數(shù)列常見數(shù)列公式(超全的數(shù)列公式及詳細(xì)解法編撰)

1、數(shù)列常見數(shù)列公式（超全的數(shù)列公式及詳細(xì)解法編撰）1等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即=d ，（n2，nN），這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示） 2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： 或 =pn+q (p、q是常數(shù)) 3 有幾種方法可以計(jì)算公差d d= d= d=4等差中項(xiàng)：成等差數(shù)列5等差數(shù)列的性質(zhì)： m+n=p+q (m, n, p, q N )等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式6.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式 （1） （2） （3），當(dāng)d0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式8.對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有兩種方法:（1） 利用：當(dāng)>0，d&l

2、t;0，前n項(xiàng)和有最大值可由0，且0，求得n的值當(dāng)<0，d>0，前n項(xiàng)和有最小值可由0，且0，求得n的值（2） 利用：由二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值等比數(shù)列1等比數(shù)列：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式: ， 3成等比數(shù)列=q（,q0） “0”是數(shù)列成等比數(shù)列的必要非充分條件4既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列 5等比中項(xiàng)：G為a與b的等比中項(xiàng). 即G=±（a,b同號(hào)）.6性質(zhì)：若m+n=p+q，7判斷等比數(shù)列的方法

3、：定義法，中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法8等比數(shù)列的增減性：當(dāng)q>1, >0或0<q<1, <0時(shí), 是遞增數(shù)列; 當(dāng)q>1, <0,或0<q<1, >0時(shí), 是遞減數(shù)列;當(dāng)q=1時(shí), 是常數(shù)列; 當(dāng)q<0時(shí), 是擺動(dòng)數(shù)列;等比數(shù)列前n項(xiàng)和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： 當(dāng)時(shí)， 或 當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng)已知, q, n 時(shí)用公式；當(dāng)已知, q, 時(shí)，用公式.數(shù)列通項(xiàng)公式的求法一、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目例1等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：設(shè)數(shù)列公差為

4、成等比數(shù)列，即， 由得：，點(diǎn)評(píng)：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng)。二、公式法若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解。例2已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由當(dāng)時(shí)，有，經(jīng)驗(yàn)證也滿足上式，所以點(diǎn)評(píng)：利用公式求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并三、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^(guò)遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。類型1 遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。(2004全國(guó)卷I.22)已知數(shù)列中,其中，求數(shù)列的通

5、項(xiàng)公式。P24（styyj）例3. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，類型2 （1）遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。(2004全國(guó)卷I.15)已知數(shù)列an，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，則an的通項(xiàng) P24（styyj）例4. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，（2）由和確定的遞推數(shù)列的通項(xiàng)可如下求得：由已知遞推式有， ，依次向前代入，得，簡(jiǎn)記為 ，這就是疊（迭）代法的基本模式。（3） 遞推式： 解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來(lái)的差異例5設(shè)數(shù)列：，求.解：

6、設(shè)，將代入遞推式，得（）則,又，故代入（）得說(shuō)明：（1）若為的二次式，則可設(shè);(2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.例6已知， ，求。解： 。類型3 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。(2006.重慶.14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng) P24（styyj）例7. 已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.類型4 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)）（2006全國(guó)I.22）（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（

7、）求首項(xiàng)與通項(xiàng)； P25（styyj）解法：該類型較類型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型3的方法解決。例8. 已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,應(yīng)用例7解法得： 所以類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足，再應(yīng)用前面類型3的方法求解。（2006.福建.理.22）（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； P26（styyj）例9. 已知數(shù)列中，,，求。解：由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用（當(dāng)然也可選用，大家可以試一試），則是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類型1的方法

8、，分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即又，所以。類型6 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：利用進(jìn)行求解。(2006.陜西.20) (本小題滿分12分) 已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)an P24（styyj）例10. 已知數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應(yīng)用類型4的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以類型7 雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例11. 已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當(dāng)時(shí)，

9、,，求,.解：因所以即（1）又因?yàn)樗?即（2）由（1）、（2）得：， 四、待定系數(shù)法（構(gòu)造法）求數(shù)列通項(xiàng)公式方法靈活多樣，特別是對(duì)于給定的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通?？蓪?duì)遞推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來(lái)求解，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未知為已知的化歸思想，而運(yùn)用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。1、通過(guò)分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列a+k的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p1，pq0）型的遞推式均可通過(guò)待定系數(shù)法對(duì)常數(shù)q分解法：設(shè)a+k=p（a+k）與原式比較系數(shù)可得pkk=q，即k=，從而得等比數(shù)列a+k。例12、數(shù)列a滿足a=1，a

10、=a+1（n2），求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。解：由a=a+1（n2）得a2=（a2），而a2=12=1，數(shù)列 a2是以為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列a2=（） a=2（）說(shuō)明：這個(gè)題目通過(guò)對(duì)常數(shù)1的分解，進(jìn)行適當(dāng)組合，可得等比數(shù)列 a2，從而達(dá)到解決問題的目的。例13、數(shù)列a滿足a=1，,求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。解：由得設(shè)a，比較系數(shù)得解得是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列例14已知數(shù)列滿足，且，求解：設(shè)，則，是以為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列點(diǎn)評(píng)：求遞推式形如（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項(xiàng)，可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列來(lái)求得,也可用“歸納猜想證明”法來(lái)求，這也是近年高考考得很多的一種題型例15已知數(shù)列滿足， ，

11、求解：將兩邊同除，得設(shè)，則令條件可化成，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列因,點(diǎn)評(píng)：遞推式為（p、q為常數(shù)）時(shí)，可同除，得，令從而化歸為（p、q為常數(shù)）型2、通過(guò)分解系數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的形式求解。這種方法適用于型的遞推式，通過(guò)對(duì)系數(shù)p的分解，可得等比數(shù)列：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得。（2006.福建.文.22）（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；例16、數(shù)列滿足=0，求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。分析：遞推式中含相鄰三項(xiàng)，因而考慮每相鄰兩項(xiàng)的組合，即把中間一項(xiàng)的系數(shù)分解成1和2，適當(dāng)組合，可發(fā)現(xiàn)一個(gè)等比數(shù)列。解：由得即，且是以2為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列利

12、用逐差法可得 = = = =例17、數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得設(shè)比較系數(shù)得，解得或若取，則有是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列由逐差法可得=說(shuō)明：若本題中取，則有即得為常數(shù)列, 故可轉(zhuǎn)化為例13。例18已知數(shù)列滿足,求解：設(shè)或則條件可以化為是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,所以問題轉(zhuǎn)化為利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)的問題，解得點(diǎn)評(píng)：遞推式為（p、q為常數(shù)）時(shí)，可以設(shè)，其待定常數(shù)s、t由,求出，從而化歸為上述已知題型五、特征根法1、設(shè)已知數(shù)列的項(xiàng)滿足,其中求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。作出一個(gè)方程則當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.例19已知數(shù)列滿足：求解：作方程當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列

13、.于是2、對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。例20：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一（待定系數(shù)迭加法）由，得，且。則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法）：數(shù)列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故3、如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對(duì)于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時(shí),則是等差數(shù)列;當(dāng)

14、特征方程有兩個(gè)相異的根、時(shí)，則是等比數(shù)列。(2006.重慶.文.22)（本小題滿分12分）數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 解：由已知，得，其特征方程為，解之，得，。 P26 (styyj)例21、已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對(duì)于且求的通項(xiàng)公式. 解: 數(shù)列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個(gè)相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有即例22已知數(shù)列滿足：對(duì)于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時(shí)，無(wú)窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個(gè)相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)對(duì)于都有(2) 令，得.故數(shù)列從第5項(xiàng)開始都不存在，當(dāng)4，時(shí)，.(3)令則對(duì)于(4)、顯然當(dāng)時(shí)，數(shù)列從第2

15、項(xiàng)開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過(guò)程知，時(shí)，數(shù)列是存在的，當(dāng)時(shí)，則有令則得且2.當(dāng)（其中且N2）時(shí)，數(shù)列從第項(xiàng)開始便不存在.于是知：當(dāng)在集合或且2上取值時(shí)，無(wú)窮數(shù)列都不存在.說(shuō)明：形如:遞推式，考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有令則可歸為型。(取倒數(shù)法)例23：解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，六、構(gòu)造法 構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問題的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)條件與結(jié)論的充分剖析，有時(shí)會(huì)聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，如某種數(shù)量關(guān)系，某個(gè)直觀圖形，或者某一反例，以此促成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點(diǎn)就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，此類題通常較難，但使用構(gòu)造法往往給人耳目一新的感覺.1、構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對(duì)于一些遞推數(shù)列問題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無(wú)疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.例24： 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有等式：成立，求的通項(xiàng)an.解：， ，. 即是以2為公差的等差數(shù)列，且.例25： 數(shù)列中前n項(xiàng)的和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：當(dāng)n2時(shí)，令，則，且是以為公比的等比數(shù)列，.2、構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.例26： 設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，（nN*），求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.