（參考）《橢圓與雙曲線的類比》說課

1、課題：橢圓與雙曲線的類比任課教師：張正麗 一、教學(xué)內(nèi)容分析：圓錐曲線是解析幾何中的重要內(nèi)容，它在其他學(xué)科和實(shí)際生活中也有著廣泛的應(yīng)用，因此讓學(xué)生真正掌握?qǐng)A錐曲線的相關(guān)知識(shí)成為必然要求。在圓錐曲線中，尤其是橢圓與雙曲線在定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的形式、幾何性質(zhì)及其研究問題的方法等方面都存在很多相似之處，橢圓的很多性質(zhì)都可以類比到雙曲線上。通過形式上的類比感受并解釋幾何圖形本質(zhì)上的內(nèi)在了解，再通過解題方法上的類比，觸類旁通，開啟探索的智趣，打開學(xué)生思維的大門，逐步滲透學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法。根據(jù)課標(biāo)和考綱的要求，為了進(jìn)一步鞏固曲線的定義和性質(zhì)，強(qiáng)化用代數(shù)方法去研究曲線的性質(zhì)，同時(shí)類比思想在很多章節(jié)均有涉及，因此

2、有必要進(jìn)行拓展。當(dāng)然也有利于對(duì)拋物線的學(xué)習(xí)。二、學(xué)生情況分析：學(xué)生初步掌握了兩個(gè)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，能夠解決一些基本的概念題，但是研究曲線問題的方法還很不熟練，而且計(jì)算能力非常薄弱，缺乏探究問題的能力，嚴(yán)謹(jǐn)推理能力欠缺。這些問題需要通過各個(gè)章節(jié)的學(xué)習(xí)中，逐步解決。三、教學(xué)目標(biāo)：1、列表對(duì)比橢圓與雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基本概念，辨析兩個(gè)定義的區(qū)別與了解，提升歸納、對(duì)比、整合知識(shí)的能力；2、學(xué)會(huì)將橢圓與雙曲線的性質(zhì)進(jìn)行類比，掌握類比的思想方法，提高推理論證的能力，借助幾何畫板動(dòng)畫演示，將抽象問題直觀化；3、經(jīng)歷觀察、分析、類比、猜想、論證解決數(shù)學(xué)問題的過程，形成主動(dòng)合作、探究學(xué)習(xí)的習(xí)慣，激發(fā)對(duì)

3、圓錐曲線學(xué)習(xí)的興趣。重點(diǎn)：橢圓與雙曲線的類比難點(diǎn)：橢圓與雙曲線的類比以及論證四、教法學(xué)法分析1、教法：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，啟發(fā)探究2、學(xué)法：?jiǎn)栴}探究法，小組討論，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，類比推理。3、教學(xué)手段：借助幾何畫板，增強(qiáng)教學(xué)的生動(dòng)性與直觀性。五、教學(xué)過程：（一）梳理基本知識(shí)：名 稱橢圓雙曲線定 義 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)（大于）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓，即平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線，即圖 象標(biāo)準(zhǔn)方 程焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)：的關(guān) 系 ，設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)橢圓和雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的差別僅在“和”與“差”上，抓住矛盾的

4、兩個(gè)方面，為后面將橢圓的性質(zhì)類比到雙曲線上作鋪墊。引入：學(xué)習(xí)了橢圓與雙曲線的定義與性質(zhì)之后，我們發(fā)現(xiàn)，兩者在定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的形式、幾何性質(zhì)及其研究的方法等方面都存在很多相似之處，橢圓的很多性質(zhì)都可以類比到雙曲線上。事實(shí)上，我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)，已經(jīng)運(yùn)用了類比的思想研究了等差與等比數(shù)列。今天這節(jié)課就用類比的思想來研究這兩種曲線的一些性質(zhì)，感受兩種曲線的和諧與統(tǒng)一。設(shè)問：什么叫做“類比”呢？類比：根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測(cè)其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)的推理，叫做類比推理（簡(jiǎn)稱類比）。（二）用類比思想探究橢圓、雙曲線的性質(zhì)探究一： 橢圓兩焦點(diǎn)為，點(diǎn)Q為F1F2

5、QPNxyO橢圓上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過點(diǎn)作的一個(gè)外角平分線的垂線，垂足為P，則點(diǎn)P的軌跡是圓的一部分。（1）證明此命題為真命題。（2）你能否類比到雙曲線上，給出一個(gè)類似的命題？并證明。設(shè)計(jì)意圖：求動(dòng)點(diǎn)軌跡的過程鞏固橢圓雙曲線定義的應(yīng)用，由“外角平分線”類比為“內(nèi)角平分線”的過程讓學(xué)生充分討論、猜想；在論證的過程中引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，得出類比不是簡(jiǎn)單的生搬硬套，必須遵循兩者定義的區(qū)別；動(dòng)畫演示，增強(qiáng)直觀感覺，體驗(yàn)失敗后的成功感。探究二：已知橢圓上A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)與、兩點(diǎn)均不重合，設(shè)直線、的斜率分別為、，那么是否為定值？ XBAYOP（1）猜想結(jié)論，并證明。（2）類比

6、到雙曲線中，寫出一個(gè)類似的命題，并證明之。設(shè)計(jì)意圖：探究過程可以從特殊位置開始，猜出結(jié)論，再進(jìn)行一般論證。類比到雙曲線時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)兩個(gè)曲線的定義差別，找出類比的規(guī)律。再次讓學(xué)生體會(huì)類比的命題是否正確需要嚴(yán)格論證，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程以及掌握嚴(yán)格的論證推理方法?？偨Y(jié)：二次曲線，上述命題中的結(jié)論可以統(tǒng)一為。即：當(dāng)m,n同正且不相等時(shí)，是橢圓，無論焦點(diǎn)在x軸還是y軸，均成立；當(dāng)m,n異號(hào)時(shí)，是雙曲線，也成立.設(shè)計(jì)意圖：歸納總結(jié)，強(qiáng)調(diào)正因?yàn)闄E圓與雙曲線有相似性，方程可以統(tǒng)一，命題的結(jié)論也可以統(tǒng)一，所以可以用類比思想來研究這兩個(gè)二次曲線。（三）課堂反饋1、若在橢圓上，則過P的橢圓的切線方

7、程是。類比到雙曲線上的命題：_.設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生會(huì)根據(jù)兩個(gè)曲線定義的差異進(jìn)行命題的類比，因此本題只讓學(xué)生寫命題不需要證明。XBAYOM2、若AB是橢圓的不平行于對(duì)稱軸且不過原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則是否為定值？并證明你的結(jié)論。類比到雙曲線有何結(jié)論？設(shè)計(jì)意圖：與探究二配套，主要是了解學(xué)生對(duì)橢圓與雙曲線的類比與證明是否已經(jīng)掌握。（四）課堂小結(jié)本節(jié)課的收獲？學(xué)生自由發(fā)言，教師總結(jié)：（1）橢圓與雙曲線的類比結(jié)論的差異是由它們的定義決定的。（2）類比有規(guī)律可循，但是類比的結(jié)果需要進(jìn)行論證；（3）類比有助于串聯(lián)知識(shí)，條理化、系統(tǒng)化；（五）思考題如圖，點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是雙曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是

8、的平分線上一點(diǎn)，且.某同學(xué)用以下方法研究：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可知為等腰三角形，且為的中點(diǎn)，得.類似地：點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是橢圓的焦點(diǎn)，是的平分線上一點(diǎn)，且，則的取值范圍是 _ . 設(shè)計(jì)意圖：前面都是橢圓類比到雙曲線，此題是由雙曲線類比到橢圓，而且與探究一也有呼應(yīng)作用，一方面加強(qiáng)學(xué)生對(duì)橢圓雙曲線定義的理解，另一方面也是類比思想的深化。（六）布置作業(yè)請(qǐng)嘗試找出圓錐曲線中其他的類比。（七）板書設(shè)計(jì)橢圓與雙曲線的類比探究一 探究二 橢圓的圖像、 （1）橢圓中的證明 （1）橢圓中標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的圖像、 （2）類比到雙曲線證明 （2）雙曲線中標(biāo)準(zhǔn)方程（八）課后反思 類比的思想在很多章節(jié)內(nèi)容都有。設(shè)計(jì)這一節(jié)課是希