學(xué)生版高考與阿基米德三角形,可與圓錐曲線結(jié)合!

1、高考與阿基米德三角形一、主要概念及性質(zhì)1、定義：圓錐曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形。它的一些基本性質(zhì)有：2、主要性質(zhì)：性質(zhì)1 阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線上的軸。證明：設(shè)，為弦中點(diǎn)，則過(guò)的切線方程為，過(guò)的切線方程為：，聯(lián)立方程組得：解得兩切線交點(diǎn)，進(jìn)而可知軸。性質(zhì)2：若阿基米德三角形的底邊即弦過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)，則另一頂點(diǎn)的軌跡為一條直線。證明：設(shè)，由性質(zhì)1，所以有 。由三點(diǎn)共線知 即 將 代入得 即為點(diǎn)的軌跡方程。性質(zhì)3：拋物線以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行于點(diǎn)的軌跡。性質(zhì)4：若直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，以上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn)。證明：設(shè)方程為，且，

2、弦過(guò)點(diǎn)，由性質(zhì)2可知點(diǎn)的軌跡方程為，該方程與表示同一條直線，對(duì)照可得，即弦過(guò)定點(diǎn)。性質(zhì)5：底邊長(zhǎng)為的阿基米德三角形的面積的最大值為。證明：，設(shè)到的距離為，由性質(zhì)1知設(shè)直線的方程為 ，則，所以。性質(zhì)6：若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積的最小值為。證明：由性質(zhì)2，若底邊過(guò)焦點(diǎn)，則，點(diǎn)的軌跡方程是，即為準(zhǔn)線；易驗(yàn)證，即，故阿基米德三角形為直角三角形，且為直角頂點(diǎn)。所以 而性質(zhì)7 ：在阿基米德三角形中，。證明：如圖，作準(zhǔn)線，準(zhǔn)線，連接，則，顯然，所以 ，又因?yàn)?，由三角形全等可得，所以同理可得 所以 性質(zhì)8：證明：而 性質(zhì)9 的中點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)處的切線與平行

3、。證明：由性質(zhì)1知，可得點(diǎn)坐標(biāo)為，此點(diǎn)顯然在拋物線上；過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，結(jié)論得證。二、例題解析1（2008年江西卷理科第21題）21（本小題滿分12分）設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，定點(diǎn).（1）求證：三點(diǎn)共線。（2）過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，試求的重心所在曲線方程.2（2008年山東卷理科第22題）如圖，設(shè)拋物線方程為，為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為（）求證：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求此時(shí)拋物線的方程；（ ）是否存在點(diǎn) ，使得點(diǎn) 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn) 在拋物線 上，其中，點(diǎn) 滿足 （ 為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在，求出所有適合題意的點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存

4、在，請(qǐng)說(shuō)明理由 3（2007年江蘇卷理科19題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)軸正方向上一點(diǎn)任作一直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于，（1）若，求的值；（5分）（2）若為線段的中點(diǎn)，求證：為此拋物線的切線；（5分）（3）試問(wèn)（2）的逆命題是否成立？說(shuō)明理由。（4分）4（2005年江西卷理科22題）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB.5（2006年全國(guó)卷2 理科第21題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A、B是熱線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且過(guò)A、B兩

5、點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M。（I）證明為定值；（II）設(shè)的面積為S，寫(xiě)出的表達(dá)式，并求S的最小值。廣東?？荚囶}19. （本小題滿分14分）2010屆廣州二模已知拋物線:的焦點(diǎn)為,、是拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的不同兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)、處的切線分別為、，且，與相交于點(diǎn).(1 求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；(2 證明：、三點(diǎn)共線；(3 假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)且與、都相切的圓，若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18. (本題滿分13分2009韶關(guān)一模已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與定直線相切.（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；（II）若、是軌跡C上的兩不同動(dòng)點(diǎn)，且. 分別以、為切點(diǎn)作軌跡C的切線，設(shè)其交點(diǎn)Q，證明為定值.20（本小題滿分14分）2010年深圳市高三年級(jí)第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)；橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線、，切