一個(gè)三角形不等式猜想的證明及聯(lián)想

1、一個(gè)三角形不等式猜想的證明及聯(lián)想安徽省太和縣第二小學(xué) 任迪慧 郵編 236635摘要：我首先給出一個(gè)三角形不等式猜想的證明，其次與其它三角形不等式相聯(lián)系，進(jìn)一步聯(lián)想出若干新三角形不等式，其目的想培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力！關(guān)鍵詞：三角形不等式; 猜想；證明; 聯(lián)想；新三角形不等式; 創(chuàng)新能力！ 為供讀者閱讀方便，特將有關(guān)符號(hào)規(guī)定為:a、b、c、R、r、p和S分別為ABC的三條邊、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑、半周長(zhǎng)和面積。、分別為ABC的三中線長(zhǎng)。 眾所周知，在ABC中，有，因此我猜想有下面的：定理1. 在ABC中，求證 ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立。證明 在ABC 中，有p24R24Rr3r2 ，于

2、是得abbcacp24Rrr24(Rr)2, 又abbcac3,整理得 abc(Rr)3，又3,從而得. ,其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立. 定理1是一個(gè)極好的三角形不等式，它與其它三角形不等式相聯(lián)系，可聯(lián)想出許多新三角形不等式，詳述如下:定理2.在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 在ABC中，有1 。 由和定理1可證得定理2。其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論1. 一般地，在ABC中，有。n.請(qǐng)讀者自證。定理3. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明: 在ABC中，有2 由和定理1可得定理3. 其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形

3、時(shí)成立.推論2. 一般地，在ABC中，有 n. 定理4. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 在ABC中，有3 ，由和定理1可得定理4. 其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論3. 推論4 一般地，在ABC中，有n. 定理5. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 在ABC中，有4 ， ，由和定理1可得定理5. 其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論5 。一般地，在ABC中，有 n。定理6. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 在ABC中，有5 ，由可得，由上式和定理1可得定理6. 其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為

4、正三角形時(shí)成立.推論6. 一般地，在ABC中，有，。n定理7. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 在ABC中，有6 ，上式兩邊同乘得，上式整理得，在ABC中，有，由上兩式可得，由上式和定理1可得定理7。其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論7. 一般地，在ABC中，有， n。定理8. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 在ABC中，有【7】，由和可得，由上式和定理1可得定理8。其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論8. 定理9. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 在ABC中，有，上式變?yōu)?,由和定理1

5、可得定理9.其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論9. 一般地，在ABC中，有， n。定理10. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 在ABC中，有 ，由和定理1可得定理10.其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論10一般地，在ABC中，有，n。定理11. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 在ABC中，有8 ，由和定理1可得定理11，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論一般地，在ABC中，有， 定理12. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 在ABC中，有9 ，由和定理1可得定理12. 其中等號(hào)

6、當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論12. 一般地，在ABC中，有。定理13. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 由中線公式，由余弦定理，由上兩式整理得，同理得，由、和整理得， 由和定理1可得定理13。其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論13一般地，在ABC中，有，定理14. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 在ABC中，有10 ，由和定理1可得定理14。其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論14. 一般地，在ABC中，有，。定理15. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 在ABC中，有11 ，。

7、由和定理1可得定理15。其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論15. 一般地，在ABC中，有，定理16. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 在ABC中，有12 ，由和定理1可得定理16。其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論16. 一般地，在ABC中，有定理17. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 在ABC中，有13 ，由和定理1可得定理17。其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論17. 一般地，在ABC中，有，。定理18. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 在ABC中，有14 ，由和定理1可

8、得定理17.其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論18. 一般地，在ABC中，有，定理19. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 由和整理得由可得，由上兩式可得，由上式可推得，如此反復(fù)推演可得。由和定理1可得定理19. 其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論19. 定理20. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明: 由可得，由和定理1可得定理20。其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.推論20. 。 定理21. .在ABC中，求證 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時(shí)成立.證明 由知，由上式可推得，由和定理1可得推論21。推論21. 一

9、般地，在ABC中，有上述諸定理及推論與其它三角形不等式相聯(lián)系，又可得許多新三角形不等式，今舉幾例，其它讀者仿此導(dǎo)出。例1. 在ABC中，求證證明 在ABC中，有，由上式和定理2可得例1。例2. 在ABC中，求證 證明 在ABC中，有，由上式和定理2可得例2。例3. 在ABC中，求證 證明. 在ABC中，有，由上式可推論1可得例3.例4 在ABC中，求證證明 在ABC中，有，由上式和推論1可得例4。例5. 在ABC中，求證證明 在ABC中，有，由上式和推論2可得例5。例6. 在ABC中，求證證明 在ABC中，有，由上式和推論2可得例6。 繼續(xù)聯(lián)想，還可得許多新三角形不等式，下面提供數(shù)例，其證明留

10、給讀者。1.2.3. 4. 5.6. 7.8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.18.19.20.21. 222324.25. 26.27. 28.29.30.31.32.33.34.35.36. 37.38. 限于篇幅，其它諸例不再祥述。結(jié)束語:對(duì)一個(gè)三角不等式進(jìn)行猜想、聯(lián)想，往往可得到許多新結(jié)論，我認(rèn)為這樣的思維方式可培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力！參考文獻(xiàn)1 任迪慧 全國(guó)第五屆不等式學(xué)術(shù)年會(huì)論文集M p2532 任迪慧 關(guān)于常見三角形不等式結(jié)論的更新j <<數(shù)學(xué)教學(xué)研究>>2002 2:393 任迪慧 關(guān)于常見三角形不等式結(jié)論的更新j <

11、;<數(shù)學(xué)教學(xué)研究>>2002 2:414 任迪慧 全國(guó)第八屆初等數(shù)學(xué)研究學(xué)述交流會(huì)論文集M P915 任迪慧 全國(guó)第八屆初等數(shù)學(xué)研究學(xué)述交流會(huì)論文集M P916 任迪慧 全國(guó)第五屆不等式學(xué)術(shù)年會(huì)論文集M p2557 任迪慧 全國(guó)第五屆不等式學(xué)術(shù)年會(huì)論文集M p2588 任迪慧 全國(guó)第八屆初等數(shù)學(xué)研究學(xué)述交流會(huì)論文集M P949 任迪慧 常見三角形不等式結(jié)論的更新j<< 中國(guó)初等數(shù)學(xué)研究>>No.4 2012 p4610 任迪慧 全國(guó)第五屆不等式學(xué)術(shù)年會(huì)論文集M p26011 任迪慧 全國(guó)第八屆初等數(shù)學(xué)研究學(xué)述交流會(huì)論文集M P9312 任迪慧 全國(guó)第八屆初等數(shù)學(xué)研究學(xué)述交流會(huì)論文集M P9313 任迪慧 全國(guó)第八屆初等數(shù)學(xué)研究學(xué)述交流會(huì)論文集M P6814 任迪慧 全國(guó)第八屆初等數(shù)學(xué)研究學(xué)述交流會(huì)論文集M P95作者簡(jiǎn)介： 任迪慧，男，生于1965年5月4日 ，畢業(yè)于安徽省教育學(xué)院數(shù)學(xué)系，本科學(xué)歷，小學(xué)高級(jí)教師，從教于安徽省太和縣第二小學(xué)?？h教壇新星，省級(jí)骨干教師，阜陽市首批學(xué)科帶頭人。曾在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、安徽教育、數(shù)學(xué)教學(xué)研究、素質(zhì)教育、教育學(xué)文摘中國(guó)初等數(shù)學(xué)研究>>等刊物發(fā)表論文幾十篇，論文<&l