有關(guān)中值定理的證明題

1、中值定理證明題集錦1、已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，試證：在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得證：由 ，可得，由連續(xù)性得，由此又得，由及題設(shè)條件知在上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，因此至少存在一點(diǎn) ，使得，又因?yàn)椋?并由題設(shè)條件知在上滿足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理知，在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得2、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在一點(diǎn)，使得證：分析：要證結(jié)論即為：令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，因此在上滿足羅爾中值定理的條件，故存在一點(diǎn)，使得，即注1：此題可改為：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在一點(diǎn)，使得分析：要證結(jié)論等價(jià)于（給兩端同乘以），而即為故令，則在上滿足羅爾中值定理的條件，由此可證結(jié)論

2、.注2：此題與下面例題情況亦類似：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，有，證：，使得成立.分析：要證結(jié)論可變形為，它等價(jià)于(給兩端同乘以)，而即為，用羅爾中值定理.以上三題是同類型題.3、已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：（1）存在一點(diǎn)，使（2）存在一點(diǎn)，使（3）存在一點(diǎn)，使證：（1）分析：要證結(jié)論即為：令，則只需證明在內(nèi)有零點(diǎn)即可。顯然 在上連續(xù)，且，因此 在上滿足零點(diǎn)定理的條件，由零點(diǎn)定理知，存在，使，即（2）又因?yàn)?，?1)知，因此 在上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，故存在一點(diǎn)，使，即，即（3）分析：結(jié)論即就是或，即.故令，則由題設(shè)條件知，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，,則在上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，命題得證

3、.4、設(shè)在上可導(dǎo)，且，試證：至少存在一點(diǎn)，使得證：分析：要證結(jié)論即為： ,也就是，因此只需對(duì)函數(shù)和在區(qū)間上應(yīng)用柯西中值定理即可.5、設(shè)、在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點(diǎn)，使得證：分析：要證結(jié)論即為： ,等價(jià)于，即就是，因此只需驗(yàn)證函數(shù)在區(qū)間上應(yīng)用羅爾中值定理即可.6、設(shè)在上可導(dǎo)，且，試證：至少存在一點(diǎn)，使得證：分析：要證結(jié)論即為： ,因此只需對(duì)函數(shù)和在區(qū)間上應(yīng)用柯西中值定理即可.此題亦可改為：設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，若，試證：至少存在一點(diǎn)，使得7、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：（1），使得；（2），使得證:（1）令，利用羅爾中值定理即證結(jié)論.（2）分析：，因此令，利用羅爾中值定理即證結(jié)

4、論.8、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：，使得證：分析：要證結(jié)論即為，即就是.令，令，則和在上滿足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理知：，使得，即就是，使得，即就是因此，有，即就是9、設(shè)、在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，試證：，使得證：分析：要證結(jié)論即為.令，（1）若、在內(nèi)的同一點(diǎn)處取得相同的最大值，不妨設(shè)都在c點(diǎn)處取得最大值，則，則分別在、上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，故，使得，由題設(shè)又知，在上滿足洛爾定理?xiàng)l件，故存在，使得，即就是（2）若、在內(nèi)的不同的點(diǎn)處取得相同的最大值，不妨設(shè)在p點(diǎn)處、在q點(diǎn)處取得最大值，且，則，由零點(diǎn)定理知，使得，由此得，后面證明與（1）相同.10、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，若極限存在，試證：（1）存在一點(diǎn)，使得；（2）在內(nèi)存在異于的點(diǎn)，使得；證：（1）令，則、在上滿足柯西中值定理?xiàng)l件，故存在一點(diǎn)，使得成立，即就是成立，即就是成