第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1ppt課件

1、第十節(jié)第十節(jié)一、最值定理一、最值定理 二、介值定理二、介值定理 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一、最值定理一、最值定理(證明略證明略).1定定理理)(最最大大最最小小值值定定理理.定有最大值和最小值定有最大值和最小值閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一ab圖一圖一ab圖圖二二ab圖三圖三 1 2 Mbf)(mf)( Mf)(2 mf)(1 Mxffbax)(max)(, mxfafbax)(min)(,例如例如,)1,0(, xxy無最大值和最小值無最大值和最小值 xoy11 21,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值也無最大值和最小值 又如又

2、如, .定有最大值和最小值定有最大值和最小值閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一)(最大最小值定理最大最小值定理: 兩個(gè)條件缺一不可兩個(gè)條件缺一不可分析分析;. )1閉區(qū)間閉區(qū)間. )2函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)bxoya)(xfy 12mM推論推論. 由定理由定理 1 可知有可知有, )(max,xfMbax )(min,xfmbax , ,bax 故故證證: 設(shè)設(shè), ,)(baCxf ,)(Mxfm 有有在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 上有界上有界 .,)(baxf在在因因此此 .,max)(上上成成立立在在或或bamMxf 二、介值定理二、介值定理定理定

3、理2. ( 零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理 ), ,)(baCxf 至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn), ),(ba 且且使使xyoab)(xfy .0)( f0)()( bfaf( 證明略證明略 ),)(baxf在在假設(shè)假設(shè) 上連續(xù)上連續(xù), 那么那么曲線曲線 y =f (x)是連續(xù)曲線是連續(xù)曲線, f (a) , f (b)異號(hào)異號(hào), 兩端點(diǎn)兩端點(diǎn) A (a, f (a), B (b, f (b) 在在 x 軸軸上下側(cè)上下側(cè), 連接連接A, B 的連續(xù)曲線的連續(xù)曲線, 一定與一定與 x 軸相交軸相交, 此此 交點(diǎn)即為交點(diǎn)即為f (x) 的零值點(diǎn)的零值點(diǎn). AB幾何解釋幾何解釋: :定理定理3. ( 介值定理介值定理 )

4、 設(shè)設(shè) , ,)(baCxf 且且,)(Aaf ,)(BABbf 則對(duì)則對(duì) A 與與 B 之間的任一數(shù)之間的任一數(shù) C ,一點(diǎn)一點(diǎn), ),(ba 證證: 不妨設(shè)不妨設(shè)A C B, 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)Cxfx )()( 那么那么,)(baCx 且且)(a CACaf )(0由定理至少有一點(diǎn)由定理至少有一點(diǎn)使使,0)( 即即.)(Cf Abxoya)(xfy BC使使.)(Cf 至少有至少有)(b CBCbf )(0, ),(ba , 0)()( ba 推論推論: 在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最必取得介于最小值與最大值之間的任何值大值之間的任何值 .,)(,)(.2

5、1MmMxfmxf 設(shè)設(shè)證證 ,12xx或或,21上上應(yīng)應(yīng)用用介介值值定定理理在在閉閉區(qū)區(qū)間間xx.即得上述推論即得上述推論abmM1x2x C例例1. 證明方程證明方程01423 xx一個(gè)根一個(gè)根 .證證: 顯然顯然, 1 ,014)(23Cxxxf 又又,01)0( f02)1( f故據(jù)零點(diǎn)定理故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn), )1 ,0( 使使,0)( f即即01423 說明說明:在區(qū)間在區(qū)間)1 ,0(內(nèi)至少有內(nèi)至少有例如例如. 證明方程證明方程135 xx一個(gè)根介于一個(gè)根介于1,2之間之間 .證證: 顯然顯然, 2,113)(5Cxxxf ,0,0,sin babxax其其

6、中中證證明明方方程程.,ba 并并且且它它不不超超過過至至少少有有一一個(gè)個(gè)正正根根,sin)(.bxaxxf 設(shè)設(shè)證證 ,0)(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則baxf 且且,)(00bfbbaababaf)sin()( )sin(baa1.0;,0)(就就是是原原方方程程的的一一個(gè)個(gè)根根則則若若babaf ,0,0)(上上應(yīng)應(yīng)用用零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理在在若若babaf .0)(, ),0( fba使使存存在在.就就是是原原方方程程的的一一個(gè)個(gè)根根此此 例例2,)(.1上上連連續(xù)續(xù)在在證證nxxxf ,)(.3上上連連續(xù)續(xù)在在若若例例baxf,bxxxan21使使上必有上必有則在則在,1 nxx.

7、)()()()(nxfxfxffn21 , )(min, )(max,11xfmxfMnnxxxxxx 設(shè)設(shè)nxfxfxfCn)()()(21 記記 的的算算術(shù)術(shù)平平均均數(shù)數(shù)為為)(ixfC,MCm 則則有有:,1上應(yīng)用介值定理得上應(yīng)用介值定理得在在nxx.)(, ,1Cfxxn 使使存存在在)(lim,),()(:.4xfxfx 且且內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在若若證證明明例例.),()(,內(nèi)內(nèi)有有界界必必在在則則存存在在 xf,)(lim.Axfx 設(shè)設(shè)證證,1 給定給定,0X,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Xx .)( AxfA.)(1AAxf ,時(shí)時(shí)即當(dāng)即當(dāng)時(shí)時(shí)又當(dāng)又當(dāng)XXxXx )(界界閉閉區(qū)區(qū)間間上上的的連連續(xù)續(xù)函

8、函數(shù)數(shù)有有.)(Kxf.),(1| ,max)(內(nèi)成立內(nèi)成立在在 AKxf()XX內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)則則設(shè)設(shè), ,)(baCxf 在在)(. 1xf上達(dá)到最大值與最小值上達(dá)到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值上可取最大與最小值之間的任何值;4. 當(dāng)當(dāng)0)()( bfaf時(shí)時(shí), ),(ba 使使. 0)( f必存在必存在,ba上有界上有界;在在)(. 2xf,ba在在)(. 3xf,ba那么, 2,0)(aCxf , )2()0(aff 證明至少存在證明至少存在, ,0a使使. )()(aff提示提示: 令令, )()()(xfaxfx 那么那么, ,0)(aCx 易證易證0)()0( a 1. 設(shè)設(shè)一點(diǎn) ,4,0)(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間xf2 13 xex至少有一個(gè)不超過至少有一個(gè)不超過 4 的的 證：證：證明證明令令1)(3 xexxf且且 )0(f13 e )4(f1434 e003 e根據(jù)零點(diǎn)定理根據(jù)零點(diǎn)定理 , )4,0( ,0)( f使使原命題得證原命題得證 .)4,0(內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)在開區(qū)間在開區(qū)間顯然顯然正根正根 .3 .設(shè)設(shè))()(xgxf與與均在均在,ba上連續(xù)上連續(xù), 證明函數(shù)證明函數(shù) )(, )(max)(x