相似三角形常用模型與應(yīng)用

1、相似證明中的根本模型A字形圖A字型，結(jié)論:圖雙A字型，結(jié)論:8字型相似三角形模型及應(yīng)用AD Al ，圖反A字型，結(jié)論：生AB AC BCACDF圖圖8字型，結(jié)論：A9ODAE圖雙8字型，結(jié)論：EFBGGCADABDEBC，圖含正方形aBCa為正方形邊長CAB、四點(diǎn)共圓CDABAO，圖反8字型，結(jié)論：型CDCO1 1AB CDBOCO-，圖A8字型，結(jié)論:BEEG、S AEDCFBODO1EF圖，結(jié)論:圖BECS ABE SxCDE圖一線三等角型結(jié)論：出現(xiàn)兩個(gè)相似三角形圖外角分線型,圖CA圖角分線定理與射影定理AB圖角分線型，結(jié)論：伴AC圖斜射影定理型，結(jié)論：BDDCAB2結(jié)論:ABACBDCD

2、圖射影定理型，結(jié)論:BD BC ,2 21、AC AD AB , 2、CDAD BD , 3、 BCBD BA2梅涅勞斯型常用輔助線中考總分值必做題考點(diǎn)一相似三角形【例1】 如圖，D、E是 ABC的邊AC、AB上的點(diǎn)，且AD AC AE AB，求證：ADE B.AD【例2】 如圖，在 ABC中，AD BC于D , CE AB于E , ABC的面積是 BDE面積的4倍，AC 6 , 求DE的長【例3】 如圖， ABC中，ABC 60，點(diǎn)P是厶ABC 一點(diǎn)，使得 APB BPC那么 PB CPA, PA 8 , PC 6 ,【例4】 如圖，三個(gè)邊長相等的正方形相鄰并排，求EBF EBG 考點(diǎn)二：相

3、似三角形與邊的比例?考點(diǎn)說明：可運(yùn)用相似三角形模型，常用A字形與8字形【例5】 在 ABC中，BD CE , DE的延長線交BC的延長線于P ,求證：AD BP AE CP.【例6】 如圖，在 ABC的邊AB上取一點(diǎn)D，在AC取一點(diǎn)E，使AD AE，直線DE和BC的延長線相交于P，求證:BP BDCP CE【例7】 如圖，m、N ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且滿足 BM MN NC，一條平行于 AC的直線分別交AB、AM和AN的延長線于點(diǎn) D、E和F 求證：EF 3DE 考點(diǎn)三：相似三角形與接矩形?考點(diǎn)說明：接矩形問題是相似三角形中比擬典型的問題，考查了相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比【例1】一塊直角

4、三角形木板的一條直角邊AB長為1.5米，面積為1.5平方米，工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)加工方案。甲設(shè)計(jì)的方案如圖所示，乙設(shè)計(jì)的方案如圖所示，你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好，請(qǐng)說明理由加工損耗忽略不計(jì)【例8】CDBE AABC中，正方形 EFGH的兩個(gè)頂點(diǎn) E、F在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn) G、H分別在AC、AB上,BC 15, BC 邊上的高 AD 10,求 Swefgh【例9】【例10】如圖， ABC中，四邊形DEGF為正方形,S ADF S CDE 1 , S BEG 3，求ABC的面積.D , E在線段AC , BC上，F(xiàn) , G在AB上，如果如圖，

5、ABC中，AC 5，AB 11 , BC 4 5，四邊形 DEGF為正方形，其中 D，E在邊 AC， BC上，F(xiàn) ，G在AB上，求正方形的邊長.【例11】如圖，在 ABC中，AB 5 , BC 3 , AC 4，動(dòng)點(diǎn)E (與點(diǎn)A , C不重合)在 AC邊上，EF /AB交BC于F點(diǎn).(1 )當(dāng)ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時(shí)，求CE的長.(2 )當(dāng)ECF的周長與四邊形EABF的周長相等時(shí)，求CE的長.(3)試問在AB上是否存在點(diǎn)P，使得 EFP為等腰直角三角形？假設(shè)不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由； 假設(shè)存在，請(qǐng)求出EF的長.考點(diǎn)四：與平行四邊形有關(guān)的相似問題【例12】如圖，平行四邊形 ABCD

6、中，過點(diǎn)B的直線順次與 AC、AD及CD的延長線相交于點(diǎn) E、F、G，假設(shè)BE 5, EF 2，那么FG的長是-【例13】如圖， DE / AB , OA2 OC OE，求證：AD / BC .【例14】如圖，YABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn) 0，在AB的延長線上任取一點(diǎn) E，連接0E交BC于點(diǎn)F ,假設(shè)AB a , AD c, BE b ,求 BF 的值.【例15】如圖：矩形ABCD的面積是36，在AB , AD邊上分別取點(diǎn)E , F，使得AE 3EB , DF 2AF , 且DE與CF的交點(diǎn)為點(diǎn)O，求 FOD的面積?！纠?6】CD如圖，在矩形 ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF EC交AB于F，連

7、接FC ( AB AE ).(1) AEF與ECF是否相似，假設(shè)相似，證明你的結(jié)論；假設(shè)不相似，請(qǐng)說明理由AB(2) 設(shè) k是否存在這樣的k值，使得 AEF s BCF，假設(shè)存在，證明你的結(jié)論并求出k值;BC考點(diǎn)五【例17】與梯形有關(guān)的相似問題如圖，梯形ABCD的兩條對(duì)角線與兩底所圍成的兩個(gè)三角形的面積分別為 是( )p2 , q2，那么梯形的面積2 2A. 2 p q B.C. p q pq D.2 2p q2 2p q22pq2【例18】如圖，梯形ABCD中,AD II BC，兩條對(duì)角線 AC、BD相交于0，假設(shè)SAOD : SCOB1:9，那么假設(shè)不存在，說明理由【例 19】如圖，在梯形

8、 ABCD 中，AD II BC , AD 3, BC 9 , AB 6,CD 4，假設(shè) EF II BC，且梯形 AEFD 與梯形EBCF的周長相等，求 EF的長.an【例20】：如圖，在梯形 ABCD中，AB/CD , M是AB的中點(diǎn)，分別連接 AC、BD、MD、MC ,且AC與MD交于點(diǎn)E，DB與MC交于F .(1)求證：EF/CD(2 )假設(shè) AB a ,CD b，求 EF 的長【例21】如圖，在梯形ABCD中,AD II BC , ADa , BC b , E , F分別是AD , BC的中點(diǎn),AF 交 BE于P , CE交DF于Q，求PQ的長.【例 22】如圖，梯形 ABCD 中，

9、AD / BC , A 90 , AB a , AD b, BC 2b ( a b ) , DE DC，DE 交AB于點(diǎn)E，連接EC .(1) 判斷 DCE與 ADE , DCE與 BCE是否分別一定相似，假設(shè)相似，請(qǐng)加以證明(2) 如果不一定相似，請(qǐng)指出 a、b滿足什么關(guān)系時(shí)，它們就能相似 考點(diǎn)六：相似三角形與實(shí)際問題?考點(diǎn)說明：常見的題型如測(cè)量樹高、樓高，或者路燈下影子長度等問題【例23】小華為了測(cè)量所住樓房的高度，他請(qǐng)來同學(xué)幫助，測(cè)量了同一時(shí)刻他自己的影長和樓房的影長分另憂0.5米和15米。小華的身高為1.6米，那么他所住樓房的高度為 米【例24】如圖，王華同學(xué)晚上由路燈A下的B處走到C

10、處時(shí)，測(cè)得影子 CD的長為1米，他繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處時(shí)，測(cè)得影子 EF的長為2米，王華的身高是 1.5米，那么路燈 A的高度AB等于A.4.5 米B.6米C.7.2 米D.8米考點(diǎn)七：位似?考點(diǎn)說明：位似可以考察作圖題，也可以填空題的形式展現(xiàn)，但是難度相對(duì)較簡(jiǎn)單【例25】如圖，ABC與 ABC的位似中心為點(diǎn) O，假設(shè)AB2 , AB5，那么ABC與ABC的面積比是 AC與AC的比是AAB【例26】作一個(gè)多邊形的位似圖形，假設(shè)相似比，以下說法中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A.位似中心可以是多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)B.位似中心可以任意選取C. 所作出位似圖形的大小與位似中心的位置無關(guān)D. 所作出位似圖形的大小與位似中

11、心的位置有關(guān)【例27】如圖是由邊長為 1個(gè)單位的小正方形組成的 8 8正方形網(wǎng)格，O為一個(gè)定點(diǎn)，在網(wǎng)格中畫出一個(gè) 直角三角形，要求滿足滿足以下條件：三個(gè)頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)，O是一條直角邊的中點(diǎn)，斜邊長.5，且以O(shè)為位似中心，相似比為 3的位似圖形也在正方形網(wǎng)格，這樣的三角形能畫出幾個(gè)？考點(diǎn)八：“旋轉(zhuǎn)相似三角形模型?考點(diǎn)說明：此模型結(jié)合了相似與旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，在很多的幾何綜合問題中都能看到它的影子，因此也是非 常重要的相似根本模型【例28】如圖，在 ABC和 ADE中， BAD CAE， ABC ADEE(1) 寫出圖中兩對(duì)相似三角形(不得添加輔助線)(2) 請(qǐng)分別說明兩對(duì)三角形相似的理由【例2

12、9】我們給出如下定義：假設(shè)一個(gè)四邊形中存在一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和，那么稱這個(gè)四邊形為等平方和四邊形.(1) 寫出一個(gè)你所學(xué)過的特殊四邊形中是等平方和四邊形的圖形的名稱：D0(2) 如圖(1),在梯形 ABCD中，AD/ BC , AC BD，垂足為0 .求證：2 2 2 2AD BC AB DC，即四邊形 ABCD是等平方和四邊形.證明:如果將圖1中的 AOD繞點(diǎn)0按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度090后得到圖2，那么四邊形ABCD能否成為等平方和四邊形？假設(shè)能，請(qǐng)你證明；假設(shè)不能，請(qǐng)說明理由.證明:【例30】如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn) G與C、D不重合，以CG

13、為邊在正方形 ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE 我們探究以下圖中線段 BG、線段DE的長度 關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：1猜測(cè)如圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針或逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度 ，得到如圖2、 如圖3情形.請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷.圖12將原題中正方形改為矩形如圖46),且 AB a ,BCCEka, CG kb ( a b , k 0),第1題中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？假設(shè)成立，以圖5為例簡(jiǎn)要說明理由.圖4EDC3在第2題圖5中，連結(jié)DG、BE，且 a-，求BE2 DG2的值.2考點(diǎn)九：“雙垂直模型?考點(diǎn)說明：射影定理圖形，雖然在考綱中并沒有要求射影定理，但是還是建議學(xué)生熟練掌握，為順利結(jié)題提供方法和思路，以及它的變形【例31】如圖，直角 ABC 中，ABAC ,ADBC證明：222ABBD BC ,ACCDBC ,AD BD CD .ABDC【例32】如