2001年考研數(shù)學(xué)三真題及全面解析

1、2001 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(1) 設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為, 其中Q是產(chǎn)出量, L 是勞動投入量, K 是資本投入量,而A, , 均為大于零的參數(shù),則當(dāng)Q =1時K關(guān)于L的彈性為 (2) 某公司每年的工資總額比上一年增加20的基礎(chǔ)上再追加2 百萬.若以表示第t 年的工資總額(單位：百萬元)，則滿足的差分方程是_ (3) 設(shè)矩陣且秩(A)=3,則k = (4) 設(shè)隨機變量X,Y 的數(shù)學(xué)期望都是2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為0.5.則根據(jù)切比雪夫不等式 .(5) 設(shè)總體X服從正態(tài)分布而是來自總體X的簡單隨機樣本，則隨機變量服從_分布，參數(shù)為_二、選擇題(1) 設(shè)函數(shù)f (x

2、)的導(dǎo)數(shù)在x=a處連續(xù),又則( )(A) x = a 是f (x)的極小值點.(B) x = a 是f (x)的極大值點.(C) (a, f(a)是曲線y= f(x)的拐點.(D) x =a不是f (x)的極值點, (a, f(a)也不是曲線y=f(x)的拐點.(2) 設(shè)函數(shù)其中則g(x)在區(qū)間(0,2) 內(nèi)( )(A)無界 (B)遞減 (C) 不連續(xù) (D) 連續(xù)(3) 設(shè)其中A 可逆,則等于( )(A) (B) (C) (D).(4) 設(shè)A 是n 階矩陣，是n維列向量.若秩秩，則線性方程組( )AX =必有無窮多解 AX = 必有惟一解.僅有零解 必有非零解.(5) 將一枚硬幣重復(fù)擲n 次

3、,以X和Y 分別表示正面向上和反面向上的次數(shù),則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于( )(A) -1 (B) 0 (C) (D) 1三 、(本題滿分5 分)設(shè)u= f(x,y,z)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),又函數(shù)y=y(x)及z=z(x)分別由下列兩式確定:和求四 、(本題滿分6 分)已知f (x)在(,+)內(nèi)可導(dǎo),且 求c的值.五 、(本題滿分6 分)求二重積分的值,其中D 是由直線y=x, y= 1及x =1圍成的平面區(qū)域六、(本題滿分7 分)已知拋物線(其中p<0,q>0)在第一象限與直線x+y=5相切，且此拋物線與x軸所圍成的平面圖形的面積為S.(1) 問p和q為何值時，S達(dá)到最大? (2)求

4、出此最大值.七、(本題滿分6 分)設(shè)f (x)在區(qū)間0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且滿足證明：存在(0,1), 使得八、(本題滿分7 分)已知滿足(n為正整數(shù))且求函數(shù)項級數(shù)之和.九、(本題滿分9 分)設(shè)矩陣已知線性方程組AX =有解但不唯一,試求:(1) a的值;(2) 正交矩陣Q,使為對角矩陣.十、(本題滿分8 分)設(shè)A為n階實對稱矩陣，秩(A)=n，是中元素的代數(shù)余子式(i,j =1,2,n)，二次型(1) 記把寫成矩陣形式，并證明二次型的矩陣為;(2) 二次型與的規(guī)范形是否相同？說明理由.十一、(本題滿分8 分)生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝,每箱的重量是隨機的,假設(shè)每箱平均重50 千克

5、,標(biāo)準(zhǔn)差為5千克.若用最大載重量為5 噸的汽車承運,試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱,才能保障不超載的概率大于0.977. (2)=0.977,其中(x) 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)).十二、(本題滿分8 分)設(shè)隨機變量X 和Y 對聯(lián)和分布是正方形G=(x,y)|1x3,1y3上的均勻分布，試求隨機變量U=XY 的概率密度2001 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(1)【答案】【使用概念】設(shè)在處可導(dǎo)，且，則函數(shù)關(guān)于的彈性在處的值為【詳解】由，當(dāng)時，即，有于是關(guān)于的彈性為：(2)【答案】 【詳解】表示第t年的工資總額，則表示第年的工資總額，再根據(jù)每年的工資總額比上一年增加

6、20的基礎(chǔ)上再追加2百萬，所以由差分的定義可得滿足的差分方程是： (3)【答案】-3【詳解】方法1：由初等變換(既可作初等行變換，也可作初等列變換).不改變矩陣的秩，故對進(jìn)行初等變換可見只有當(dāng)k =3時，r(A)=3.故k =3.方法2：由題設(shè)r(A)=3，故應(yīng)有四階矩陣行列式.由 解得 k =1或k = 3. 當(dāng)k =1時，可知，此時r(A)=1，不符合題意，因此一定有k =3. (4)【答案】【所用概念性質(zhì)】切比雪夫不等式為：期望和方差的性質(zhì)：；【詳解】 把看成是一個新的隨機變量，則需要求出其期望和方差.故 又相關(guān)系數(shù)的定義：則 所以由切比雪夫不等式：(5)【答案】；【所用概念】1. 分布

7、的定義： 其中 2. 分布的定義：若相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則3. 正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化的定義：若，則【詳解】因為，將其標(biāo)準(zhǔn)化有，從而根據(jù)卡方分布的定義由樣本的獨立性可知，與相互獨立.故，根據(jù)分布的定義故服從第一個自由度為10，第二個自由度為5的分布.二、選擇題(1)【答案】 B【詳解】方法1：由知又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)，根據(jù)函數(shù)在某點連續(xù)的定義，左極限等于右極限等于函數(shù)在這一點的值，所以，于是有即，根據(jù)判定極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)在處具有二階導(dǎo)數(shù)且，當(dāng)時，函數(shù)在處取得極大值. 知是的極大值點，因此，正確選項為(B).方法2：由及極限保號性定理：如果，且(或)，那么存在常數(shù)，使得當(dāng)時，有(或

8、)，知存在的去心鄰域，在此去心鄰域內(nèi).于是推知，在此去心鄰域內(nèi)當(dāng)時；當(dāng)時又由條件知在處連續(xù)，由判定極值的第一充分條件：設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且在的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，若時，而時，則在處取得極大值，知為的極大值. 因此，選 (B).(2)【答案】(D)【詳解】應(yīng)先寫出g(x)的表達(dá)式.當(dāng)時， ，有 當(dāng)時， ，有即 因為 ，且 ，所以由函數(shù)連續(xù)的定義，知在點處連續(xù)，所以在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，選(D).同樣，可以驗證(A)、(B)不正確，時，單調(diào)增，所以(B)遞減錯；同理可以驗證當(dāng)時，單調(diào)增，所以，即與選項(A)無界矛盾.(3)【答案】 (C)【詳解】由所給矩陣觀察，將的列互換，再將的列互換，可得. 根據(jù)初等矩陣變

9、換的性質(zhì)，知將的列互換相當(dāng)于在矩陣的右側(cè)乘以，將的列互換相當(dāng)于在矩陣的右側(cè)乘以，即，其中，由題設(shè)條件知，因此.由于對初等矩陣有，故.因此，由，及逆矩陣的運算規(guī)律，有.(4)【答案】 【詳解】由題設(shè)，是n 階矩陣，是n維列向量，即是一維行向量，可知是階矩陣. 顯然有秩秩 即系數(shù)矩陣非列滿秩，由齊次線性方程組有非零解的充要條件：系數(shù)矩陣非列或行滿秩，可知齊次線性方程組必有非零解.(5) 【答案】【詳解】 擲硬幣結(jié)果不是正面向上就是反面向上，所以，從而，故 由方差的定義：， 所以)由協(xié)方差的性質(zhì)： (為常數(shù))；)所以 由相關(guān)系數(shù)的定義，得 三【變限積分求導(dǎo)公式】【詳解】 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有 (

10、*)在兩邊分別對求導(dǎo)，得即 在兩邊分別對x求導(dǎo)，得 即將其代入(*)式，得四 【詳解】因為 (把寫成) (把寫成) (利用冪函數(shù)的性質(zhì)) (利用對數(shù)性質(zhì)) (利用對數(shù)性質(zhì)) (利用函數(shù)的連續(xù)性，)(當(dāng)各部分極限均存在時，) (利用函數(shù)的連續(xù)性，) (利用) ()又因為在內(nèi)可導(dǎo)，故在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么又由拉格朗日中值定理，有左右兩邊同時求極限，于是，因為，趨于無窮大時，也趨向于無窮大由題意， 從而，故五 【詳解】 積分區(qū)域如圖所示，可以寫成其中，于是六【詳解】方法1：依題意知，拋物線如圖所示，令，求得它與軸交點的橫坐標(biāo)為：根據(jù)定積分的定義，面積為 (注：)因直線與拋物線相切，故它

11、們有唯一公共點. 由方程組求其公共解，消去，得，因為其公共解唯一，則該一元二次方程只有唯一解，故其判別式必為零，即解得 將代入中，得根據(jù)函數(shù)除法的求導(dǎo)公式，根據(jù)駐點的定義，令，已知有，得唯一駐點.當(dāng)時，；時，. 故根據(jù)極值判定的第一充分條件知，時，取唯一極大值，即最大值.從而最大值為 方法2：設(shè)拋物線與直線相切的切點坐標(biāo)為，切點既在拋物線上，也在直線上，于是滿足方程有和.拋物線與直線在切點處的切線斜率是相等的，即一階導(dǎo)數(shù)值相等. 在左右兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得，在左右兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得，把切點坐標(biāo)代入，得由，將兩結(jié)果代入得整理得 將代入中，得根據(jù)函數(shù)除法的求導(dǎo)公式，根據(jù)駐點(即使得一階導(dǎo)數(shù)為零的點)的定

12、義，令，已知有，得唯一駐點.當(dāng)時，時，故根據(jù)極值判定的第一充分條件知，時， 取唯一極大值，即最大值.從而最大值為 七【詳解】將要證的等式中的換成，移項，并命問題轉(zhuǎn)化為證在區(qū)間內(nèi)存在零點. 將看成一個微分方程，用分離變量法求解. 由兩邊積分得 利用及，得，即 ，命. 由及積分中值定理(如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一個點，使得)，知至少存在一點，使且，. 把代入，則那么在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾中值定理知，至少存在一點，使得即 八【詳解】由已知條件可見，這是以為未知函數(shù)的一階線性非齊次微分方程，其中，代入通解公式得其通解為由條件又，得， 故記則，則其收斂半徑為，收斂區(qū)間為. 當(dāng)時

13、，根據(jù)冪級數(shù)的性質(zhì)，可以逐項求導(dǎo)，其中故根據(jù)函數(shù)積分和求導(dǎo)的關(guān)系，得又由于，所以 ，即有 當(dāng)時， . 級數(shù)在此點處收斂，而右邊函數(shù)連續(xù)，因此成立的范圍可擴大到處，即于是 九【詳解】(1) 線性方程組有解但不唯一，即有無窮多解，將增廣矩陣作初等行變換，得因為方程組有解但不唯一，所以，故a=2.(2) 由(1)，有由故A的特征值為.當(dāng)時，于是得方程組的同解方程組為可見，可知基礎(chǔ)解系的個數(shù)為，故有1個自由未知量，選為自由未知量，取，解得對應(yīng)的特征向量為.當(dāng)時，于是得方程組的同解方程組為可見，可知基礎(chǔ)解系的個數(shù)為，故有1個自由未知量，選為自由未知量，取，解得對應(yīng)的特征向量為.當(dāng)時，于是得方程組的同解方

14、程組為可見，可知基礎(chǔ)解系的個數(shù)為，故有1個自由未知量，選為自由未知量，取，解得對應(yīng)的特征向量為.由于是實對稱矩陣，其不同特征值的特征向量相互正交，故這三個不同特征值的特征向量相互正交，之需將單位化，其中，令則有 十【詳解】(1)由題設(shè)條件， 其中的理由：是可逆的實對稱矩陣，故，因此由實對稱的定義知，也是實對稱矩陣，又由伴隨矩陣的性質(zhì)，知，因此也是實對稱矩陣，故成立.(2) 因為，所以由合同的定義知與合同.由實對稱矩陣合同的充要條件：二次型與有相同的正、負(fù)慣性指數(shù).可知，與有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)，故它們有相同的規(guī)范形.十一【應(yīng)用定理】(i) 期望的性質(zhì)：；獨立隨機變量方差的性質(zhì)：若隨機變量獨立，則(ii)列維-林德伯格中心極限定理：設(shè)隨機變量相互獨立同分布，方差存在，記分別是它們共同的期望與方差，則對任意實數(shù)，恒有(通俗的說：獨立同分布的隨機變量，其期望方差存在，則只要隨機變量足夠的多，這些隨機變量的和以正態(tài)分布為極限分布)(iii) 正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化：若，則【詳解】設(shè)是裝運的第箱的重量(單位:千克)， n是所求箱數(shù). 由題設(shè)可以將視為獨立同分布的隨機變量，而n箱的總重量是獨立同分布隨機變量之和.由題設(shè)，有(單位:千克)所以 則根據(jù)列維林德柏格中心極限定理，知近似服從正態(tài)分布，箱數(shù)根據(jù)下述條件確定 (將標(biāo)準(zhǔn)化)由此得從而， 即最多可以裝