數(shù)列通項(xiàng)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法例題練習(xí)測(cè)試

1、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和一、新課講授：求數(shù)列前N項(xiàng)和的方法1.公式法(1) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和:特別的，當(dāng)前n項(xiàng)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，S2k 1 (2k 1)gak 1，即前n項(xiàng)和為中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。這個(gè)公 .一 "I式在很多時(shí)候可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。(2) 等比數(shù)列前n項(xiàng)和：q=1 時(shí)，Sn nai q 1, Sn &11 q ，特別要注意對(duì)公比的討論1 q(3) 其他公式較常見(jiàn)公式:1、Sn1n(n 1)2、Sn21n(n 1)(2 n 1)63、Snk3 Jn(n 1)2k 12例 1已知 log3X，求 x x2 x3log2 3例 2設(shè) Sn = 1+2+3+n n N*,求 f(n)的前

2、n項(xiàng)和.(nSn32)Sn 1的最大值.2錯(cuò)位相減法II這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an bn 的前n項(xiàng)和，其中an、bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1例4求數(shù)列2二,前n項(xiàng)的和.2 22 23 2n練習(xí)：求：SH=1+5x+9f+ +(4n-3)/1-1答案：當(dāng) x=1 時(shí)，Si=1+5+9+ (4n-3) =2n2-n當(dāng) x 工 1 時(shí)，Sn=11-x4x(1-和-3) x°3. 倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序)，再把

3、 它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)(ai an).例 5求 sin 1 1例9求數(shù)列一 ，一r,的前n項(xiàng)和. 2、3. n 51 sin22 sin2 3 sin2 88 sin2 89 的值4. 分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可1 1 1例6求數(shù)列的前n項(xiàng)和：11,一 4,7, ,-y 3n 2，a aa111 1練習(xí)：求數(shù)列12，2 4，38'?，(n 2?)，?的前n項(xiàng)和。5. 裂項(xiàng)法求和士中 I / 'i 丁j i這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)

4、是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解,然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解(裂項(xiàng))女口：(1) an f (n 1) f (n) (2) sin1 tan(n 1) tan ncos n cos(n 1)(3)an1n(n 1)(4)an(2n)2(2n 1)(2 n1)12(2n 12：1)(5)n(n 1)(n2)2【n(n 1)(n 1)( n2)(6)ann 2n(n 1)I12(n1) n 12n n(n 1)2n(n 1)2n，則 Sn 11(n 1)2n例10在數(shù)列an中，an，又 bnn 12an an 1求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.例11求證:1cos0 cos1

5、1cos1 cos21cos12cos88 cos89sin 1解：設(shè)S1cos0 cos11cos1 cos21cos88 cos891=(ta n 89sin 1a。）=冊(cè)=爲(wèi) 原等式成立1 111練習(xí)：求3153563之和。sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n (裂項(xiàng))1cos0 cos11cos1 cos2(tan 1 tan 0 ) (tan 2 sin 1(裂項(xiàng)求和)cos88 cos89tan1 ) (tan3tan2 ) tan 89 tan 88 6. 合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，

6、可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求sn.例 12求 cos1° +cos2° +cos3° +cos178° +cos179。的值.例14在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若 a5a6 9,求log 3 a1 log3 a2log 3 a10的值.7. 利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的 規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例 15求 1 11 1111111 之和.n個(gè)1練習(xí)：求5，55，555,，的前n項(xiàng)和。以上一個(gè)7種方法雖然各有其特點(diǎn)，但總的原則是要善于改變?cè)瓟?shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使其能

7、進(jìn)行消項(xiàng)處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來(lái)解 決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。求數(shù)列通項(xiàng)公式的八種方法、公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)、累加、累乘法1、累加法適用于：an 1anf(n)a2 ai f(1)a3 a2 f 右 an i anf (n) (n 2)，則 llan 1 anf(n)n兩邊分別相加得an i aif(n)k 1例1已知數(shù)列an滿足an 1an 2n 1，a11，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：由 an 1 an 2n 1 得 an 1 an 2n 1 則所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an n2例2已

8、知數(shù)列an滿足an1an23n1，33，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式|!X| FI/解法一：由an 1 an23n 1得1如2 3n 1則an (an an 1)(an1 an 2) L (a3a2) (a2 a1)a1(2 3n 1 1)(23n 21)L(2321) (2 311) 32(3n 13n 2L3231)(n1)3n 1、23(3)(n 1) 333n 3 n 1 33n n 1所以an3nn1.解法二：an3an2 3n 1兩邊除以3n1an 1ann 1n3313n1，則乩則3n1an2n33因此2(n 1)存13n 1)12n1 1n ?3n313322 3n則an2nn 31

9、3n1322f(n)an2、累乘法適用于：an 1若 an1f(n)，則a2f(1),竺f(2)丄 Lan 1f(n)ana1a2an兩邊分別相乘得，an 1naif (k)qk 1例3已知數(shù)列an滿足an 12(n1)5n an，印3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：因?yàn)?an 12(n 1)5n a., ai3，所以 anan 12(n 1)5n ，故an an1 L a3 a2 a1an 1 an 2a2 a12(n 11)5"12(n21)5"2 L 2(2 1)522(11)5132n 1n(n 1) L 3 2 5(n 1) (n 2) L 21 3n(n 1)3 2n

10、 1 5 2 n!n(n 1)所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3 2n1 5 2 nL、待定系數(shù)法適用于an 1 qanf(n)亠 f I _分析：通過(guò)湊配可轉(zhuǎn)化為an11f (n)2an1f (n);解題基本步驟：1、確定f(n)2、設(shè)等比數(shù)列an1f( n)3、列出關(guān)系式an 11f (n)4、比較系數(shù)求1，22【an，公比為21f( n)5、解得數(shù)列an1f(n)的通項(xiàng)公式6解得數(shù)列an的通項(xiàng)公式例4已知數(shù)列an中，a1 1,an 2an 1 1(n 2)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式精心整理解法一：Q an 2an i 1(n2),又Qai 1 2, an 1是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列an 1

11、 2n，即 an 2n 1解法二：Q an 2an 1 1(n2),兩式相減得an 1 an 2(an am)(n 2)，故數(shù)列an 1 an是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，再用 累加法的例5已知數(shù)列an滿足an 1 2an 4 3n 1,印1，求數(shù)列 務(wù) 的通項(xiàng)公式。解法一：設(shè)an 113n 2(an 3n1)，比較系數(shù)得14, 2 2，則數(shù)列an 4 3n1是首項(xiàng)為a1 4 31 15 ,公比為2的等比數(shù)列，所以 an 4 3n1 5 2n1，即 an 4 3n 1 5 2n 1解法二：兩邊同時(shí)除以3n1得： % 2肆弓，下面解法略3 3 33注意：例6已知數(shù)列an滿足an 1 2an3n

12、24n5，耳1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：設(shè)an 1x(n 1)2 y(n 1) z 2(a“xn2ynz)比較系數(shù)得x 3,y10,z 18，22所以 an 13(n 1)10(n 1) 182( an 3n 10n 18)由 a13 12101 181 31320，得 an 3n2 10n 180則 a. 1 3(n£2°2，故數(shù)列an 3n2 10n 18為以a13 12 10 1 18 1 3132an 3n2 10n 18為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此an 3n2 10n 18 32 2n 1，則務(wù)2n 4 3n2 10n 18。注意：形如an 2 pan 1

13、 qan時(shí)將an作為f(n)求解分析：原遞推式可化為an 2 an 1 (p)(an 1an)的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列an 1an為等比數(shù)列。例7已知數(shù)列a*滿足an 2 5an i 6an,61念 2，求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式解：設(shè) an 2 an 1 (5)(an 1an)比較系數(shù)得3或2，不妨取2，則 an 22 an 13(an 1 2an)，則 a. 12an是首項(xiàng)為4，公比為3的等比數(shù)列an 1 2an 4 3n 1，所以 an 4 3n 1 5 2n 1四、迭代法 例8已知數(shù)列an滿足an 1 a3(n図，冃5，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：因?yàn)閍n 1 a：(n訶，所以n(n 1)

14、又a1 5 ,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an 53"1 n!2 2 。注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、變性轉(zhuǎn)化法1、對(duì)數(shù)變換法適用于指數(shù)關(guān)系的遞推公式例9已知數(shù)列an滿足an 1 2 3n a；，& 7 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。.d/解：因?yàn)?an 1 2 3n a；, a1 7，所以 an 0， an 1 0。II兩邊取常用對(duì)數(shù)得Ig an 1 5lg an n Ig3 Ig 2設(shè) lgan 1 x(n 1) y 5(lg an xn y) (同類型四)比較系數(shù)得，x ©y必必4 164由 lg3 lg3 lg 2lg3 lg3 lg 2

15、lg3 lg3 Ig 2由 Iga11Ig7 10，得 Ig an n0，4 16441644164所以數(shù)列Igan n也 必是以Ig 7 也也必 為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，則41644164lganlg3nlg3lg2(lg7lg3 lg3lg2)5n1，因此41644164lg an(lg7lg3lg3lg 2)5n13nlg3lg241644641 11n11lg(7 34 3岳 24)5n 1 lg(34 3幣 2刁)111n 115“ 1lg(7 34 316 24)5 lg(34 316 24)5n 4n 15n 1 1lg(75n 1 3 162于)5n 4n 15n 1 1

16、n 1則 an753 162 4 。2、倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)例10已知數(shù)列an滿足an12anan2,a1求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：求倒數(shù)得1an 1112an1an 11an11為等差數(shù)列，首項(xiàng)1an 1an1，公差為a11 1(nan2V1), an3、換元法適用于含根式的遞推關(guān)系例11已知數(shù)列an滿足an1(1 4an 1 24an )，61，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。16解：令 bn ,1 24an，則 an-；(bn241)代入 an 1丄(1 4an 1 24an)得162 2即 4bn 1 (bn 3)因?yàn)?bn .240； 0，1 3則 2bn 1 bn

17、 3，即 bn 1 g2 21可化為 bn 1 3-(bn 3)，2所以bn 3是以b 3 . 1_24a1 3廠24一1 3 2為首項(xiàng)，以-為公比的等比數(shù)列，因此2bn 3 2(3 1 )n2，則 bn C)n 2 3，即,1 24an (丄)n 2 3，得2 2 2 2an2(4)n(1)n六、數(shù)學(xué)歸納法通過(guò)首項(xiàng)和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前法加以證明。n項(xiàng)，猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納例12已知數(shù)列an滿足ani a.8(n 1)2 2 ?(2n 1)2(2 n 3)28，求數(shù)列a"的通項(xiàng)公式解：由ani an啟晟及 ai 9，得ai由此可猜測(cè)an (2n 當(dāng) n=1 時(shí)，3 a

18、1 1)(a1 2)，解得 a1 1 或 a1 2611(an1 1)(am 2)21，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。(2n 1)22(1) 當(dāng)n 1時(shí)，a1 邑_1) 21 -，所以等式成立。(2 1 1)29I、/:， £ . | /2(2) 假設(shè)當(dāng)n k時(shí)等式成立，即ak (2k 1) 2 1，則當(dāng)n k 1時(shí)，k (2k 1)2由此可知，當(dāng)n k 1時(shí)等式也成立。根據(jù)(1)，( 2)可知，等式對(duì)任何n N*都成立。七、階差法1、遞推公式中既有Sn，又有anSn 1分析：把已知關(guān)系通過(guò)an轉(zhuǎn)化為數(shù)列an或Sn的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法Sn Sn 1 , n 2求解。II1例

19、13已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn -(an 1)(an 2)，且a2,a4,a9成等比6數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。1解：對(duì)任意 n N 有 Sn 1(an 1)(an 2)6精心整理-整理得：(an ani)(an an 13)0T an各項(xiàng)均為正數(shù)，二an an 1 3 當(dāng)ai 1時(shí)，an 3n 2，此時(shí)a4 a?a9成立當(dāng)ai 2時(shí)，an 3n 1，此時(shí)a： a?a9不成立，故ai 2舍去所以an 3n 22、對(duì)無(wú)窮遞推數(shù)列例14已知數(shù)列an滿足a11，an a1 2a23a3 L (n 1)an1(n 2)，求an的通項(xiàng)公式解：因?yàn)?an a1 2a2 3a3L (n 1)an 1(n2) 所以 an 1 a1 2a2 3a3 L(n 1)an 1 nan用式一式得an 1 an nan.則an 1(n 1)an(n 2)故也ann 1(n2)所以anan_3n 1Lan 1an 2a3 a2n(n 1) L 4a2n!3a2 a2.2ana12a2 3a3(n1)an 1(n2)，取n 2得a2a12a2，則 a2a1，又知 a11，則 a21，代入得an 1 3 4 5 Ln!。2所以，an的通項(xiàng)公式為an八、不動(dòng)點(diǎn)法D，使f (Xo) Xo成立，則稱Xo為f (x)不動(dòng)