制陶材料強度的優(yōu)化設計

1、承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置報名號的話）： 所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?/p>

2、）： 西安理工大學 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 2010 年 7 月 12 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2010高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：1制陶材料的優(yōu)化設計模型摘要本文首先從回歸分析這個角度，建立了線性同歸、二次非線性同歸兩種模型。其中通過線性回歸模型的求解和模型驗證，發(fā)現(xiàn)目標函數(shù)的非線性性質(zhì)，然后利用

3、二次回歸模型確定最優(yōu)工藝條件。得到最大強度為1291，并獲得相應的最優(yōu)工藝等級條件為：最后，我們針對現(xiàn)有試驗方法數(shù)據(jù)難于處理且數(shù)據(jù)的信息不夠全面等缺點，提出用正交試驗方法來改進原有的試驗方案，并且給出了正交試驗方法的簡要介紹和優(yōu)點闡述。關鍵詞：線性回歸 二次回歸 最優(yōu)工藝條件 正交實驗設計1 問題重述硅酸鹽（）制陶材料是一種強度高、耐磨、抗氧化和耐高溫的材料，它廣泛應用于高溫結構的材料中，如切割工具、齒輪、內(nèi)燃機部件及航空、航天飛行器的有關部件等。影響這種材料的強度因素有：A：加熱方案，=兩步，=一步;(其中“兩步”包括“一步”上的預燒結階段)。B：四種燒結添加劑的總量，14摩爾%，16摩爾%

4、，18摩爾%。C：的含量，0.0摩爾%，1.0摩爾%，2.0摩爾%。D：的摩爾%與的摩爾%的比率， =1:1，=1:2，=1:6。E：的摩爾%與的摩爾%的比率，=2:1，=1:1，=1:4。F：燒結溫度，=1800，=1850，=1900。G：燒結時間，=1h，=2h，=3h。為了尋找使得該種材料的強度達到最高的工藝條件，特此安排了如下試驗方案，測量數(shù)據(jù)見表1-1：試驗號因素A B C D E F G 強度11 2 2 1 3 1 3996.8 783.6 796.921 2 1 2 2 3 1843.8   816.2   714.3 

5、60; 824.431 3 2 1 2 3 2647.1   667.9   534.3   617.741 3 2 1 2 3 2616.3  552.3   552.6   596.051 3 1 2 1 2 3517.8  526.1   498.1  499.561 3 3 3 3 1 11002.0 1097.0 882.9 940.171 1 2 2 3 2 1806.5  933.5    964.9&

6、#160;  1046.081 1 1 3 2 1 2801.5  803.2   846.2   756.491 1 3 1 1 3 3739.2   863.3    797.0   929.6102 2 2 3 1 3 1615.0  627.5   583.9   597.1   563.9112 2 1 1 3 2 2795.9   854.0   937.0

7、0;  999.2   724.8122 2 3 2 2 1 3850.9  921,8   990.6   943,5   840.9132 3 2 2 1 1 2513.0  665.9   718.9   646.4142 3 1 3 3 3 3831.3  981.4   912.5   950.7   987.3152 3 3 1 2 2 1806.1  9

8、08.1   627.6   855.0162 1 1 3 2 2 3727.3  643.9   584.0   643.4   602.1172 1 1 3 2 2 3836.8  716.3   862.9   796.2182 1 3 1 1 1 11001.0 937.6   955.3   955.8    1009.0表1-1陶瓷實驗方案及強度數(shù)據(jù)表注：因素欄中數(shù)

9、字“i”表示因素在試驗中處于第i水平。1.跟進表1-1的測量數(shù)據(jù)，試建立合理的數(shù)學模型，并對結果進行分析； 2.尋找使得強度最大的最優(yōu)的工藝條件； 3.對你所建立的模型進行誤差分析并做出評價； 4.你能否提出一種更合理的實驗設計計劃及實驗結果的分析方法？ 5.就你的研究對有關部門試寫一份申報科技進步獎的報告。2 基本假設2.1 所有添加劑的純度均為 100%；2.2 影響強度的7個因素是確定性變量，且彼此獨立，不考慮交互作用對強度的影響。3 符號說明表示影響強度的因素(i=1······7)表示第i個試驗號影響強度的第j水平第 i 個

10、試驗號所涮得材料強度平均值強度的平均值Yi的估計值回歸系數(shù)(i = 0，1，2，)隨機誤差(i= 0，1，2，)總的偏差平方和回歸平方和剩余平方和4 問題的分析 己知影響硅酸鹽制陶材料錨度的七個因素和其工藝級別參數(shù)（見表1-1），并且已經(jīng)知道一組不完備的試驗數(shù)據(jù)。我們的任務就是，通過研究現(xiàn)有試驗數(shù)據(jù)，了解七個因素對強度的作用關系 (即日標函數(shù))，并以此為據(jù)尋找最優(yōu)工藝條件，求出制陶材料最大強度。同時，我們還要對模型進行誤差分析，尋求更優(yōu)的試驗方法。5 模型的建立和求解5. 1 多元線性回歸模型(模型一) 在處理多因素關系時，一般采用回歸模型進行求解，所以假設七個因素與材料強度具有線性關系 其中

11、 都是未知參數(shù)，是隨機誤差，可以忽略. 利用線性最小二乘法可以得到的值分別為：629.4408 42.8293 -58.3049 48.512-18.4265 126.2689 25.8027 -24.075；得到多元線性回歸模型：5.2 模型一的假設檢驗：為檢驗Y與之間是否確有線性關系具體檢驗如下： 若拒絕，則說明Y與之間確有線性關系，若接受則說明 Y與之間不存在線性關系，就必須放棄線性回歸法由回歸平方和：剩余平方和：然后計算由matlab編程計算得到；F=2.4828；取顯著性水平，有F分布查表得：所以接受H。, 認為是非線性的，要建立非線性回歸模型。5.3 二次回歸模型 (模型二)根據(jù)問

12、題分析和假設可得各因素是互相獨立，故建立模型： 其中. 都是未知參數(shù). 是隨機誤差. 可以忽略. 把 18 組數(shù)據(jù)值代人，得：為了確定，直接利用統(tǒng)計工具箱的命令regress求解，使用格式為： 其中，就可以求得回歸系數(shù)的值分別為： 則二次非線性回歸模型為：5.4模型誤差分析和評價把的值代入以，為系數(shù)的二次非線性回歸模型方程，得到計算值，與題中給出的測量值比較，得到相對誤差為0.0235940.00411420.0373080.00626620.0312220.0191940.00583860.0175660.00821240.0302510.0282770.00506780.0185990.0

13、18710.00230230.0369760.0419030.0055831利用二次非線性回歸模型和測量值作圖，如下：圖(1)用Matlab編程和模型二的求解可以得到二次非線性回歸分析統(tǒng)計檢驗指標值如下：表2 回歸分析統(tǒng)計檢驗指標3.8521e+0053.8038e+0054.8274e+0030.987223.6850說明：越接近1，表明模型擬合的越好衡量數(shù)據(jù)的波動大小反映除去Y與之間的線性關系以外一切因素引起數(shù)據(jù)的波動反映由變量的變化引起的之間的波動，比較大，即引起數(shù)據(jù)的波動較大，但F檢驗的結果為23.6850，即七個因素的不同對結果產(chǎn)生顯著影響?？梢?，強度與工藝條件之間的關系為非線性的，

14、并從相對誤差分析和圖形可以看出多元非線性回歸模型可以較好的反映這個函數(shù)關系，具有較高的實用性。5.5 強度最大的最優(yōu)工藝條件的求解確定了確定了回歸方程后，我們進一步求解使得材料強度為最大的工藝條件，用Matlab編程（見附錄二）得到： 材料的最大強度1291對應各因素的水平數(shù)即最優(yōu)工藝條件為： A=一步 B=14摩爾% C=2.0摩爾% D=1:2E=1:4F=1800G=1h6 更合理的試驗計劃及試驗分析方法下面給出正交實驗設計的簡要定義和優(yōu)越性說明 正交實驗設計是借助預先定義好的“正交表”來安排試驗和對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析的一種試驗設計方法； 正交表，就是以試驗次數(shù)為行號，因素按列安排，表中內(nèi)

15、容為因素的水平值，具有整齊可比性和均衡搭配性的數(shù)表； 正交試驗方案的兩個特點： (1)每個因素的各個不同水平在試驗中出現(xiàn)了相同的次數(shù) (2)任何兩個因素的各種不同水平的不同搭配，存試驗中都出現(xiàn)了，即對任兩個因素是全面試驗，并且出現(xiàn)了相同次數(shù)可見，正交表設計的試驗具有很強的代表性，能夠比較全面地反映各因素各水平對指標影響的大致情況。為了方差分析的需要，在試驗設計時，一般要求留有空白列，而空白列的偏差平方和由隨機誤差產(chǎn)生。因此，對于本文提出的7因素水平測試問題，我們可以選用的正交表來優(yōu)化試驗安排，其中多余一列設置為空白項，對于試驗數(shù)據(jù)的處理，由于本試驗因素多，實驗次數(shù)也多，我們對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，

16、并利用方差分析法做統(tǒng)計量進行檢驗，從而解決了數(shù)據(jù)處理的問題。7 科技進步獎申報書7.1 申報項目內(nèi)容提要硅酸鹽制陶材料是一種強度高、耐磨性好的新型材料，廣泛應用工業(yè)生產(chǎn)中。這種材料可以采用反應燒結的工藝方法制造。燒成工藝中影響陶瓷的強度的因素有：加熱方案、燒結添加劑的總量與比率、燒結溫度、燒結時間等。分析影響因素A，B，C，D，E，F(xiàn)，G與強度的關系獲得強度的最大值?；谶@一原則建立以下各模型。第一，對問題最簡化，認為因素A，B，C，D，E，F(xiàn)，G對材料強度的影響是線性的，并且各因素都是獨立的，沒有交互作用，建立最簡單的模型即多元線性回歸模型，計算得到結果，并進行驗證，發(fā)現(xiàn)影響強度的七個因素是

17、非線性關系。第二，建立二次非線性叫回歸模型，計算得到結果，然后進行誤差分析，二次非線性回歸分析統(tǒng)計檢驗，證明了模型的可行性。第三，用正交試驗分析法，分析出各因素對因變量的影響強弱順序，為建立非線性回歸模型提供依據(jù)。7. 2申報理由 本強度優(yōu)化的模型具有以下優(yōu)點：通過線性回歸模型的求解和模型驗證，發(fā)現(xiàn)目標函數(shù)的非線性性質(zhì)，然后利用二次非線性回歸模型確定最優(yōu)工藝條件。用檢驗統(tǒng)計量的大小對模型進行整體性評價。從誤差分析中可以看到已經(jīng)達到優(yōu)化模型的目的。本模型能夠合理有效地解決實際工藝問題，且經(jīng)過誤差的檢驗分析，證明了該模型的優(yōu)越性，特此申報科技進步獎。8 參考文獻l姜啟源，數(shù)學模型（第三版）M，北京

18、：高等教育出版社，2003，8。2魏宗舒等，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，北京：高等教育出版社，1983. 10。3王洙然，MATLAB 6.5科學計算方法，北京：電子工業(yè)出版社，2003.1。附錄一：x=1 1 2 2 1 3 1 11 1 2 1 2 2 3 11 1 2 3 3 1 2 21 1 3 2 1 2 3 21 1 3 1 2 1 2 31 1 3 3 3 3 1 11 1 1 2 2 3 2 11 1 1 1 3 2 1 21 1 1 3 1 1 3 31 2 2 2 3 1 3 11 2 2 1 1 3 2 21 2 2 3 2 2 1 31 2 3 2 2 1 1 21 2 3 1 3 3 3 31 2 3 3 1 2 2 11 2 1 2 3 2 2 31 2 1 1 3 2 2 31 2 1 3 1 1 1 1;y=859.1 799.67 616.75 579.3 510.375 980. 5 937.725 801.825 832. 275 579.18 862.18 919.54 636.05 932.64 799.2 640.14 803.05 979. 74 ;w=x(:,2:8);v= w w2 ; %矩陣x的擴展附錄二:S=;a=0;b=0;r=;for xl=l : 2 for x2=1:3 fo