三次函數(shù)的三大性質(zhì)初探_第1頁
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文檔簡介

1、三次函數(shù)的三大性質(zhì)初探 隨著導(dǎo)數(shù)內(nèi)容進入新教材，函數(shù)的研究范圍也隨之擴大，用導(dǎo)數(shù)的方法研究三次函數(shù)的性質(zhì)，不僅方便實用，而且三次函數(shù)的性質(zhì)變得十分明朗，本文給出三次函數(shù)的三大主要性質(zhì).1 單調(diào)性 三次函數(shù),(1) 若，則在上為增函數(shù)；(2) 若，則在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，其中. 證明 , =，(1) 當 即時，在 R上恒成立， 即在為增函數(shù). (2) 當 即時，解方程，得 或 在和上為增函數(shù).在上為減函數(shù).由上易知以下結(jié)論: 三次函數(shù),(1) 若，則在R上無極值；(2) 若，則在R上有兩個極值；且在處取得極大值，在處取得極小值.2 根的性質(zhì)三次函數(shù)(1) 若，則恰有一個實根；(2) 若,

2、且，則恰有一個實根；(3) 若,且，則有兩個不相等的實根；(4) 若,且，則有三個不相等的實根.證明 (1)(2)含有一個實根的充要條件是曲線與X軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)或兩極值同號，所以或，且.(3)有兩個相異實根的充要條件是曲線與X軸有兩個公共點且其中之一為切點，所以，且.(4)有三個不相等的實根的充要條件是曲線與X軸有三個公共點，即有一個極大值，一個極小值，且兩極值異號.所以且. 由上易得以下結(jié)論：三次函數(shù)在上恒正的充要條件是(mx2),或且(m<x2) .3 對稱性三次函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，并且在處取得最小值，其圖象關(guān)于直線對稱.證1 易知是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，則關(guān)于點對稱.， 當時，取得最小值，顯然圖象關(guān)于對稱.證2 設(shè)的圖象關(guān)于點對稱，任取 圖象上點，則A關(guān)于的對稱點也在圖象上,由上又可得以下結(jié)論：是可導(dǎo)函數(shù)，若的圖象關(guān)于點對稱，則圖象關(guān)于直線對稱.證明 的圖象關(guān)于對稱，則 圖象關(guān)于直線對稱. 若圖象關(guān)于直線對稱，則圖象關(guān)于點對稱.證明 圖象關(guān)于直線對稱，則， ， 圖象關(guān)于點對稱.掌

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