn的每個元素（貓頭鷹和鼠的數(shù)量）幾乎每個月都近似地增長了0.05倍，即有5%的月增長率.由式知，Xn約為6,13 -的倍數(shù)，所以Xn中元素的比值約為6: 13,即每6只貓頭鷹對應(yīng)著約 13